Файл: Фоломеев, А. А. Снижение материалоемкости железобетонных конструкций-1.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.10.2024
Просмотров: 46
Скачиваний: 0
М_ з / да |
Я |
й~ w |
, д- да |
||
+ 2 |
dt |
йх- |
1 йу2 |
||
|
|||||
„ ,, |
ч „ ( й2w д-w |
( d-w \2 ) |
|||
2 |
|
|
ib |
|
) dx dy |
|
xs(f)^ |
й- Up |
одаfifx flfy |
||
■ i |
|
ctf2 |
|
||
m„ |
Zv dy —M *1 “° Sm l dt = 0. |
.f ■"c Щ2 |
ЙГ |
Интегрируя по частям (1.8) согласно [51] и учитывая, что t — tA и t = tB ода = Zv = ш — 0,
записываем
|
D А3да-L m |
и |
й2(да L«,i) |
Zwdx dy |
|
|
ш |
|
dt- |
|
|
|
«А |
|
|
|
|
+ |
/га d- (v -г «о) |
й2f |
Zvdy + |
М дЧи, 1 - ^ би - |
|
|
ду- |
|
й/2 |
||
(1.8)
при
|
|
|
|
dw |
|
|
|
dHv |
_ ода dy + |
|
+ фж<г (1т)',у-(|)Л,.г W |
|
dx + |
^ , + |
ду |
||||||
+ |
N.. |
М х |
одаdх + |
^ |
|
;•) й*/-^ |
* | |
|
||
дх |
|
х U) |
- Zv^ |
■dt = 0, (1.9) |
||||||
где |
|
|
|
]-2Л |
ду |
|
о J |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
(d-w |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- D |
а С |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 йу2 |
1 0 |
дх2■) = |
^ |
|
~ , й2 га> , |
д3 w \ |
|
., |
гл! &w , |
й3 я> \ |
|||
— — D ( “й^Г + |
lixdy3 ) ’ |
|
~ -0 |
( “й^г |
1 йуЙА2 ) 1 |
|||||
|
|
|
|
д- w |
|
|
|
|
д- w |
|
|
Н |
D (1 — а) дх ду |
Hy = - D ( 1 — а ) дхду |
|||||||
(У соответствует нумерации левой |
и правой панелей, работаю |
|||||||||
щих на сдвиг). |
|
|
(у, t) и и (() являются зависимыми вслед |
|||||||
Функции да (х, у, t), v |
||||||||||
ствие совместности деформации, поэтому всегда должны выпол няться условия (см. рис. 1)
v (у, |
t) = да (х , у, г^_0 (для |
левой |
панели) |
(1. 10) |
г» (у, |
t) = да (а-, у, ^)г=й (для |
правой |
панели) |
и (() = г) (у, <)у=б (для перекрытия)
9
В уравнении (1.9) |
полагаем |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
оо |
|
|
|
|
w (х, у, t) = |
2 |
(X, |
у) Tt (t) |
|
|||
|
|
|
|
|
/= 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
оо |
|
|
|
|
V (у. 0 = 2 ® / (У) Т1 |
|
||||||
|
|
|
|
|
/-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
оо |
|
|
|
|
|
и (о |
= |
2 v |
«(о |
|
||
|
|
|
|
00 /-1 |
|
|
|
|
|
|
Л^ |
= |
2 |
ж л/ (*. у) 7/(0 |
|
||
|
|
|
|
i=l |
|
|
|
|
|
|
|
|
00 |
|
|
|
|
|
|
^ у = 2 ж у/(х ’ у ) г /^ ) |
( 1. 11) |
|||||
|
|
|
|
/=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
оо |
|
|
|
|
|
|
|
= |
2 |
А',, |
(Л-. у) Т,Щ |
|
|
|
|
|
|
/-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
оо |
|
|
|
|
|
|
^ |
= |
2 ^ / ( ^ y ) |
w |
|
||
|
|
|
|
i=l |
|
|
|
|
|
|
|
|
оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
1=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
оо |
|
|
|
|
|
|
я у = 2 Я У/ ( * .у) W |
|
|||||
|
|
|
|
/=1 |
|
|
|
|
Внося (1.11) в (1.9) и учитывая произвольность вариации |
функ |
|||||||
ции Tt (t), |
получаем |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
Ла т, |
+ 2 |
В„ |
Т, = |
Р, |
(к = 1, 2, 3...), |
(1.12) |
|
1=1 |
/=1 |
|
|
|
|
|
||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
Л / = |
j* |
wi dx dy + |
