Файл: Шепелев, И. Г. Математические методы планирования и управления в строительстве конспект лекций.pdf

получим формулу:

N 2 ху — Их Sy

(2.3.5)

N S ^ - ( S a:)2 '

Параметр а находим подстановкой в формулу прямой линии значения параметра Ъ. Решив уравнение прямой линии относи­ тельно а при х и у, закрепленных на среднем уровне, получим:

а= у — Ьх.

Вформу табл. 1 заносятся исходные данные для определения прямой линии.

При линейной корреляции коэффициент корреляции г являет­ ся не только критерием тесноты связи, но й критерием точности аппроксимации (подбора формулы, выражающей зависимость).

Рассмотрим пример установления корреляционной зависимос­

15

плуатации машин и механизмов— х. Поле корреляции этой свя­ зи приведено на рис. 4.

Исходные данные для определения линии регрессии приведе­ ны в табл. 2.

Расходы по эксплуатации машин и механизмов

Рис. 4. Поле корреляции

Расписав исходные данные по форме табл. 1 и произведя не­ обходимые вычисления, получим суммы:

Используя эти данные, вычислим

16

Таким образом, уравнение связи между основной заработной платой и расходами по эксплуатации машин и механизмов в строительстве имеет выражение:

Коэффициент корреляции между этими двумя показателями

§ 2.4. Степенная зависимость

Допустим, что имеем парные наблюдения (у, х), представ­ ляющие соответственно выработку в тыс. руб. и коэффициент текучести. Результаты наблюдений приведены в табл. 3.

Т а б л и ц а 3

Аналогично примеру, рассмотренному в предыдущем пара­ графе, зададимся гипотезой, что между, себестоимостью и те­ кучестью имеется линейная зависимость. Воспользовавшись процедурой метода наименьших квадратов, определим парамет­ ры этой линии и коэффициент корреляции г.

Коэффициент корреляции г = 0,197.

Нельзя ли эту зависимость аппроксимировать какой-либо другой линией, которая более точно соответствовала бы этим статистическим наблюдениям?

На рис. 5 приведено поле корреляции между показателем вы­ работки и коэффициентом текучести. По форме облака рассея­ ния видно, что кроме прямой линии в центре .хяштения лючек

17

можно провести кривую. Аппроксимируем эту кривую степен­ ной зависимостью

Для определения параметров степенной зависимости пользу­ ются процедурой метода наименьших квадратов, но предвари­ тельно производят линеализацию (спрямление) кривой. Для

Рис. 5. Поле корреляции между выработкой в тыс. руб. и коэффициен- ■ том текучести

этого необходимо прологарифмировать правую и левую части формулы (2.4.2), в результате чего получится выражение

Параметры Iga я Ь находятся методом наименьших квадратов. Система линейных уравнений (2.3.4) может быть преобразова­ на и решение получено по формулам:

18

Необходимо помнить, что в результате этих вычислений по­ лучается Iga, поэтому для получения параметра а формулы степенной зависимости это выражение следует потенцировать, в то время как Ь получается в чистом виде.

Оценка точности аппроксимации криволинейной зависимос­ тью производится при помощи корреляционного отношения

У2 ( у — у ?

Корреляционное отношение всегда 0 ^ т] ^ 1, оно всегда положительно. Если г) больше г, то кривая точнее аппроксимиру­ ет зависимость, чем прямая, для прямой г = т].

Табл. 4 содержит форму записи исходных данных для опре­ деления степенной зависимости.

Дополнительной оценкой точности аппроксимации, часто применяемой при оценке нелинейной корреляции, является сред­ няя относительная ошибка аппроксимации е, которая определя­ ется по формуле:

Пользуясь формулой (2.4.7), определяем расчетные значения у. Заполнив столбцы 9—13 табл. 4 и подсчитав суммы по фор­

19

мулам (2.4.5) и (2.4.6), определяем г| = 0,77 и е = 12,81. Кор­ реляционное отношение ц = 0,77, что больше г = 0,197, опре­ деленного для этих статистических данных: это означает, что степенная линия регрессии лучше аппроксимирует зависимость между выработкой и текучестью рабочей силы, чем прямая ли­ ния.

§ 2.5. Логарифмическая зависимость

Логарифмическая зависимость выражается формулой вида:

График логарифмической функции представлен на рис. 6. Для получения параметров логарифмической кривой нужно прологарифмировать наблюдения по х и, рассматривая их как

Рис. 6. График логарифмической функции

независимые переменные, определить параметры а и b по мето­ ду наименьших квадратов. При последующем использовании кривой для определения зависимой переменной необходимо ло­ гарифмировать независимую переменную и подставить ее зна­ чения в уравнение (2.5.1).

Рабочие формулы для определения параметров а и b имеют

20

Корреляционные отношения р и е вычисляются но приведенным в предыдущем параграфе формулам.

Форма записи исходных данных для вычисления параметров линии регрессии и оценок этой линии приведены в табл. 5.

Таблица 5

§ 2.6. Параболическая зависимость или многочлен n-й степени

Если степень независимого переменного равна двум, то это парабола второго порядка и т. д. Прямая зависимость является частным случаем многочлена.

Аппроксимация (подбор) параболической кривой осущест­

Возьмем частные производные от этого выражения по а, b и с

= — 2 £ (у — а — Ьх — сх2) = 0;

da

= — 2£ (у — а — Ьх — сх2) х —0;

db

= — 22 (у — а — Ьх — сх2) х 2 = 0.

dc

Получим систему нормальных или ортогональных уравнений, которая после несложных преобразований примет вид:

Na + 6£.x: + c£.x:2 — £у;

21