Файл: Власов, А. Г. Методы расчета эмиссионных электронно-оптических систем.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 24.10.2024
Просмотров: 75
Скачиваний: 0
Таким образом, Для ск получаем уравнения
|
|
М |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ck — IlM |
tkm\kmcm — &Mk |
, |
1, 2, 3, . . |
M, |
||||
где |
m=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
kn |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
1 |
s h |
^ |
- |
1; |
tkm — |
^km |
^km |
4kn |
|
|
|
|
|
||||
„ kn , |
kn |
|
knНм |
|
tlM |
||||
|
cth— |
+ |
— |
sh |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ |
|
|
|
|
Из (408) |
и (409) |
следует, |
что 4m =S|2ß0. |
Положим |
|
||||
|
|
Лм < min |
1 |
|
1 |
|
|
||
|
|
4МВ0 ' |
2D0M ) ’ |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
тогда
aMk
C k < 2 ßMfc ’
(418)
(419)
так как система (418) вполне регулярна.
Из равенств (416) и (413), оценки (419), а также уравнения (418) следует,
что для выполнения |
неравенства (415) необходимо |
условие |
|
|
|
м |
|
|
|
Ь м |
^ |
Ck ^ іьт Укп sin |
< А ьг . |
(420) |
|
A=1 |
п = 1 |
|
|
Из выражений (404), (411), (414), (417) и (420) следует, что возможен такой выбор Им и постоянных в перечисленных неравенствах, чтобы выполнялось условие (402).
П Р И Л О Ж Е Н И Е 4
ВЫЧИСЛЕНИЕИНТЕГРАЛОВОТБЫСТРООСЦИЛЛИРУЮЩИХФУНКЦИЙ
Для вычисления |
интегралов |
|
|
|
|
|
|
||
Qt —■Jb/ (X) sin pxdx |
и |
Q2 = |
ьj/ (x) cos pxdx |
|
|||||
|
|
а |
|
|
|
|
а |
|
|
предложен [61 ] следующий |
прием. |
Промежуток интегрирования |
разбивают |
||||||
на 2т равных частей. |
Через каждые три точки проводят параболу, совпадающую |
||||||||
в узлах интегрирования с f (х). Интеграл |
Qx или Q2 по каждому из промежутков |
||||||||
величиной 2h, где h — —---- — вычисляют |
аналитически. Окончательно |
получают |
|||||||
|
|
, т -1 |
|
|
|
|
|
|
|
Qi = |
2та 2 |
— а [/ (xk+1) cos р х к+1 — / (xk) cos pxk] + |
|
||||||
|
|
k=0 |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
Y |
[/ (xk+1) sin |
pxk+1 -f f (xk) sin |
pxk) -f |
|
||||
|
+ |
yf (^X- — 2Xk+l ) |
Sin |
(xk + |
xk+1); |
|
|||
11* |
163 |
b ci |
^ |
|
|
|
Q2 = - -Г—- |
a [/ (*A+i) sin PXk + l ~ f ( Xk) sin pxk]+ |
|||
zm |
*=0 |
|
|
|
4 - -J- [f {Xk+i) cos p x * +1 + |
/ ( xÄ)cos p x fe] + |
|||
4- yf ( ^ ± ^ * ± 1 j COS |
(X* + |
xA+1), |
||
где |
|
|
|
|
a = |
~0* (Ѳ2 + |
Ѳ sin Ѳ cos Ѳ — 2 sin2 Ѳ); |
||
ß = - i - [Ѳ (1 + |
cos2 Ѳ) — sin 2Ѳ]; |
у = |
(sin Ѳ — Ѳ cos9); |
|
|
e _ |
p ( b — a) |
|
|
|
|
2m |
|
|
Можно показать, что точность метода не ниже точности метода Симпсона при том же числе узлов интегрирования.
Аналогичный метод применим при вычислении интегралов, содержащих бесселевы функции. Такие интегралы приходится вычислять при разложении некой функции / (х) в ряды Бесселя или Дини [11]. Это необходимо при реше нии задач теории потенциала, например в § 1 [6 6 , 72]. Обозначим
|
Ь |
Ѳ3 = |
j f ( x) J0 (px)dx; |
|
a |
|
b |
Ѳ4 = |
j f (x ) J 1 (px)dx. |
|
a |
Через такие интегралы обычно выражают коэффициенты разложения. Про межуток интегрирования разбивают на т частей. На каждом интервале функ цию f\x) считают постоянной, а интеграл вычисляют аналитически. Точность метода выше, чем точность формулы прямоугольников при том же числе узлов. Погрешность при этом быстро убывает с ростом р. Окончательно
J |
"1 |
|
~ |
2 / (xk) [^i (pxk) хк |
(Pxk-1) x k~\Y> |
Р k=l |
|
|
1 |
т |
(Pxk)]- |
Qi = ~ |
/ (■**) [^O (PXk-1) |
|
p |
4 = 1 |
|
Аналогичные формулы нетрудно вывести и для других быстро осциллирую щих функций. Если при вычислении Q;j и Qi нужна более высокая точность, можно применить следующий прием.
