Файл: Власов, А. Г. Методы расчета эмиссионных электронно-оптических систем.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 24.10.2024
Просмотров: 78
Скачиваний: 0
где / х (х) — бесселева функция вещественного аргумента; ф (х) и <р (х) — не известные функции, заданные на замкнутом интервале, которые, как будет видно из дальнейшего, должны лишь удовлетворять условиям интегрируемости выра-
d |
, . |
d , . , |
женин —г— хф (х) |
и —J— хф (х). |
|
и л |
|
и л |
Подстановка выражений (429) в третье и четвертое уравнения (428) выпол няет их тождественно, в чем можно убедиться, проинтегрировав (428) по частям и имея в виду, что
|
О |
z > |
x; |
|
|
J„ (Хх) cos XzdX = . |
z < |
X. |
|
и |
\Ѵх* —za |
|||
|
|
Подставив выражения (429) в первое и второе уравнения (428) и приняв во внимание [1 1 ], что
|
X > |
z |
|
Jx (Хх) cos Xz dX = |
|
о |
К г 2 — x2(z + ]/z 2 — X2), X < |
z |
можем привести их к виду
Z I
cp (х) dx
- j ' ф и < ä, j - i = g S » ± xg u (M Л (XO Л
/CO
~i'* 1_rnc J, 2
ф(/) t dt ---- Xg12 (Л) К (Xt) dX =
оо
h x—-Сi f I (z, /-x) — C2/ 2 (z, /-j).
*(я) cü:
J |
К г |
3 — |
J |
ф (/) * dt |
j’ — - |
g S - Xg21 (A,) J! (W) dk - |
||
|
X |
2 |
|
|
|
|||
О |
I |
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
ф (0 ^^ |
Г 1 |
J ;‘г |
Xg22 (Л) ^ |
(ЛО Л : |
||
|
|
|
|
К |
Cifi (г, г2) |
С2/ 2 (г, |
г2) |
|
|
|
|
|
|
|
г |
|
|
Oscrz^; /,
где
г11(Л) = 1-2Л/-1/в(Хл1)^о(Х/-1);
'о \^Г2І
h-i = oti d1 Pi! Л2 = а 2 — d2 — ß2;
I |
I |
«1 = J |
( 0 Pi (t) dt; a 2 = [ /ф (t) p2 (t) dt; |
0 |
0 |
(430)
(431)
168
P i ( 0 = |
о |
p2(t) = |
J |
JAkt) gV2(k)dk; |
о |
|
j J i ( M ) g n (k)dk-, |
|
|||||
|
I |
|
|
t |
о |
|
|
о |
d2= V t +^ < p (t) d t\ |
||||
di ==- v i + j Ф (t)dt; |
|
|||||
|
/ |
/ |
|
(431) |
||
Pi = J (0 gi (0 dt\ |
ß2 - I іц>(t) g2 (0 dt\ |
|||||
|
||||||
gi (t) = |
J J, (kt) gtl (k) dk; |
g2 (t) |
= |
J J± (kt) g„ (k) dk; |
|
|
gm M = 1 — 2 k r j 0 (kr.,) K„ (kr2); |
g.12 (k) ■ K0 (kr2) |
|
||||
|
|
|
|
^ o ( ^ i) ' j |
|
|
Чтобы правые части системы (430) были регулярны в нуле, достаточно вы полнить равенства
/іі Сі/і (0, rj) Со/2 (0, гг) — 0; )
h t - C J A O . rt ) - c j t (0, r,) = 0. /
которые в дальнейшем определят постоянные Сг и С2. Если учесть, что
|
|
1 — cos Яг |
_ |
Г Jy (кх) dx |
|||
|
|
|
^ |
|
“ |
Jо J/V - x2 ’ |
|
то уравнения |
(430) |
после перемены |
порядка |
интегрирования можно записать |
|||
в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
I |
|
|
СО |
|
|
Ф (х) — j |
ер (t)dt |
j gn (Я) / j (kt) J2 (kx) ktdk ■ |
||||
|
|
||||||
V"z2 — X2 |
|
о |
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
оJ1>| (t) dt СОI glt (ко) Л(kt) |
(kx) ktdk |
|||||
|
|
1 |
CiFи (X) |
C2Fn (x ) |
|||
|
|
|
Кг2- |
|
|||
|
|
|
I |
|
|
CO |
- (433) |
J |
|
t (X) - |
J i|> ( 0 |
dt |
j gM (k) J1 (kt) J! (kx) kt dk ■ |
||
о v 2 |
x |
L |
|
о |
|
о |
|
|
|
l |
CO |
|
|
|
|
|
j |
Ф (t) dt |
[ g22 (k) |
(kt) |
(kt) kt dk |
||
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
C2^22(*) fa |
|
|
|
|
Сі^2і(Х) |
||||
|
|
J : |
V г ^ * " 2 |
|
|||
169
где, учитывая известную формулу обращения для интегрального преобразова
ния Шлемильха, |
функции |
Fki (k, i = |
1, |
2) определятся по формуле- |
|||||||||
|
|
|
|
X |
|
fk) — ft (0. tk) |
|
|
|
|
|||
|
|
2 |
|
d_f± (t, |
|
|
|
|
|||||
Fki = |
X |
dt |
______t_______ |
dt, |
, k |
= |
1, |
2 . |
|||||
— |
|
VX* — t2 |
|
||||||||||
|
|
я |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Введем функции c p (x) (i , |
k = |
1, 2) — такие, чтобы |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
H^-cpO) =СФц1 (х)+ |
Саф12(х); |
} |
|
|
|
(434) |
||||
|
|
|
І^Х'ф (х) — С'іф2і (х) -j |
С2Ф22 (х) • 1 |
|
|
|
||||||
Тогда уравнения (432) окажутся выполненными, |
если ф,-* (/, |
k = 1, 2) — ре |
|||||||||||
шения следующей |
системы |
интегральных |
уравнений Фредгольма |
второго рода |
|||||||||
с непрерывными |
симметричными ядрами |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
I |
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
) |
Фи (х) — j |
Ф11 (0 К ц (х, |
0 dt |
j" Ф21 (t) K2\ {x, |
t) dt — F^ |
(x), |
||||||||
о |
I |
|
|
|
|
â |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ф21 (x) — [ Ф21 (0 ^ 2 1 (*. t) dt — j |
