Файл: Васильев, А. С. Статические преобразователи частоты для индукционного нагрева.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 24.10.2024

Просмотров: 71

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Представляя вёктбр-корёиь системы согласно выра­ жению (184), можно записать систему следующим образом:

f (x<m>+

f (х<"1>) + f (х<™>) Е<т К

(185)

Здесь система

разложена по степеням вектора

х(”б

в ряд Тейлора и учитываются только линейные члены.

Величина f'(x) (якобиан системы)

есть матрица

 

1 L

 

 

d f i

 

d x i

‘

•

д х п

 

 

 

 

 

(186)

dfn

 

 

d fn

 

d x t

‘

’

д х п

 

Тогда из (185) легко определить вектор поправки

g(<») = —W—i(x(m))f (x<m)).

(187)

Следовательно, (m+1) уточнение решения системы

будет:

 

 

 

 

X(m+1)= Х(т)_ w -

1 (X<m>) f (х(»й).

(188)

Сходимость метода Ньютона установлена при до­ вольно широких допущениях, но быстрота сходимости зависит от точности начального приближения. При не­ удачном задании начального приближения решение мо­ жет быть расходящимся, кроме того, нарушаются усло­ вия единственности решения. Практически необходи­ мость вычисления обратного якобиана системы на

каждом шаге резко

увеличивает

громоздкость задачи

и вычислительные

сложности.

В модифицированном

методе Ньютона и в методе итераций обратный якобиан

считается только один раз для нулевого

приближения

и принимается, что

 

W - ^ x ^ ^ W - 1^ 0)).

(189)

Это допущение справедливо только в малой области, когда нулевое приближение х<°> достаточно близко к вектору-корню системы, иначе сходимость метода не гарантируется.

Отсутствие надежных алгоритмов решения нелиней­ ных систем является основной трудностью при исследо­ вании периодических режимов преобразователей часто­ ты. Это приводит к попыткам определения установнв-

92

шегося режима как результата переходного процесса. Так как кусочно-линейный характер процессов в пре­ образователе сохраняется и по-прежнему описывается условиями (148), (155) и (154), а вектор начальных условий задан, то решение задачи как начальной оче­ видно. Сложности при этом связаны, во-первых, с воз­ можностью очень длинных переходных процессов и, во-вторых, с тем, что вектор переменных может в пере­ ходном процессе пересекать иные поверхности переклю-

Рис. 32. Схема резонансного инвертора (схема Депенброна).

чения, чем в установившемся. Например, последова­ тельный инвертор, работающий в установившемся ре­ жиме с прерывистым током, может в переходном режиме работать с непрерывным током.

Сложность полного решения задачи обусловила ряд попыток, которые позволяют получить аналитические решения за счет некоторых упрощений. К таким упро­ щениям относятся методы, основанные на пренебреже­ нии некоторыми временными интервалами. Так, много­ численные попытки получить аналитические выражения для установившегося и переходного режимов в парал­ лельном и последовательном инверторах или резонанс­ ном инверторе (так называемая схема Депенброка, рис. 32) 1 в режиме непрерывного тока связаны с пре­ небрежением интервалом коммутации. При исследова­ нии работы последовательного инвертора на активное сопротивление в режиме прерывистого тока, когда дли­ тельность импульса тока постоянна и не зависит от

1 Хотя данная схема и получила распространение в литературе под названием схемы Депенброка, однако впервые она была пред­ ложена Л. Г. Кощеевым [Л. 40].

93

йеличины Производной, удается таkike получить анали­ тические выражения.

В том случае, когда пренебрежение одним из состоя­ ний преобразовательного моста сводит задачу к воздей­ ствию вынуждающей силы на линейную цепь, наиболее эффективным оказывается метод дискретного преобра­ зования Лапласа [Л. 22, 25]. Представление преобразо­ вателя частоты как разомкнутой линейной импульсной системы позволяет использовать разработанные методы анализа таких систем. Покажем это на примере резо­ нансного инвертора с обратными диодами (рис. 32).

