Файл: Шепелев, И. Г. Математические методы планирования и управления в строительстве конспект лекций.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.10.2024

Просмотров: 49

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Решая систему, находим любым известным методом параметры

параболы а, Ь и с.

 

(2.6.3) записать в матричной форме,

Если систему уравнений

a

b

c

 

N

2x

2x2

(2.6. 4)

l x

2д:2

2x3

2yx

2x2

2x3

2x*

2yx3

то параметры параболы можно определить из выражений:

_ Дь .

(2.6.5)

 

Д ’

дс

~д ’

где Д — определитель матрицы линейных уравнений; Да — определитель матрицы линейных уравнений, в котором

столбец, имеющий в своем составе «а», заменяют столбцом свободных членов;

Дь — определитель матрицы, в котором столбец, имеющий - в своем составе «Ь», заменен столбцом свободных чле­ нов;

Дс — определитель, в котором столбец, имеющий в своем со­ ставе «с», заменен столбцом свободных членов.

Определители матрицы (2.6.4) можно расписать в виде сле­

дующих выражений:

 

 

Д =

N £ х 2 Ел:4 +

ЕхЕх3 £х2 + £ х £ х2 £ х 3 -

 

-

£ х 2 £ x2 £ x 2 - (Ex)2 S x 4 — N (Ex3)2.

(2.6.6)

J X = Ey E x2 Ex4 + Ex3 Ex £x2y + E xy Ex2 Ex3 -

 

-

£ x 2y (Ex2)2 - Exy ExEx4 — E у (E x 3)2.

(2.6.7)

R b = N E xy Ex4 +

Ey Ex3 Ex2 + Ex Ex2 E x 2y -

 

- N Ex3 E x 2y -

Ex4 Ex Ey - (Ex2)2 E xy.

(2.6.8)

Д с = N Ex2 Ex2y + Sx Ex3 Ey -f Ex Ex2 Exy —

 

-

N Ex3 Exy -

E x 2y Ex2 Ey — (S x2)2 Ey.

(2.6.9)

22

 

 

Т а б л и ц а 6

У

X X2 X 3 Л-‘

ху

Х2У

Форма записи и обработки исходных данных для параболи­ ческой зависимости представлена в табл. 6.

Оценка точности аппроксимации параболы также произво­ дится по корреляционному отношению rj и ошибке аппроксима­

ции е.

§ 2.7. Корреляционные зависимости периодического вида

Кривые периодического вида могут найти широкое распрост­ ранение при аппроксимации зависимостей многих экономичес­ ких явлений во времени. Наблюдения времени могут быть пред­ ставлены в виде равноотстоящих переменных х, выраженных & тригонометрической форме.

Если взять период времени, равный году, и провести ежеме­ сячные наблюдения какого-либо экономического показателя, т& время, как аргумент, может быть записано в тригонометричес­ ком виде

■2ic;

(2.7.1>

12

В течение года можно получить 12 наблюдений экономического

показателя у и у2, уз, .... у 12. Тогда зависимость

величины у от

времени х можно выразить уравнением:

 

m

 

у — а0-ф- 2 (ак cos kx -f- Ьк sin kx),

(2.7.2)'

k=l

 

здесь Go, Gk и &k — коэффициенты линии регрессии, число их рав­

но

2m + 1. Если N > 2 т + 1, коэффициенты Gk и Ьк находятся

по

методу наименьших квадратов. Целевая функция имеет вид:

 

N

m

(2.7.3)

 

S = 2 [у — ао— 2 (ak cos ^х + sin &х )2 “*■min-

 

N=1

к—1

 

 

Для

вычисления

неизвестных параметров уравнения а0,

Gk,

6к

и т.

д. необходимо продифференцировать выражение (2.7.3).

в

частных производных относительно ао, Gk, Ьк и т. д., приравнять, полученные производные нулю и составить систему ортогонадь-

2$

ных уравнений. При этом необходимо принять во внимание, что функции 1, cos kx, sin kx, ( k — 1, m),

. N

где m — составляют систему ортогональных по отношению к

ряду (2.7.1) функций, а сумма

 

 

N

 

2N-*tc

О, при k Ф /;

 

\

 

2N-1-*

. / , п , N

(2.7.4)

,cos—- — cos-

N

N=1

N

—, при

к = 1 ф 0 ф

 

 

 

 

 

Благодаря этому свойству решение нормальных уравнений ока­ зывается сравнительно простым [3]. Для вычисления парамет­ ров уравнения (2.7.2) имеем:

N

аО-— У-

N

у cos kx,

(2.7.5)

N

*k ^

»

sin^ .