Фаз (0 ^ 2 2 (X. t) dt = |
|
Fn |
(x); |
|||||||||
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
Фп (x) — j Ф12 (0 K n (X, |
t) d t — j Ф22 (0 Ki2 (x, |
t) dt = |
Fn (X); |
||||||||||
о |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
Ф22 (x) — j |
Ф22 (0 Kn (X, t) dt — j |
ф12 (t )Kn (X, t) dt = |
|
F„„ (x), |
|||||||||
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
) |
где |
|
|
CO |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
^ g i k (X)Jl ( U )J i_(^)'kdX, |
i , k = |
1 ,2 . |
(436) |
|||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
После того, как найдено решение системы (435), |
постоянные С1 и С2 определятся |
||||||||||||
из формулы (434) и (432). |
Нетрудно вычислить |
и |
полный заряд конденсатора, |
||||||||||
определив его, например, как |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
q0 = |
lim 2 II (z, |
0 ). |
|
|
|
|
(437) |
|
|
|
|
|
|
2->СО |
|
|
|
|
|
|
|
|
Путем’ принципиально простых, хотя и громоздких вычислений можно по казать, что функция Ѵ1 (г, г), определенная по формулам (427), убывает на бес конечности как О (1/г3), а выражение (437) приводит к равенствам для взаимной
емкости каждого из колец С^К Принимая во внимание (422), можно получить формулы
lim 2Ü = 4лі (г1С1 + г2С2);
м Ш пСі |
t = 1, 2. |
|
170
П Р И Л О Ж Е Н И Е 6
приближениепотенциала гладкими гармоническимифункциями
Пусть задана осесимметричная замкнутая область со, ограниченная поверх ностью 5; U — функция, гармоническая в со; s — точка поверхности;
U\s = f(s). |
(438) |
Функция / (s) непрерывна. Укажем один из способов того, как по любому е ]> О найти гармоническую в Q ZD ш функцию ѵ — такую, чтобы
|
' и IIС(со) < е, |
(439) |
dz* |
< с»р‘ , |
(440) |
дг* |
|
|
где р </ 1/6; 6 — максимальное расстояние между точками границы; |
Ср — по |
|
стоянная, не зависящая от k. Используя результат доказательства теоремы
главы I, приведенного в приложении |
1, выберем за область Й цилиндр Ѳ zd (о, |
|
в котором определим гармоническую |
функцию v (г, |
z) — такую, чтобы |
II м — "f!c «а) < -§-• |
(441) |
|
Пусть а — длина цилиндра, радиус которого примем за единицу. Начало коор динат выберем в центре одного из оснований, а ось Ог совместим с осью цилиндра.
Обозначим / (г) = о (1, г), g (г) = ѵ (г, а). Примем для определенности |
1 |
и не ограничивая общность рассуждений будем считать, что ѵ (г, г) симметрично относительно плоскости г = 0. Это можно легко установить несложным обоб щением замечаний к упомянутой теореме. На подробном обосновании этого до пущения останавливаться не будем, так как оно, не будучи необходимым для
доказательства, существенно упрощает применяемый формальный |
аппарат. |
Если приближается, например, электростатическое поле катодной |
линзы, то |
за и (г, г) можно принять напряженность Ег (г, г). Кроме того, общность рассуж дений не нарушится, если функцию ѵ определить как ѵ1 + сг + d, где постоян ные с и d выбраны такими, чтобы / (0) = 0 и g (0) = 0. Этот прием не может выз
вать принципиальных |
возражений, |
в его |
пользу говорит то, что он упрощает |
|||||
выкладки. Очевидно, что результат (440), |
доказанный для ѵг, остается верным |
|||||||
и для V при соответствующем подборе постоянной Ср. Поэтому в дальнейшем мы, |
||||||||
не вводя новых функций и новых краевых условий, просто примем, что / |
(0 ) = 0 , |
|||||||
g (0 ) = 0 . |
|
г) |
внутри цилиндра в виде |
|
|
|||
Запишем ѵ (г, |
|
|
||||||
|
|
|
|
1Іа |
|
|
|
|
|
|
v(r, z ) = |
\ А (А,)--? |
у // cos Аг dX + |
|
|
||
|
|
|
|
J |
I о (А) |
|
|
|
|
1/а |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
j |
B ( X ) ~ ^ J 0 (Xr)dX, |
O s g z s ja , O s S rs g l. |
(442) |
||||
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
Выполнение граничных условий приводит к интегральным уравнениям |
||||||||
относительно функции Л (А) |
и В (А) |
|
|
|
|
|||
|
|
|
1Іа |
|
|
1/а |
|
|
/ |
(2) |
= |
j Л (А) cos Аг dX + |
j В (А) / 0 (А) |
dX; |
(443) |
||
|
|
|
о |
|
|
о |
|
|
|
|
1/а |
|
|
1/а |
|
|
|
g(r) = |
j |
Л (А) |
Ѵ Ф 1 |
cos Ха d X + j В (A) J0 (Аг) dX, |
|
|||
|
|
о |
|
0 |
|
о |
|
(444) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
171