В качестве примера рассмотрим непрерывный режим работы преобразователя, пренебрегая интервалами ком­ мутации вентильных ячеек. В этом случае электромаг­ нитные процессы в преобразователе могут рассматри­ ваться как результат воздействия прямоугольной волны напряжения на линейную цепь, включенную в диаго­ наль преобразовательного моста. Применяя аппарат дискретного преобразования Лапласа, можно написать:

Z*{q, e)—K*(q, &)X*(q),

(190)

где Z*(q, е) —изображение выходной величины (в дан­ ном случае тока); X* {q) — изображение входного воз­ действия; K*(q, е) — передаточная функция импульсной системы с прямоугольными импульсами; q — параметр дискретного преобразования; е — вещественный пара­ метр, характеризующий смещенную решетчатую функ­

цию.

Изображение входного воздействия (в данном слу­ чае прямоугольной волны напряжения), соответствую­ щего решетчатой функции х[п], имеет вид:

=

(191)

Передаточная функция импульсного элемента с пря­ моугольными импульсами зависит от структуры линей­ ной части преобразователя и согласно [Л. 22] находится из следующих выражений:

S

r v — 1

g4- 1

еч'‘г

(192)

 

 

 

 

еч — ё

 

v=0

}А=0

 

 

 

 

 

 

^ " ' „

ГZ № . < a - a )" '

 

^ (rv —Н-— 1)! dq rv -^ -‘

[ q Q

M Jч=ч

 

 

 

 

 

(193)

94

где

— ^n(g) — передаточная

 

функция

линейной

части;

qv — полюс

обычной

передаточной

функции или

собственные

числа

матрицы цепи;

v — номер полюса;

rv — его кратность.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В общем

виде

изображение

величины можно запи­

сать;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z * ( q , в) =

^

j

 

dr-

 

(еч —

I)

вчс'>’

 

 

(е ч — e 7v) (е<> — <?;<°)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(194)

Учитывая

характер реальных

цепей

и отсутствие

в них кратных и нулевых полюсов,

получаем

оригинал:

Z (rt,

п) = е А к * (/«),

s) (—1)" —

^

c,

— g<7V

^<7 (л+e) I

 

 

 

 

 

 

v= t

v0

i + />

J

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(195)

Для последовательного контура, включенного в диа­

гональ

моста, передаточная

функция имеет вид:

 

 

К а ^ ~ ~ й П

qt _j_ 2р<7

 

cog

 

 

 

здесь со— частота переключения вентилей;

Р= 2 tgyH’

со yrZ.C

У этой передаточной функции два простых сопря­ женных полюса:

9

, У ® J-p s = ~ P = t/4 -

Коэффициенты с , входящие в (192) и (193), здесь соответственно равны:

^оо ==^1

1

2/<o,Z, ’

1

Учитывая это, легко получить из (195) выражение для тока преобразователя:

 

 

 

(196)

Введя

обозначения: т.= е= 2t/T\

со0/со = /г0;

cOi/co = £,

можно привести (196) к следующему виду:

 

 

k1

 

 

i \п, т] = А — {(— \)пё~^ sin (rJz- — ф,) —

 

-

Ве~?<л+т) sin [т,1г(т + п) -

ф, - ф2]}.

(197)

Первое слагаемое этого выражения определяет ток преобразователя в установившемся режиме; второе сла­ гаемое, зависящее от номера полуперпода, определяет ход переходного процесса. Таким образом, пренебреже­ ние интервалами коммутации п применение аппарата дискретного преобразования Лапласа позволяет полу­ чить единое аналитическое выражение, описывающее как переходной, так п установившийся процессы в ин­ верторе напряжения.

Весьма существенным является и то, что представ­ ление преобразователя в виде разомкнутой импульсной системы позволяет определить передаточную функцию преобразователя и сформулировать требования к про­ ектированию систем автоматического регулирования статических преобразователей.

