Файл: Чандрасекхаран, К. Введение в аналитическую теорию чисел.pdf

Скачать файл (5,40Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.10.2024

Просмотров: 76

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

§ 2. Суммы двух квадратов

Иногда мы будем выражать этот результат другими словами, говоря, что иррациональное число \ аппрокси мируется рациональными числами hlk с точностью до

\/k2.

Так	как	\|—h/k можно записать в виде	(\|+ я) —
— (h + kn)/k,		где я — целое число, то теоремы 1, 2, 3 и 4
будут	справедливыми и без предположения		0 < £ < 1 .

§ 2. Суммы двух квадратов. Теорему 3 можно исполь зовать для доказательства того факта, что целые числа определенного вида представимы в виде суммы двух квадратов.

Теорема 5. Пусть я и А — положительные целые чис

ла и п$А2-\-$. Тогда существуют такие целые числа s

и t, что n = s2-\-t2.

Доказательство. Случай я = ] тривиален. Предполо

жим, что я^г2, и пусть N = [V n }. Ясно, что в этом слу чае n > N . Из условия п \(Л2 + 1) следует, что (я, Л) = 1.

Следовательно, А/п есть несократимая дробь со знаме нателем n > N , и тогда по теореме 3 существует несокра

тимая дробь	r/s,	такая,		что
	А____ г_		<■	1	,
	А____ г_		<■	О < S < N	,
	п	S	s(N + 1)
т. е.			га
\|As	— гп \|<		га	< V	П .
\|As	— гп \|<		N +	< V	П .
			N +	1

Пусть As—rn = t. Тогда t		является целым числом и s2+
+ / 2 = s2 _\| (,4s— гя)2 = $ 2	(Л2	+ 1)—2Asrn + r2n2.	Поскольку
я делит правую часть	последнего равенства,		мы имеем

я\| (s2-)-^)■ Кроме того, 0 < s ^ A ^ ^		V я, \|£\|< У я, от
куда 0 < s 2 + / 2 < 2 n . Следовательно,		n = s 2-\-t2, так что я
действительно является суммой двух квадратов.
Легко видеть,	кроме того, что (s,	/) = 1.	Действитель
но, мы имеем (s,	t) = (s, As—rn) — (s, rn).		Но дробь r/s

несократима и, следовательно, (r, s ) '= l . Таким образом,

3—870

34 Гл. III. Аппроксимация иррациональных чисел

(s, t) = (s, п).	Кроме того,	n = s 2-j-t2 и тогда
1	= S*(Л2 + 1 )	— 2 Asr + г2п .
	П

Поскольку по предположению (Д2 + 1 )/п есть целое, лю

бой общий делитель s и п должен делить 1. Следова тельно, (s, п) = ! = (s, t).

Следствие. Пусть п является положительным целым

и п\(А2+ В 2), где {А, Д) = 1 . Тогда существуют такие

целые числа s и t, что n — s2+ t2.

Доказательство. Воспользуемся тождеством

{А2+ В 2) {C2+ D 2) == (A D +B C )2+ (A C —BD)2.

Из гл. I нам известно, что для данных А и В с условием (А, В) = 1 можно найти такие целые числа С и D, что АС—BD— 1 . Тогда мы получим

(Л2+ £ 2) (C2 + D 2) = {A D +BC )2+ 1,

так что если п\(Л2 + Д 2), то п\{(Л /)+ В С )2 + 1 } . По тео

реме 5	мы получаем отсюда,	что n = s 2-\~t2.
§ 3.	Простые числа вида	4 к ± 1 . В гл. I мы привели

доказательство Евклида бесконечности множества про стых чисел. Каждое простое число, отличное от 2, нечет но, а любое нечетное число представляется или в виде 4k— 1, или в виде 4/е+1 с целым k. С помощью рассуж дений, аналогичных рассуждениям Евклида, мы пока жем, что каждая из этих последовательностей содержит бесконечно много простых чисел.

Теорема 6 . Существует бесконечно много простых

чисел вида 4/е— 1.

Доказательство. Пусть qь q2, ...,		qr — первые г	про
стых чисел вида 4/г— 1. Положим N =4qiq2...qr— 1			и за
метим, что N есть нечетное число.		Следовательно, все
его делители имеют вид 4k— 1	или 4/е+ 1. Но Af не может
иметь в качестве делителей	только	числа вида 4&+К

так как произведение двух чисел такого вида снова яв ляется числом того же вида, в то время как N имеет

§ 4. Теорема Гурвица

вид 4k— 1. Следовательно, число N имеет простой дели тель вида 4k— 1. Ясно, что N не делится на qu <7 2 , ..., qr,

и тогда указанный простой делитель должен быть боль ше qr.

Теорема 7. Существует бесконечно много простых чисел вида 4&+1.

Доказательство. Предположим, напротив, что про стых чисел вида 4 k + 1 конечное число и что 5, 13......р — все эти простые числа, причем р — наибольшее из них. Положим

N — (2-5- 13...р)2+ 1 .

Число N нечетное и, следовательно, все его делители также будут нечетными. По теореме 5 каждый простой делитель q числа N представляется в виде q = s 2-\-t2. По скольку q нечетное, одно из чисел s и / должно быть чет ным, а другое нечетным. Тогда <7 = s 2+ / 2= l (mod 4) и,

следовательно, каждый простой делитель числа N дол жен иметь вид 4&+1. Это приводит, однако, к противо речию, так как N > 1 и не делится на любое из простых чисел 5, 13, ..., р, которые по предположению исчерпыва ют все простые вида 4k4r \.