Функцию на участке (х/г, х*+1) приближают с помощью полинома Р іп (х).
Интегралы берут |
аналитически |
и суммируют. Если я = |
1 и |
все промежутки |
||
равны А, то |
|
т—1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 = 0 |
|
|
|
|
Ok — + l)2 f k ~ № f k + 1 гj / |
\ |
j / |
\ |
в , |
||
Ч з — |
( 2 6 + 1) p |
r 1 \ p x k + l ) * 4 + 1 — |
{ Px k ] x k\ - r |
|||
164
/fe+І — Ik |
xk+l |
( xl + l |
(pxk+l) |
i f k — |
|
h2(2k -f- 1) |
|
||||
4 |
\ |
|
2 x1 |
2 x1 |
|
---- p2 |
) |
^ |
|
(PXk+i ) ----- j^2~ 'o |
(PXä) |
|
|
|
/И-1 |
|
|
|
|
|
q4 = I |
q4"; |
|
= |
{k + x(2]k + 7 ) p h+1 |
К (px*) - yo 0**+i)] |
|||
/>+1 |
/& |
2**+1 Jl (pxk+l) - - ^ t h { P 4 ) - |
|||
/t2 (2 A + 1) |
|||||
|
|
- y - |
Jo(PXk+l) -T — Jo (pxk) |
|
|
ПРИЛОЖЕНИЕ 5
ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОЕПОЛЕДВУХСООСНЫХЦИЛИНДРОВ
КОНЕЧНОЙДЛИНЫ
Вывод интегральных уравнений. На рис. 48 представлен меридиональный разрез цилиндрического конденсатора, на обкладках которого заданы потен циалы Ѵг и Ѵ2. Потенциал вне поверхности кольца должен быть функцией гар монической, непрерывной всюду, включая границу, Г разделяющую области; к тому же он должен удов летворять условиям
и (г, г) = О |
■оо; |
|
V г |
(421) |
|
U (г, r1) = Vu |
||
0 s g | 2 |s c /; |
U ( z , r 2) = V 2, 0 « g |z |^ ; / .
Кроме того, должно выполняться требование непре рывности первой производной по каждой из коорди нат всюду вне границы области.
Для получения замкнутого решения уравнения Лапласа в областях рассматриваемого вида целесооб разно выделить из функции U (г, г) гармоническое слагаемое простого вида, совпадающее с потенциалом на бесконечности и удовлетворяющее тем же условиям непрерывности, что и решение U (2, г). Тогда остав
r2
Г,
0L z
Рис. 48 Сечение ци линдрического конден сатора
шаяся часть решения на бесконечности будет убывать быстрее, чем const |
где R |
=ѵ |
разделе- |
г* -|- г2. К этой части решения можно применить обычный метод |
ния переменных, требующий решения связанных интегральных уравнений. Указанное слагаемое можно искать в виде потенциала простого слоя, рас пределенного на поверхности каждого кольца с постоянной плотностью С,- (і —
= 1, 2).
Постоянные С,- определятся чисто формально из условия |
регулярности ре |
||
шения в нуле. Построив формальное решение, покажем, что |
на бесконечности |
||
оно ведет себя как |
|
1 |
|
(С, C2)S |
О |
(422) |
|
R |
R3 |
||
165
где S — площадь поверхности кольца. Это доказывает, что указанный формаль ный прием позволяет определить плотность каждого слоя С, так, чтобы потен циал слоя совпадал на бесконечности с потенциалом соответствующего кольца. Одновременно, принимая во внимание (422), можно написать очевидную формулу для заряда каждого кольца qi
Qi — CiSi, i — 1, 2. |
(423) |
Итак, осесимметричный потенциал, удовлетворяющий условиям (421), ищем в форме
|
|
|
|
I |
К (йх) dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U (г, |
г) = |
У (г, |
г) + 4Схгх■ГV (r + О)2 + |
|
|
|
|
|
|
|
-I |
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
К (k2) dx |
|
(424) |
|
|
|
|
|
•г2)2 + (г_х)2 ’ |
|
||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
-I |
|
|
|
где г и г |
— координаты цилиндрической системы, начало которой расположено |
||||||
в центре |
кольца; |
К (&;) (г = |
1, 2 ) — полный |
эллиптический интеграл |
первого |
||
рода; |
*2_______ 2_____________________‘irr, |
|
|||||
|
|
||||||
|
1 ~ |