Анализ переходных режимов при отсутствии инфор­ мации о характере внешнего воздействия в целом ряде преобразовательных схем может быть облегчен тем, что вводится допущение о пренебрежении интервалами ком­ мутации, т. е. преобразовательный мост находится толь­ ко в одном состоянии. При этом характер входного воз­ действия (например, тока щ) не задан и определяется только по известным параметрам схемы. К таким схемам относятся, например, инверторы тока, последовательные, последовательно-параллельные и параллельные инверто­ ры, работающие в режимах, для которых интервал про­ текания входного тока не меняется от периода к пе­ риоду. В заданном промежутке времени описываются процессы в схеме преобразователя, который представ^

ляет собой линейную систему. Решается краевая зада­ ча, причем значения всех токов и напряжений на эле­ ментах схемы принимаются известными и заданными каким-то произвольным величинам, отнесенным к пре­ дыдущему интервалу.

Решения линейных уравнений, описывающих систему в искомом интервале, позволяют получить рекуррентные формулы, т. е. связать соотношение значений токов и напряжений в начале и в конце рассматриваемого интервала. Таким образом, задан характер изменения входного тока в виде приращений ступенчатой функции.

0___ m w

Е

Рис. 33. Схема последовательного инвертора (а) и диаграмма роста напряжения на конденсаторе Uс в момент коммутации при пуске (б).

По известному приращению ступенчатой функции мож­ но найти и абсолютное значение этой ступенчатой функ­ ции, которая дает значения краевых условий для каж­ дого интервала. Этот метод может быть проиллюстри­ рован примером преобразователя последовательного типа, работающего на активную нагрузку, в режиме прерывистого и непрерывного токов.

Будем считать, что вентильный мост преобразова­ теля последовательного типа (рис. 33) может находить­ ся всего в двух состояниях: проводимости двух плеч моста и непроводимости всех вентилей. Для второго состояния ток преобразователя равен нулю, а для пер­ вого— матрица цепи вырождается в одно уравнение второго порядка. Решение этого уравнения в случае комплексно-сопряженных корней может быть представ­ лено как198

(198)

7— 399

97

где coo — собственная частота; В и г|)—постоянные ин­ тегрирования, определяемые пз начальных условий.

■В случае режима непрерывного тока отношение соб­ ственной частоты к задающей /г= соо/со< 1, в режиме пре­

рывистого

тока

я>1. (Рассмотрим

случай

я = 0,5 и

/7 = 2.) В (/г+1)

полупериоде задающей частоты началь­

ные условия

определяются согласно

условиям скачка

на границе

h

и

(/г+1) полупериода

в момент

f0 = hT/2:

i (/г) = i (ta-

0) =

i (t0+ 0) = i' (h + 1);

)

 

di'(h+ 1) _

0 E

di(h)

f

(199)

dt

L

dt

J

 

или в данном случае более удобно uc (h) = — u'c (h-\- 1), Здесь значения токов со штрихом относятся к моментам

—|—0^. Отсюда постоянные интегрирования

 

 

 

В =

г (/г)/sin ф;

 

 

(200)

 

 

 

ctg<|> =

(1+2uc (h)

■i т ч

 

 

 

—

ni (/г)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Считая,

что

начало

отсчета

совпадает

с началом

(/г+ 1)

интервала, ток и напряжение в конце интервала

t = T/2

могут

быть

найдены

пз

системы

разностных

уравнений:

 

 

 

 

Y = AX+ H,

 

(201)

 

и'с (/* + О

 

 

где Y =

— вектор-столбец неизвестных;

 

i '

(

/ г

+

 

1 )

'

 

 

 

Н =

0,5—а

-вектор внешних воздействий.

2а

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Матрицу системы можно записать в виде

 

 

 

 

 

 

 

 

Ь + а

— 2а

 

 

 

 

 

 

 

 

 

—2а

4а

 

 

 

— В-Ы.

и—

 

 

 

 

 

где а — —

е

 

b=

i k ~ e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

здесь k = RT/8L.

Решение системы (201) можно представить как сум­ му общего и частного решений. Однородное общее

решение Y = AX находим в виде

 

X= /eS'\

(202)

откуда

(203)

kSh+l=AkSh.

98

Смотрите также файлы