N- l

Вкачестве примера составим корреляционное уравнение за­ висимости поставок леса от времени года. Данные подекадных поставок в процентах к плану представлены в табл. 7.

Если зависимость аппроксимировать тригонометрической кривой с k =■4, то расчетные данные удобно расположить в ви­ де табл. 8. Подставим данные табл. 7 в форму табл. 8, просум­

мируем столбцы 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Получим суммы:

Ss =

+ 456,8

= + 388,698 S 4 = — 628,962 Sr, = — 704,669

Se =

- 495,376

= — 829,764 Se =

- 208,947 So =

- 1039,841

S io -= + 531,813.

 

 

 

 

В соответствии с формулами (2.7.5)

определим параметры урав­

нения периодического типа

 

 

ап

456,8

=

12,68

 

 

36

 

 

 

 

 

 

 

 

а I — 388,698

=

21,59

628,962

- 34,94

 

 

18

 

 

18

 

24

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Т а б л и ц а 7

Наблю­

x ,

У

Наблю­

X ,

У

Наблю­

х ,

У

Наблю­

X ,

У

дения

ДН И

дения

дни

дения

дни

дения

дни

i

10

- 1 7 ,8

2

20

- 4 5 ,0

3

30

+60,0

4

40

+ 16,2

5

50

+47,5

6

60

—45,8

7

70

+ 13,2

8

80

+26,2

9

90

+81,0

X

У

X

ч

COS

с

 

<*3

 

 

у

 

1

2

3

4

10

100

—51,5

19

190

 

- 4 7 ,7

28

280

+96,0

и

п о

- 3 8 ,5

20

200

 

—44,7

29

290

+ 115,0

12

120

—14,5

21

210

 

+ 136,0

30

300

+330,0

13

130

+47,0

22

220

 

- 9 ,8

31

310

+89,5

14

140

—24,6

23

230

 

+ 16.0

32

320

+260,0

15

150

- 9 ,7

 

24

240

 

—25,0

33

330

+62,6

16

160

- 5 ,1

 

25

250

 

+ 10,1

34

340

—100,0

17

170

—46,5

26

260

 

+43,8

35

350

-100,0

18

180

- 8 2 ,0

27

270

 

—93,0

36

360

-100,0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Т а б л и ц а 8

ч

Ч

Ч

Ч

Ч

ч

 

 

 

 

 

 

СМ

со

тГ

 

 

 

 

 

1У—У

 

<м

со

Tf*

 

 

 

 

 

С<3

с

*5

С

«О

«О

У

(у-у) (У-У)2

(У-У)

(У-У)3

г г

с>

 

О

 

О

Ss

 

>ч

 

>ч

Ss

 

 

 

 

 

 

5

6

7

8

9

10

и

12

13

14

15

16

t

I.

2,5

S7

2S.

X9

"io

2 »

2 13

S l4

^15

216

а 2 — -

704,669

39,14

b2 =

-

495,376

=

— 27,52

 

 

18

 

 

 

18

 

 

а я =

-

829,764 -

- 46,09

b3=

-

208,947

=

- 11,60

 

 

18

 

 

 

18

 

 

a k =

-1039,841

— — 57,76

b* =

531,813 _

29,54,

 

 

18

 

 

 

18

 

 

Уравнение имеет вид:

 

 

у =

12,68 + 21,59 cos л: — 34,94 sin л: — 39,14 cos 2л: —

— 27,52

sin 2л: — 46,09 соэЗл:— 11,60

эшЗл:— 57,76

cos 4л; +

 

+ 29,54 sin 4л:.

 

(2.7.6)

Подставив значения cos л:, sin л: в уравнение (2.7.6), получим

расчетные значения зависимого переменного у. Заполнив ими столбец 11, табл. 8 и рассчитав значения для столбцов 12—16, получим необходимые данные для вычисления корреляционно­

го отношения г| и ошибки аппроксимации е.

Вычислим

ri

S (у - 3 + _

. / j _

13597,3160

= 0,97

S ( y _ + 2 ~

К

301230,1945

 

 

-•5,69645-100% = 15,84%.

Смотрите также файлы