ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 24.10.2024
Просмотров: 62
Скачиваний: 0
При этом по формуле полной вероятности
4
Р(Уі) = Уі) = РШ Р(УіІУг) + Р(Уз) Р(УіШ +
/=1
+ Р(уд Р(Уі/У4) = 4- Иѵ>) + р (У*) + Р ( У Л
|
4 |
|
|
|
Так как |
^ Р і у д = 1, то |
Я(у,) = -|-(| |
— Я(г/,)), |
откуда |
Р(Уі) = |
/ = 1 |
|
Р(Уз) — Р(у<\) = |
|
Аналогично получим Р(у2) = |
||||
= 1/4. Найденные значения |
вероятностей, при |
которых |
||
H ( Y y имеет максимальное значение, равны соответствую
щим величинам, полученным в предыдущей задаче, и, сле довательно, найденная там скорость передачи, согласно (3.8), равна пропускной способности линии связи.
Задача 5. Длительности каждого из т кодовых сим волов составляют t u /2, із, t nr Определить число всех
возможных последовательностей длительностью Т, кото рые можно составить из этих пі кодовых символов.
Р е ш е н и е. Обозначим искомое число последователь ностей через /Ѵ(Т). Тогда число различных последователь ностей длительностью (Т—/,*) равно /Ѵ( Т — /,*). Эти после
довательности, |
очевидно, |
не содержат |
кодового симво |
|
ла ///. Прибавив |
к любой |
из этих N(T — //) |
последова |
|
тельностей кодовый символ уі, получим |
последователь |
|||
ность длительности Т. Поэтому |
|
|
||
N(T) = N(T - |
t x) + N ( T - |
t2) + ... + N(T - |
t m). (3.9) |
|
Уравнение (3.9) есть линейное уравнение в конечных раз ностях. Методы решения таких уравнении аналогичны методам решения линейных дифференциальных уравне ний с постоянными коэффициентами.
Решение уравнения (3.9) будем искать в виде
Л'(7) = 2 Сіг ] . |
(3.10) |
/=1 |
|
Подставим (3.10) в (3.9): |
|
су'І [Г— г-'« — г~/я — ... — * у 1т] + |
... + |
+ |
(З.П) |
66
Если г1, Гг, гг, ..., |
гп являются корнями уравнения |
|
1 |
— гГ*' — ... |
—0; |
|
|
(3. 12) |
1 |
— г,,1' — ... — г,Л' = О, |
|
то левая часть (3.11) тождественно обращается в нуль и, следовательно, (3.10) является решением уравнения (3.9). При этом-существенно заметить, что N(T) должно быть вещественно и неотрицательно при всех положительных значениях Т.
Если /*і— максимальный корень уравнений (3.12), при достаточно большом Т слагаемое С\гхг значительно боль ше суммы остальных слагаемых в правой части (3.10). Поэтому можно записать искомое, число последователь ностей в виде
N ( T ) ~ c xr ( = c r r ( Г » 1 ) . ■ (3.13)
Задача 6. Пусть длительности кодовых символов оди наковы и равны т0. Показать, что в этом случае N(T) —
==сг топределяет число всех возможных последователь ностей длиной в М символов, которые можно составить из m различных кодовых символов ( Т = М ^ 0).
Решение . Если длительности всех кодовых симво лов одинаковы, то из уравнения (3.12)
_і_
r=(m)~°. |
(3.14) |
*4. |
|
Подставляя (3.14) в выражение (3.13) предыдущей зада чи, получаем
N(T) = |
c(m)7/’° — cmA\ |
|
|
(3.15) |
||
где М = Т/^0— число |
символов |
в |
последовательностях |
|||
длительностью |
Т. Постоянная с = 1 , |
так как |
число раз |
|||
личных последовательностей длительностью Г = т 0 |
равно |
|||||
числу кодовых |
символов, т. е. |
N(^0) = т, |
а из |
(3.15) |
||
N(*o) —ст. |
|
|
|
|
|
|
Таким образом, N(T) = mM, |
что и требовалось пока |
|||||
зать. |
|
|
|
|
|
|
Задача 7. Вычислить пропускную |
способность линии |
|||||
связи, у которой длительности символов различны. |
|
|||||
67
Р е ш е н и е . Подставляя выражение N(T) из (3.13)
задачи 5 в формулу (3.6), |
получаем |
|
||
С |
с |
lim |
log' сг т |
log/*. |
|
У'-.оо |
Т |
|
|
Задача 8.'Источник вырабатывает три различных сим вола a, b и с соответственно с длительностями 2, 3 и 4 ед. времени. Определить число различных сообщений, кото рые может выработать источник в течение Т— 20 ед. вре мени.