( r + r ^ - t i z - x ) * ’ *2 |
( r + r 2)2 + |
(2 - *)2 • |
|
||
Второе и третье слагаемые в формуле (424) имеют смысл потенциала простого |
|||||||
слоя, распределенного |
на поверхности каждого кольца |
с плотностью |
С,- (і = |
||||
= 1,3). Обозначим потенциал слоя единичной плотности на поверхности кольца
U (г, г) (і = 1, 2)
I
j, (г, г) = |
4г, |
|
|
|
К (k{) dx |
= - |
, |
|
|
: |
I ■— ■■■ |
— |
+ ( г - х ) * |
||||||
|
|
|
К |
( г |
+ |
г х ) * |
|
||
|
|
-1 |
|
|
|
|
|
(425) |
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
К (&2) dx |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Мг' Г)- |
4' ! ] ' 7 5 |
-г2)2Н- (г- x f |
|
|
|||||
|
— |
/ |
|
|
|
|
|
|
|
Подстановка (424) в (421) |
приводит к следующей записи граничных усло- |
||||||||
|
lim У (г, г) = |
lim У (г, г) = 0; |
|
|
|||||
г |
<х> |
|
|
Г со |
|
|
|
|
|
У (г, г ) \ г = Гі |
; Уг — С]/1 (z>п) |
с J 2(г>п) > |
|||||||
I I |
г I < I |
|
|
|
|
|
|
|
|
дѴ (г, г ) |
|
|
ЗУ (г, г) |
|
|
|
=0; |
||
Зг |
|
|
|
дг |
|
|
|
||
Г = Г , |
— о |
г = |
г , |
+ 0 |
(426) |
||||
|
1 Z I > |
I |
|
! г I |
> |
I |
|
||
У (г, г І =Гг |
= |
У2 — CjA (г, r , ) - C J , ( z , |
г2); |
||||||
I |
І г | < / |
|
|
|
|
|
|
|
|
ЗУ (г, г) |
|
|
ЗУ (2 , г) |
|
|
|
= 0. |
||
Зг |
г=Гг—0 |
дг |
г ~ г2 "Ь о |
||||||
|
|||||||||
|
I г \ > I |
|
I г I >7 |
|
|||||
166
Как уже было указано, построив формальное решение, можно показать, что функция V (г, г) £ L, (—оо, со), и ее можно искать в виде четных гармони ческих функций
ОО СО
<*• |
'> “ |
f А <» - Щ > |
^ |
+ J 8 <4 7 Д К Г °» “ |
: dk, |
|
|
' |
|
||||||
|
|
О |
|
о |
|
|
|
|
|
ОО |
|
СО |
|
|
|
w . |
о - |
S л ft) |
^ |
Л + I 8 |
cos 1 , Л , |
\I (427) |
|
|
|
Гг^-Г^г^, |
v. « •О = J л ») |
cos12* + J s <l>K0 (kr) |
“ 1г* • |
|
|
r2, ) |
где A (к) и В (X) подлежат определению; / 0 (кг) и К0 (kr) — бесселевы функции первого и второго родов от мнимого аргумента. Запись (427) обеспечивает не прерывность потенциала и выполнение первого из условий (426). Выполнение остальных условий (426) при учете равенства
'о М * 0 ( Ы — М ^ о ) К (kr0) = - j j -
приводит к системе связанных интегральных уравнений относительно |
функ |
|||||||||
ций А (к) и В (к) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J a w |
cos kzdk + I |
|
10 (krj) |
cos kz dk = |
|
||||
|
В (к) -А |
|
|
|||||||
|
|
Jо |
|
/о (кг2) |
|
|
|
|
|
|
|
= V , - C , f , ( z , Гі) — C2/ 2 (г, г,), |
0 ^ \ z \ ^ l ; |
|
|||||||
|
СО |
|
|
СО |
|
|
|
|
|
|
|
f А (к) |
cos kzdk + |
f B(k)coskzdk = |
|
|
|||||
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
(428) |
|
= Vг |
^-і/г (г>'’г) |
С2f2 (г >^г)> |
Ог^ I г |
l, |
|||||
|
|
|||||||||
|
f |
А (Ä.) cos kzdk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A( |
|
0, |
I |
г I > |
l\ |
|
|
||
|
J |
2r,I 0 (kr,) Ко (kr,) |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
В (к) cos kz dk |
0, |
I |
г I > |
Z. |
|
|
||
|
|
2 r2/ 0 (kr2) K0 (kr2) |
) |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение |
связанных интегральных уравнений. |
|
Решения уравнений |
(428) |
||||||
А (к) и В (К) |
ищем в виде |
|
I |
|
|
|
|
Л |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
А (к) = |
2kr,I0 (кг,) Ко (kr,) |
J J, |
(кх) |
X ф (х) dx\ |
|
||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
(429) |
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В (к) — 2кг2/ 0 (кг2) Ко (kr2) J J, (кх) |
X Ф (х) dx, |
|
|||||||
)67