§ 4. Теорема Гурвица. Мы начнем с уточнения теоре мы 4.

Теорема .8 . Если | — иррациональное число, то суще

ствует бесконечно много' несократимых дробей hjk, та ких, что

Доказательство. Пусть FN— последовательность Фарея порядка 1. Тогда \ лежит между некоторыми двумя последовательными дробями alb и с/d этой после довательности, так что

36 Гл. III. Аппроксимация иррациональных чисел

Мы докажем теорему, если покажем, что выполняется по крайней мере одно из неравенств

Р___!L <- J _		_£____ £ <		—	(1)
s	b ^ 2b2 ’	d	S ^	2d2

Предположим, что неравенства (1) не выполняются. Тогда, поскольку £ иррационально,

I	а	(2)
	b

Отсюда и из условия Ьс—a d = 1 мы получаем (b—d )2<


< 0 . Следовательно,	или
I — — < —		или	■ Е <	2d2
ъ	2ь2			2d2

Таким образом, существует рациональная дробь hlk в FN (равная а/b или c/d), такая, что

Поскольку (c/d) — (а/b) =	\/(bd),			в силу выбора h/k мы
имеем
h		<	—	!—
< —
k	bd		b + d — 1
и так как по теореме 10 гл.		I b-\-d^N-\-1, то
IЕ -	h	<	_1_
	k		"дГ'

Так как величину N можно менять но нашему усмотре нию, мы заключаем отсюда, что имеется бесконечно мно го таких дробей h/k. Тем самым теорема доказана.

В теореме 4 мы показали, что любое иррациональное число с точностью до \/k2 аппроксимируется бесконеч ным множеством рациональных чисел h/k. В теореме 8

эта аппроксимация была улучшена до \/2k2. Естествен ным образом возникает вопрос о возможности дальней шего улучшения последнего результата. А именно, су ществует ли число с/> 2 , такое, что | можно с точностью

до \/ck2 аппроксимировать бесконечным множеством ра циональных чисел h/k? Ответ на этот вопрос дает сле дующая теорема Гурвйца:

§ 4. Теорема Гурвица

Теорема 9 (Гурвиц). Если | — иррациональное число

и 5 — любое положительное действительное чис ло, то существует бесконечно много рациональных чисел h/k, таких, что

Если же с > | /~ 5 ", то существуют иррациональные числа

для которых указанное неравенство выполняется толь

ко для конечного мноокества рациональных чисел h/k.

Доказательство (Хинчин). Пусть FN— последова тельность Фарея порядка N > 1 и h/k, h'/k' — соседние члены этой последовательности, такие, что h/k< £,<h'lk'. Мы можем считать, что или

К > [ V	5 + l) k	или k! < ( V 5 — life
		2
В самом деле, если
( К 5 - _ \| Ь < 4, < ( У 5 + I) k
то
k +	V > V	5 + 1max (k, k')
		2

и мы можем. заменить FN на FM, M = k-\-k\ а одно из

чисел h/k, h'/k' их медиантой				(h-{-h')/(k-\-k'), так как
k(h-\-h')—h(k+k') — (k-\-k')h'— (h-\-h')k'=\						(см. теоре
му 7 гл. I).					__
Таким образом,		если k'/k = h), то с о > (К 5-f-1)/2 или
w <;( К 5— 1) /2.	В	любом	из	этих случаев		мы имеем
l+o)~2>-]/^ 5 со-1,	поскольку
1 +	со
	со
	1	I	V b +	\	со	> 0 .
------------ с о --------------- ~					со	> 0 .

V 5 со2 '

38 Гл. III. Аппроксимация иррациональных чисел

Следовательно,
- — / — + — ^ =					( 1	+■ — ) > —
' T	\ ki	k’2)		V T k * {		СО2	^
' T	\ ki	k’2)		V T k * {
так что
h / _ ___ h		^	1 _	1		_1_
k '	k		k k '	k 2 CO	5	k2 f F 2
				V	5
откуда
	_Л_		1	> w _ _ _		1
	k	v	~5 k 2	k '	V	5 k'
Значит, один из открытых интервалов
h	J t __1			или	k’		W
	’ k		5 k 2	или		V 5	k'
k		V					k'
k		V					k'

будет содержать точку £. Рассуждая так же, как в за ключительной части доказательства теоремы 8 , мы ви

дим, что существует бесконечно много таких рациональ ных приближений. Этим первая часть теоремы доказана.

Для доказательства второй части предположим, что

с >	V~5,	и	рассмотрим		иррациональное число			£==
=	— (1 +	У 5 ). Покажем,			что для этого \| имеется толь
ко	конечное число дробей h/k,					удовлетворяющих		нера
венству
					<	1		(3)
				5 - Т	<	С*	2	(3)
Пусть c— V			5/а,	где 0 < а < 1 .		Предположим, что
			h	1+ V	~5 <		5 k 2
						V	5 k 2

Последнее неравенство мы можем записать в виде ра венства

в1+1^5

V * k2

Смотрите также файлы

Шепелев, И. Г. Математические методы планирования и управления в строительстве конспект лекций.pdf

Шульц, Е. Ф. Индуктивные приборы контроля размеров в машиностроении.pdf

Шумский, Д. Л. Герой социалистического труда Н. П. Барабашов.pdf

Ядернофизические методы анализа и контроля технологических процессов [сборник статей]..pdf

Александровская слобода. Памятники архитектуры XVI-XVII вв.pdf

Файл: Чандрасекхаран, К. Введение в аналитическую теорию чисел.pdf

Смотрите также файлы

Информация

Списки файлов

Дополнительно