Р е ш е и и е. Уравнение (3.9) из задачи 5 в нашем слу чае имеет вид
N(T) = N ( T —2) + N (T —3) + N ( T —4). |
(3.16) |
|||
Подставим в уравнение (3.16) |
минимальную длительность |
|||
Т= 2. В результате |
должны |
получить ЛД2) =УѴ(0)+ |
||
+/ Ѵ( — |
—2) = |
1. При использовании |
положитель |
|
ных длительностей сообщений для выполнения последне го равенства необходимо положить
іѴ(0) = 1, Л/ (— 1) = іѴ (—2) = 0 . |
(3.17) |
Результаты непосредственного расчета по формуле (3.16) с учетом (3.17) сведем в табл. И.
N( 1)=Щ—1)■+Щ—2)-j-N(—3)=0
ЛГ(2)=W(0)+ЛГ(-1)+М—2)=1
N(3)=N(\)+N(0)+N{—1)=1
W(4)=W(2)-j-W(l)+N(0)=2
N(5)=N<ß)+N(2)+N(\)=2
jV(6)=Л-(4)-fЛ-(3)+N{2)=■4
N{7)=N(5)-\-N(4)-\-N(3)=5
N(S)=N(6) +N{b)+N(4)=8
N(9)=N(7)+N(6)+N(5)=U
N(20)=N( 18)+//(17) +Щ 16)=760
Таблица 11
•
а
b aa, c
ab, ba
aaa, bb, ac, ca
aba, baa, aab, bc, cb
aaaa, abb, babt bba, aac, аса, caat cc
bbb, abc,"acb, bac, bca, cab, cba, aaab, aaba, abaa, baaa
'
Задача 9. Для передачи сообщений по линии связи ис пользуют три-различных символа с длительностями t\ — = 10~6с, /2= f 3= 2-10“°с. При отсутствии ограничений на
68
допустимый вид последовательностей.символов вычнсліпъ пропускную способность такой линии связи.
Р е ш е н и е . Искомая пропускная способность пахо- -дится по формуле (см. задачу 7)
C= log г,
где /‘ — максимальный корень уравнения
1 — Г 1' - г~*' — r~h = 0. |
ѵ (3.18) |
Введем
где 2^0 —2t\ = |
t2 = h^ Тогда уравнение (3.18) примет.вид |
2x2-j-x— 1 = 0 , |
откуда хтах = 0 ,5 . Таким образом, г~~'° = |
= 0,5. Логарифмируя обе части последнего равенства, на
ходим . |
' |
|
С *= log г = -----— log 0,5 — — = 10(5 (бит, с). |
||
|
то |
т0 |
Задача 10. Для передачи сообщений используются ко довые символы одинаковой длительности ѵ Вероятности появления кодовых символов на входе линии связи одина ковы и равны Р (уі) = \/т ( / =1, 2, ..., т). Показать, что • при этом фактическая скорость передачи кодовых симво лов равна пропускной способности линии связи.
Р е ш е н и е . Скорость передачи кодовых |
символов в |
этом случае можно вычислить по формуле |
|
7 = ^ П |
(3.19) |
т0 |
|
Так как по условию кодовые символы равновероятны, эн тропия
•т
|
H{Y) = - |
2 |
Р(УІ) log Р М = log т. |
(3.20) |
|
|
/=1 |
|
|
' Подставив (3.20) |
в (3.19), получим |
|
||
|
|
7 = |
3 - log т, ' |
(3.21) |
|
|
|
Т0 |
|
что совпадает с пропускной способностью этой линии свя |
||||
зи, вычисленной в задаче 1. |
сообщения т ко |
|||
3 |
а м е ч а н и е. |
Если мы кодируем |
||
довыми символами одинаковой длительности, то для по |
||||
лучения |
максимальной скорости передачи необходимо |
|||
так выбирать кодовые последовательности, |
составляемые |
|||
09