Файл: Шепелев, И. Г. Математические методы планирования и управления в строительстве конспект лекций.pdf

Итак, стохастическая модель первого типа — математическая зависимость, где все компоненты связаны жесткой функциональ­ ной связью, а часть переменных является случайными величина­ ми, изменяющимися по их законам распределения.

Существует другой тип стохастических моделей, в которых связи между факторами не являются жесткими, связи эти уста­ навливаются статистически и носят случайный характер. При­ мером таких моделей являются корреляционные формулы. Нежесткость связей в них характеризуется тем, что коэффициен­ ты регрессии рассматриваются как случайные величины (см. §3.3).

Стохастическими моделями второго типа будем называть математическую зависимость, выраженную корреляционными формулами. Сложная система может быть выражена комплек­ сом из детерминированных, стохастических первого н второго типов, логических и графоаналитических моделей.

В дальнейшем в главах II—IV рассматриваются стохасти­ ческие модели второго типа. Построение детерминированных моделей несложно. В качестве примеров построения в главе VI приведены задачи. Стохастические модели первого типа рас­ смотрены в VII (собственно, метод Монте-Карло и есть реали­ зация стохастических моделей первого рода) и VIII главах. В постановке и примерах решения задач VIII главы встречаются детерминированные и стохастические модели первого и второго типов.

Реальный производственный процесс протекает в сложной изменяющейся обстановке. Поэтому математические модели, адекватно отображающие действительность в определенный мо­ мент времени, могут не отображать изменившиеся условия про­ изводства в следующий момент. Особено этот недостаток присущ моделям, построенным на статистическом материале прошлых периодов. В условиях автоматизированных систем управления (а именно в этих условиях существует необходимость в приме­ нении математических моделей) имеется реальная возможность обновления моделей в автоматизированном режиме. Такое об­ новление называется адаптацией моделей, т. е. приспособлени­ ем моделей к изменившимся параметрам производства ([10]

и[4].

Всоставе АСУ необходимо иметь блок адаптации для аначТиза соответствия математических моделей условиям производ­ ства и их корректировки.

Особое место в моделировании занимают сетевые модели, нашедшие в настоящее время широкое применение в управлении строительством. Сетевые модели (графики) относятся к классу

9

Г Л А В А II

ПАРНАЯ КОРРЕЛЯЦИЯ

§ 2.1. Корреляция

Методы теории корреляции позволяют определять количест­ венную зависимость между различными техническими, техноло­ гическими, организационными, экономическими и другими фак­ торами.

Различают зависимости: функциональную и корреляцион­ ную. Под функциональной понимается такая зависимость, когда с изменением одного фактора изменяется другой, причем, одно­ му значению независимого фактора обычно соответствует толь­ ко одно значение зависимого фактора. Корреляционная зависи­ мость— это такая зависимость, которая определяет некоторые средние соотношения и одному какому-либо значению независи­ мого переменного может соответствовать только среднее значе­ ние зависимого переменного. Конкретных же значений может быть несколько. На рис. 1 и 2 приведены примеры функциональ­ ной и корреляционной зависимостей. Корреляционные зависи­ мости наблюдаются только при массовых явлениях.

При корреляционном анализе решаются следующие задачи:

и достоверность отдельных параметров.

Наличие корреляции приближенно может быть определено путем визуального анализа поля корреляции. Корреляционным полем называют нанесенные на график в определенном мас­ штабе точки, соответствующие одновременным значениям двух величин. На рис. 3 приведено поле жорреляции между себестои­ мостью (млн. руб. затрат на 1 млн. руб. сметной стоимости строительства) и численностью рабочих (на 1 млн. руб. стои­ мости строительно-монтажных работ). На графике можно про-

•вести линию, вокруг которой концентрируются точки поля, на основании этого можно сделать вывод о наличии корреляции.

11

У

Рис. 2. График корреляции

У

1.6

. *

Численность рабочих

Рис. 3. Поле корреляции между уровнем себестоимости и численностью рабочих на 1 мли. руб. сметной стоимости

§ 2.2. Теснота связи

Тесноту связи между двумя величинами можно определитьвизуально по соотношению короткой и продольной осей эллип­ са рассеяния. Чем больше отношение продольной стороны к ко­ роткой, тем связь теснее. Например, у эллипса рассеяния, при­ веденного на рис. 3, продольная ось намного больше, чем ко­ роткая. Это означает, что между себестоимостью строитель­

г = 1, то между двумя величинами существует функциональная связь. При положительном г наблюдается прямая связь, т. е. с увеличением независимого переменного увеличивается зависи­ мое. При отрицательном коэффициенте существует обратная

где х и у — текущее значение наблюдаемой величины, N — число наблюдений.

13

Другая формула для определения коэффициента корреляции:

§ 2.3. Метод наименьших квадратов

Для численного выражения параметров функции, выражаю­ щих связь между двумя величинами (линии регрессии), обычно применяется метод наименьших квадратов. Сущность метода наименьших квадратов состоит в том, что выбирается такая ли­ ния, проведенная в центре эллипса рассеяния, при которой сум­ ма квадратов разностей между фактическими наблюдениями зависимой переменной и расчетными значениями, полученными по регрессионной формуле, минимальна

где у — расчетное значение зависимого переменного по корре­ ляционной формуле.

Для нахождения параметров линии регрессии в выражение (2.3.1) подставим правую часть формулы, параметры которой

следует найти. Допустим, у = а + Ьх, тогда

Возьмем частные производные по а и b от выражения (2.3.2)

нприравняем их к 0:

——= — 22 (у — а — Ьх) = О

da

(2.3.3)

— — 2 S (у —а — Ьх) х = О

Решаем систему из двух уравнений относительно а и b:

N a + Ь ^ х — Ъу

( 2 . 3 .4 )

аЪ х - \- Ы>х2 = Их у

14