Файл: Салтанов, Н. В. Гибкие нити в потоках [монография].pdf

fa

х ‘х * = / .

(1.5)

Для силы

принимаем следующее

выражение:

F. =

ы

. 1

f 0 Ф*

) х *

( 1 . 6 )

с

д х ‘

э?0 <?) [(

дd хx ‘

d;гx*У* /

где

U

и f i

-

соответственно скалярный и векторный потенциалы.

Предполагается, что скалярный потенциал U является заданной функ­

цией величин

I

ж х к , векторный потенциал

- заданной функцией

величин

X * .

Для случая

нити

с током

I

, находящейся в

магнит­

ном поле,

имеет

место связь

где

А- -

ковариантная составляющая магнитного потенциала.

(1 .7 )

Покажем, что при определенных допущениях сила, действующая на

находящуюся в

горизонтальном

потоке

нерастяжимую нить, является

на нить в потоке, обобщенной аппроксимацией Попова-Крылова /41,

74,

107, I9Q7. Обозначим далее через

w ( s )

вес

единицы длины нити в

жидкости. Тогда в декартовой системе координат ( у

7, у г ,

у 3 )

для

распределенной

силы, действующей на нить

в

потоке,

запишем

e + F ,

ъ - X ( S ) -(? п п, л + ? Л ) > У = /у Ц >

х м

з

h

/2 ,

„

„

з3 ^Kfp d v 2(yh

(1 .8 )

Кп рЫ У2(у 3)

Кп

-

■ * 4 — > г * / с у >а —

где

и

коэффициенты

соответственно

сопротивления

формы и

трения

нити/л'

диаметр

нити,

V и р

-

скорость и плотность

жидкооти,

ось

у 1

направлена вдоль потока,, ось у " -

вдоль вектора силы тяжес­

ти,

/Г - единичный вектор

нормали к нити,

находящейся в плоскости

векторов скорости и касательной к нити,

п1

- проекция вектора-тГ

на ось

у\ ё, и е~3 - единичные

векторы вдоль осей

у1

и у3 .

Пусть краевые условия таковы, что нить располагаетоя в плос­

кости

(

у 1у 3

) ,

и пусть

углы,

которые

она

составляет с осью у 3 ,

малы.

Тогда в

случае однородного

(

У

( у 3 )

= у

=

c o n s t )

потока

нити от оси у 3 соотношение (1 .8 )

запишем в виде

Fl =

dU + ± ~ , Гд<рк

) x *

(1 .9 )

d x l X M [ d x ‘

d x * /

' ut(S)y

3+9f

y

3 d y 1

(I .IO )

- q у — ,

X (S )J

“n *

Kn f>dyo

x K f p d y j

, ( I . I I )

2

* •

-

2

Предполагается, что в соотношениях

( I .1 0 ) и

( I . I I )

декартовы

коор­

динаты выражены через криволинейные, у ^ = У 1

( х * ) .

Пусть

нить

нахо­

дится в

неоднородном по

у 3

горизонтальном потоке

жидкости.

Пусть

для

распределенной

силы

F

справедлива аппроксимация ( 1

.8 ) ,

при­

чем

составляющей

сопротивления трения можно пренебречь

( Уу

= О ) .

Пусть

по-прежнему

краевые условия таковы,

что

нить

располагается

в

плоскости

{ у 1у 3 ) . Если также малы углы,

которые

нить

составляет

с

осью

у 3 ,

то

с

точностью до величин второго

порядка малости

по

указанному углу

соотношение

(1 .8 )

представим в

вице

выражения

( 1 .9 ) ,

где

w <s)

U

( I .1 2 )

2 -

У

X

(S )

ствия

потока на нить в настоящее время является одной из

наиболее

часто

используемых /41,190./. Для входящего в эту формулу

коэффи­

циента сопротивления формы Добычно принимают значение,

равное

ряде практически интересных

случаев весьма слабая /41, 159/. Поэ­

тому в дальнейшем для простоты величину Ну будем

считать

постоянной

и равной некоторому ее эффективному среднему значению.

В а р и а ц и о н н ы е

п р и н ц и п ы

д л я

у р а в ­

н е н и й

(1 .2 ) -

( 1 .5 ) .

Рассмотрим следующий функционал:

L o ll ,

( I . 14)

s i О)

L

as

Ln —

d S , ( x \ T , l )

( I . 15)

О

d l

Lo

3 i [ j

( I . I 6 )

-эе0 (1) U (1 , х ‘J + Фк х к ,

где

-

произвольная функция своих аргументов.

Подынтегральной функции (1 .1 5 )

, ( 1 .1 6 ) соответствует

простран­

ство

искомых функций х ‘ и

Т

. Можно убедиться,

что уравнения

Эйлера-Лагранжа, соответствующие

экстремизации функционала

( I . 14)

-

( I .1 6 ),

совпадают с

уравнениями

равновесия

нити

(1 .2 ) и

( 1 .3 ) . Условие на краях интервала интегрирования, получающееся

при

экстремйзации

функционала (1 .1 4 )

-

( I . I 6 ) ,

имеет

вид

-Z9m k*

~4>т + -

dx^Jdxm

т+

$Т+ ( х и - fc d U

) d e l / <2)= О.

( I . IV)

£

~",п

"

дТ

[(

0

J

d&dd<rj

J

j (1)

В

случае

нерастяжимой

гаи и выражение

( 1 .1 6 )

для лагранжиана и ус­

ловие ( I . I 7 )

принимают несколько

более

простой

вид

’ ~ Ъ * * 1'*■к^ - х U+

<ph

( I . 18)

[ ( Т9 тх

х ' - Ф т * -

dS*

) f x m+

dS*

dT +

dT

V/г

( I . 19)

+ ( х и -

2

) .= 0 .

(

ds /

J

/ <n

н и ч е с к и е

у p а в н e н и я

Г а м и л ь -

т о н а .

При получении канонических уравнений Гамильтона

статики

нити будем исходить

из лагранжиана L0 , определяемого соотношени­

ем ( I . I 6 ) . На основе

этого лагранжиана для импульса

рщ ,

сопряжен­

ного

координате

х

m ,

получаем

P m B -

j

■

( 1 . 20)

Решая соотношения

(1 .2 0 )

относительно

величин

х

‘ , находим

где g Lm-

контравариантный метрический гензор.Поскольку лагранжиан

L0

не

зависит

от

производной натяжения по

I ,

обобщенный импульс

рт ,

сопряженный натяжению

Г ,

равен нулю,

р т = 0 .

(1 .2 2 )

Функция Гамильтона

Н

, соответствующая лагранжиану

L0

, имеет

вид

fi = x *p k - L 0 ( l , T , x * , i * ) .

(1 .2 3 )

Исключая из

соотношения (1 .2 3 ) величины х к о

помощью выражений

( I . 2 I ) ,

получаем

Н (I , Т , х к ,р к ) = - - J J : 9 тП (Рт - Ю *

* (Pn-i>n) - 21 j e*jf ( { ) dT+*o(l)U-

(1 .2 4 )

В

случае

нерастяжимой нити выражение

(1 .2 4 )

принимает более прос-

”

8

” и

'

•(рп- ф „ ) - ^ + % (s ) U ( s , x * ) .

(1 .2 5 )