Файл: Болдырев, В. С. Методы математической статистики в гидрографии и кораблевождении учеб. пособие.pdf

графически исследований. При этом мы рассматриваем задачи, возникающие при выборе оптимальной методики производства наблюдений, основываясь на законах теории вероятностей, т .е . занимаемся практическим приложением теоретически положений этой теории. Одной из интерес­ ных задач в этом разделе является обнаружение и исключе­ ние систематических ошибок è результатах наблюдений.По значению упомянутая задача относится к одной из наи­ более часто встречающихся в практике, так как система­ тическая ошибка во многи случаях содержится в резуль­ татах измерений, выполняемых в море, и в очень редки случаях от нее можно избавиться с помощью простых при­ емов. П то же время правильное суждение о соотношении величин систематических и случайных ошибок дает возмож­ ность обоснованно выбирать схемы расчета и получать верный окончательный результат. К такому случаю мы при­ ходим, например, при измерении в морс высот сверил с целью определения места.

Особое место в данном курсе занимает подробное из­ ложение метода наименьших квадратов, Этот метод являет­ ся теоретической основой многочисленных вычислительных

!3 дальнейшем рассматриваются приложения метода наи­ меньших квадратов к решению задач по опеь.е точности положения определяемой точки на земной поверхности. Для удобства эти задачи выделены в отдельную главу.

Последняя глава курса посвящена сравнительно новым в гидрографии и кораілевождении вопросам исследования

закономерностей маедеммя зависимых случайных іелычии.

9

Глава I . ОПЕНКА ТОЧНОСТИ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ

§ I. Методы оценки точности результатов Измерена !

Полученные в результате измерений величины, характери­ зующие параметры геофизических полей, гидрологические или гидрометеорологические элементы, а также различные навигационные параметры, всегда содержат некоторые по­ грешности, связанные либо с природой самих измеряемых элементов, либо с методикой измерений, либо с ошибками измерительных устройств и т.п .

Г некоторых случаях влияние части перечисленных оши­ бок можно ослабить, однако полностью исключить их нель­ зя. В каждом конкретном отсчете результирующая ошибка принимает вполне определенное значение. Таким образом, в ходе каждого измерения мы получаем неизвестное нам значение случайной величины.

Очевидно, что сами случайные величины в силу их из­ менчивости нельзя применять для производства каких-либо расчетов, и поэтому так же, как и всегда в подобных случаях, нам приходится переходить к числовым характе­ ристикам совокупности случайных величин. В качестве таких характеристик удобно использовать начальные и центральные моменты распределений различных порядков.

Как известно, для начальных моментов началом от­ счета служит начало координат, а для центральных -

центр распределения. Начальные моменты вычисляются по формулам:

ТО

для непрерывных случайных величин

рия считается положительной, если вправо - отрицательной (р и с .I).

?ис. I

Четвертый центральный момент (центральный момент четвертого порядка) характеризует "остроту" закона рас пределения по сравнению с нормальным законом. Обычно используется коэффициент, называемый эксцессом ■£ f

ІГ

Для нормального закона распределения £к= 0 • Макси-

мальной является величина эксцесса при законе равномер­

Из абсолютных моментов используется момент первого порядка, называемый средним арифметическим.

Для непрерывной случайной величины

[О

Начальные и центральные моменты любых порядков можно ввести и для характеристики системы, состоящей из не­ скольких случайных величин:

(I.I6)

1 4

представляют собой координаты центра группирования.Ана­

Второй смешанный центральный момент представляет собой математическое ожидание произведения центрирован­ ных случайных величин и называется корреляционным мо­

Корреляционный момент и коэффициент корреляции ха­ рактеризуют наличие линейной вероятностной зависимости между случайными величинами. При этом коэффициент кор­ реляции может меняться от - I через 0 до +1:

(І .2 І )

1 5

реляционные моменты удобно располагать в виде таблицы, называемой корреляционной матрицей:

^<2 • ' * К т і

Таким образом, для независимых случайных величин корреляционная матрица может быть записана как диагональ ная (по главной диагонали будут записаны дисперсии, а все остальные элементы равны нулю).

Вместо корреляционной матрицы можно составить матри­ цу из коэффициентов корреляции, тогда по главной диаго­ нали будут стоять единицы. Если имеет место нелинейная зависимость, то для ее описания необходимо привлекать моменты более высокого порядка.

1 6