Файл: Чандрасекхаран, К. Введение в аналитическую теорию чисел.pdf

где |0 |< а . Отсюда мы получаем, что

или, после возведения в квадрат обеих частей последне­ го равенства,

h* — hk — k2 = 0 Н------— .

5 №

Поскольку h и k — целые, /г2 —hk—k2 не может обра­

щаться в нуль, за исключением случая h = k= 0. Но £=/-

Таким образом, знаменатель k дроби h/k, удовлетворяю­ щей неравенству (3), должен удовлетворять неравен­ ству (4). Но а фиксировано и потому k может при­ нимать лишь конечное число значений. Из (3) следует, что h также может принимать только конечное число

значений. Следовательно, если с > У 5, , то неравенство

(3) справедливо лишь для конечного числа дробей h/k. Тем самым теорема 9 полностью доказана.

Отметим, наконец, что теоремы 4, 8 и 9 останутся

справедливыми, если опустить условие

ГЛАВА IV

КВАДРАТИЧНЫЕ ВЫЧЕТЫ И ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ

ВВИДЕ СУММЫ ЧЕТЫРЕХ КВАДРАТОВ

§1 . Символ Лежандра. Теория квадратичных выче­

тов является одним из основных разделов теории чисел. С ее помощью, например, можно доказать такие эле­ гантные результаты, как теорему Эйлера о том, что каж­ дое простое число вида 4&+1 представляется в виде сум­ мы двух квадратов, и теорему Лагранжа о том, что каж­ дое положительное целое число представляется в виде суммы четырех квадратов.

Пусть р — нечетное простое число и а — целое число, причем (а, р) = 1. Если существует такое целое число х,

что x2 = a (m o d p ), то а называется квадратичным выче­

том по модулю р. Если такого х не существует, то а на­ зывается квадратичным невычетом по модулю р.

Мы иногда будем использовать запись aRp для обо­ значения того, что а — квадратичный вычет по модулю р, и aNp для обозначения того, что а — квадратичный невычет по модулю р. Чтобы выяснить, сколько чисел из

Все они попарно не сравнимы по mod р. Действительно, если мы возьмем любые два из этих чисел, скажем г2

что целое число а принимает в сравнении ( 1 ) в точности (р— 1 ) / 2 различных значений, когда х пробегает множе-

Удобно расширить определение символа Лежандра, по­ ложив

— j = 0 , если р |т.

Поскольку имеется столько же квадратичных невыче­ тов, сколько и квадратичных вычетов, мы имеем

р— 1

Далее, если /n1 = m2 (modp), то

§ 2. Теорема Вильсона и критерий Эйлера. Следую­ щий результат, известный под названием теоремы Виль­ сона, но впервые доказанный Лагранжей, выражает характеристическое свойство простых чисел:

и притом единственный, элемент х' из того же самого множества, такой, что

42 Гл. IV. Квадратичные вычеты

= р — 1. Действительно, сравнение x2 = l(m o d p ) эквива­ лентно сравнению (х— 1 ) (х-\-l)= = 0 (modp), так что или

Тем самым теорема Вильсона доказана.

Предположим теперь, что число р составное. Тогда его можно представить в виде p = q r, 1 < р < р . Следова­ тельно, q будет входить в качестве сомножителя в произ­ ведение 1 - 2 -3 ...{р— 1 ), и сравнение

(р— 1 ) !+ 1 = 0 (mod q)

в этом случае не разрешимо. Тем более не будет разре­ шимым и сравнение (р— l)! + l = 0(m odp). Таким обра­ зом, теорема Вильсона устанавливает характеристиче­ ское свойство простых чисел.

Пусть теперь р — нечетное простое число и (а, р) = ■=1. Покажем, что если а — квадратичный вычет по мо­ дулю р, то

а (р_1)/2_ 1 (m od р ).

Но по теореме Ферма (теорема 3 гл. II) мы знаем, что jcp _ 1 = 1 (modр ). Следовательно, а(г>-')/2 = i (modp).

С другой стороны, по теореме Лагранжа (теорема 7 гл. II) сравнение

£(p- i)/2 == 1 (mod р)