j* v k V13 (^y)» |
|
||||
dwb
|
у/ |
®ь d y + |
+ |
Л/ 1 <ty |
|
^.w + |
|
M y i ~ W d x J r
(1.13)
дНх Л
N,уI dx \ Wkd x +
ID
,(/) dvlJ} JJ)
dy
j=i, 4
Вторые слагаемые в выражениях Akl и Pk записаны по Стильтгесу [50] так, что
| vk vi 3 (аУ) = j |
°* vt ё У+ T - |
v. |
|
||||
|
|
|
|
|
y-b |
|y=6 |
|
d2«p |
|
|
|
|
ЛТ |
(1.14) |
|
Щ- |
Vk a (flfy) = |
dt* |
I |
* flfy -f Т Г |
|
||
|
|
|
d2 U,i i |
I |
|
|
|
|
|
|
Ы |
- |
|
|
|
Коэффициент - у |
в |
(1.14) указывает |
на то, |
что при записи |
|||
линейных интегралов |
по Стильтьесу |
масса перекрытия распре |
|||||
делена поровну между |
панелями, работающими на сдвиг. |
|
|||||
Функции wy w2, .... w„ удовлетворяющие условиям ортогональ ности, назовем фундаментальными. Прямой путь построения фун даментальных функций связан с решением уравнений движения составляющих элементов системы при соответствующих гра ничных условиях и сопряжен с большими трудностями при вычи слениях.
В настоящей главе на основе метода смягчения граничных усло вий применен метод аппроксимации фундаментальных функций с помощью произвольной системы полных функций, не удовлетворя ющих всем или некоторым граничным условиям, но соответствую щих физическому смыслу решаемой задачи. Тогда необходимо ис ходить из бесконечной системы уравнений
А Т + ВТ = Р ; |
|
(1.15) |
здесь А и В — матрицы |
|
|
Л = И « )* .1 = 1 . |
2- |
3,..., |
В = (Bkl ) Аг = 1. |
2, |
3 ,..., |
а Т и Р — векторы |
|
|
Т = (7 }),= 1, 2 ,3 ,...,
Р = ( Ра)* = |
2, 3,... |
При свободном колебании системы Р = 0 и (1.15) принимает вид
А f + ВТ — 0. |
(1.15') |
11
Собственные колебания системы |
с частотой «о/ можно запи |
||||
сать |
так: |
Ti = ^i e,'^t i |
(1.16) |
||
|
|
||||
здесь |
— векторы |
амплитуд, |
не зависящие от времени. |
||
Подставляя (1.16) |
в (1.15'), |
получаем уравнение |
|
||
|
|
( - «о? А + В ) |
= О |
|
|
или |
|
Л "1Дф, =«>*■*,. |
(1.17) |
||
|
|
||||
Известно, что векторы ф, |
будут |
отличны от нуля |
только в |
||
том случае, если |
будут |
собственными значениями |
матрицы |
||
А 1В и векторы фг будут собственными векторами той же мат рицы. Задача об отыскании собственных значений и соответствую щих им собственных векторов является общей. Тот факт, что задача об отыскании собственных значений и соответствующих им собственных векторов матриц становится выполнимой при использовании ЭЦВМ, представляет практический интерес.
С помощью преобразования
где |
T = R z , |
(1.18) |
|
|
|
|
|
ф!” |
|
... |
^ |
|
|
|
|
Фа* |
|
• • • |
фГ |
/? = |
|
|
|
С |
№ |
. . . и,(л) |
|
|
Т* |
||
уравнение (1.15') можно записать в виде |
|
||
z + W - z = 0; |
(1.19) |
||
здесь выражение W—R~lA~l BR — диагональная матрица, состоя щая из собственных чисел, и преобразование координат Т в коор динаты z приводит к отделению переменных в дифференциальных уравнениях движения. В связи с этим координаты г называются главными. Преобразование уравнения (1.15') в (1.19) называется ортогонализацией.
Таким образом, чтобы превратить уравнения (I. 15) в диаго нальную систему необходимо положить
оо
Ti (*)=2 ф(/Ч (о •
12