Файл: Фоломеев, А. А. Снижение материалоемкости железобетонных конструкций-1.pdf

Тогда

оо

w (х, у, t) = 2 wi (■*. у) • Ti (0 =

будет фундаментальной, a ощ w2, ... •— аппроксимирующими функ­ циями. В излагаемом методе решение систем уравнений движения отдельных составляющих элементов коробки при соответствующих граничных условиях заменяется более простым с точки зрения ма­ шинного счета решением — определением собственных чисел и соб­ ственных векторов матрицы Л-1Б.

Суть приближенного метода, ранее примененного В. В. Болоти­ ным [13] и В. К. Кабуловым [36] в исследованиях динамической устойчивости и колебаний плоских рамных систем, заключается з том, что в сумме [I. 20] сохраняется конечное число членов.

§ 3. ВЫБОР АППРОКСИМИРУЮЩИХ ФУНКЦИЙ

Объем вычислений, как и точность приближенного решения за­ дачи с помощью указанного выше метода, зависит от выбора ап­ проксимирующих функций Ш|, w% w3, ..., w п. Строгих и четких пра­ вил, которыми следовало бы руководствоваться при выборе аппроксимирующих функций, нет. Однако в качестве общих рекомендаций могут быть приняты следующие замечания.

Аппроксимирующие функции надо подбирать так, чтобы они составляли полную систему функций/ удовлетворяли геометриче­ ским граничным условиям (I. 10), а также соответствовали физи­ ческому смыслу решаемой задачи. При построении этих функций нужно исходить из возможных форм колебаний системы.

Удачным выбором является такой, при котором облегчается вычисление интегралов (I. 13) и при котором матрицы А и В име­ ют большие диагональные члены в сравнении с членами, не лежа­ щими на диагонали. Иначе говоря, мы стремимся сделать аппрок­

симирующие wi (x, у) и фундаментальные w. (х, у) функции на

13

столько близкими, насколько это возможно, стремясь при этом не увеличивать объем вычислительной работы.

Способ выбора аппроксимирующих функций и порядок вычис­ ления собственных значений и соответствующих им собственных векторов для конкретных задач при определенных исходных дан­ ных будут описаны в следующих параграфах.

гибаемые панели будут совершать кососимметрические колебания. Функции vt — форма сдвига панели в плоскости действия сил

при учете влияния присоединенной массы перекрытия и временной

нагрузки. Для рассматриваемого нами случая ^ - = 1, а значени я

\ заимствованы из работы [74а] {ml — распределенная масса панели, работающая на сдвиг; М — присоединенная масса перекрытия с учетом временной нагрузки).

14

лучаем следующие значения для элементов матрицы А, 5-1СГ6 ,

А-1 7М 0“6 :

Матрица собственных векторов следующая:

15

Для вычисления элементов матриц А~1, Л_1-Б-10_6, собственных чисел и соответствующих им собственных векторов в настоящей и последующих задачах мы использовали стандартные программы.

*77777777

Рис. 3. Формы свободных колебаний.

а для вычисления элементов матриц А и В — составили стандарт­ ные программы, блок-схема которых приведена в приложении 1.

Периоды свободных колебаний определяются по формуле

Т. = -Щ = .

VsЛ ■

Период основного тона настоящей задачи равен 0,0146 сек. Формы свободных колебаний, вычисляются по формуле

5

а для случая х = 0 (х = а) показаны на рис. 3.

§ 5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧАСТОТ И ФОРМ КОЛЕБАНИЙ КОРОБКИ БЕЗ УЧЕТА ЖЕСТКОСТИ ИЗГИБАЕМОЙ ПАНЕЛИ

В этом случае массу изгибаемых панелей перераспределим на перекрытия и панели, работающие на сдвиг. Жесткостью изгибае­ мой панели будем пренебрегать. Тогда в выражениях (I. 13) отпа­ дут члены, содержащие поверхностный интеграл и жесткость D. Аппроксимирующими функциями будут

16

Рис. 4. Формы свободных колебаний без учета жесткости изгибаемых панелей.

Для рассматриваемого случая -^- = 0,78125 и \ вычислены

на основании работы [74 а]. Подставляя (1.23) в (1.13) и учитывая указанные выше замечания, получаем:

1

2-207

Собственные числа ^(квадраты частот) данной матрицы равны

Период основного тона 0,0128 сек. Формы свободных коле­ баний, вычисленные по формуле

5

vj = Z tf’ vi (У)'

приведены на рис. 4.

§ 6. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧАСТОТ И ФОРМ КОЛЕБАНИЙ С УЧЕТОМ СДВИГА ПЕРЕКРЫТИЙ В СВОЕЙ ПЛОСКОСТИ

Как уже было отмечено, проведенные в Советском Союзе и за рубежом натурные исследования колебаний зданий показывают, что деформации вертикальных и горизонтальных элементов (пере­ крытий) по длине здания неодинаковы. В ряде случаев существен­ ны деформации в своей плоскости не только сборных, но и моно* литных перекрытий.

Сучетом деформации сдвига перекрытий элементы матрицы А

иВ вычисляются по формулам

(1.24)

В качестве аппроксимирующих берем функции

18