Файл: Салтанов, Н. В. Гибкие нити в потоках [монография].pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.10.2024

Просмотров: 55

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Для однородной нерастяжимой нити отсюда находим

 

 

 

 

 

 

 

 

f

dS,

 

 

Ж ,

 

 

Т°+ х ° U( х 1) .

(1 .6 7 )

 

 

 

д х ”

- Ф,

д х: п Уп)

 

 

 

 

 

у 1,

 

у 3 ) при

$

=

 

 

 

В декартовой системе координат (

у ,

0

выражение

(1 .6 6 )

и уравнение

 

(1 .6 7 )

принимают следующий ввд:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Г *

Ж

 

Лд ) \ ( Щ 2

 

 

 

( 1 . 68)

 

 

 

 

 

d y ’/

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dyzJ

I dy3)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

f ф ) * ( ф ) 2

 

 

 

 

( J .6 9 )

В случае,

когда

£

 

я У явно не

зависят от

I ,а x 0 = eov st

.уравнение

близкое

по

виду уравнениям

(1 .6 5 )

и

( I .6 8 ) , получено

в монографии

/57 (см.уравнение

( 2 .1 3 ) ) .Отметим,

однако,

что при получении ука­

занного уравнения

существенно

использовался

интеграл для

натяжения

( см.соотношение (2 .6 ) в работе

/ 57).

Как можно было

видеть из

изло­

женного выше, в настоящей работе

при выводе

уравнений

(1 .6 5 )

и

(1 .6 8 )

интеграл для

натяжения не

использовался. В рассматриваемом

подходе

это уравнение получается

на основе

более

общих

уравнений

(1 .5 2 )

> (1 .5 3 ) .

Уравнение

(1 .6 9 )

эквивалентно известному уравне­

нию Гамильтона-Якоби статики однородной нерастяжимой нити, впервые

полученному академиком Имшенецким /5,

1617.

Отметим,

что

неоднород­

ность нити, о которой шла речь выше, может быть связана с перемен­

ностью по длине нити диаметра нити,

а также

линейных плотностей

массы,

заряда и т .п . / I187.

 

 

 

 

 

 

А н а л о г и я

с

з а д а ч а м и

г е о м е т р и ч е с ­

к о й

и

э л е к т р о н н о й

о п т и к и .

При (pi =

0 сис­

тема канонических уравнений (1 .3 4 )

и (1 .3 5 )

нерастяжимой однород­

ной

{ х

= х °

= c o n s t , и= и

( х * ) ) нити принимает

вид

 

 

 

 

 

*

4

dg mg

PmPa

о dU(x к)

(1 .7 0 )

 

 

 

 

' Р г

-*о

 

 

 

 

 

 

УР\,^Ра

2* x i v 7 % P z

"

 

 

 

В.С.Ткаличем получена следующая каноническая система уравнений

геометрической оптики:

mg

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dn (х к)

 

 

 

 

 

 

dff

Pm Ру

 

( I . 71)

 

 

 

 

 

.Р ,~ -

 

 

 

 

 

n ( x *)

У У ^

Pm Ру

2dX i

У д rzpr Pz

d x l

 

 

где

- показатель

преломления; точка

означает

дифференциро­

вание по длине траектории луча. Сравнивая уравнения

(1 .7 0 )

и (1 .71),

можно видеть, что уравнения ( I .7 1 )

получаются из уравнений

(1 .7 0 )

путем такой

замены:

 

 

 

 

 

 

Яд и (х *; - >- - п (х *), х г-+-х 1,р. -*■ ~р1 .

(1.72)

Это обстоятельство доказывает следующее утверждение.

Пусть установлено надлеяацее соответствие между показателем

преломления

л и потенциалом U ,

а также между краевыми условиями

в задачах геометрической оптики и

равновесия однородной нерастяжи­

мой гибкой

нити. Тогда в силу указанной

вш е аналогии решение од­

ной из этих

задач может быть получено из

решения другой.

Отметим, что в случае сил, обладающих скалярным потенциалом, аналогии между равновесием нерастяжимой гибкой нити и движением

материальной точки, а также между установившимся движением гибкой нити и движением идеальной жидкости указаны в работах В.Г.Имшенец-

кого /5, 1617 и Н.Е.Жуковского /49, 5Q7. В дальнейшем эти аналогии нашли существенное развитие в работах А.В.Кармишина /&Х7 и А.С.Пет­ рова /1047. Существование ряда аналогий внутри статики нити отмече­

но Н.И.Алексеевым /В/. Существенный интерес представляет аналогия

между моделью гибкой нити и моделью

твердого тела в феноменологи­

ческой квантовой теории /1417• В связи с этим отметим, что В .С .Т к а -

лич построил универсальный алгоритм

квантования

нелинейных динами­

ческих систем, представляющий особый интерес для

теории деформируе­

мого тела, а также для предложенной им естественно ковариантной релятивистской модели физических систем.

Сравнение уравнений равновесия однородной нерастяжимой нити в поле обобщенных потенциальных сил и уравнений движения заряженной частицы в статических электрическом и магнитном полях /60, 6§7 об­ наруживает их определенное сходство. Это обстоятельство свидетель­ ствует также о существовании определенной аналогии между задачей равновесия гибкой нити в поле обобщенных потенциальных сил и за ­ дачей электронной оптики.

2 . Уравнения Рауса неоднородной растяжимой гибкой нити

Пусть функция Гамильтона (1 .2 4 ) не зависит от некоторых пере­ менных фазового пространства. Тоцца над действием можно провести преобразования /1387, которые придадут этим переменным вид коорди­ нат. Эти координаты называются циклическими. Для описания систем с циклическими координатами удобной является функция Рауса /1387. Ниже будут рассмотрены два случая построения функции Рауса в экс­ тремальной модели неоднородной растяжимой гибкой нити.

18

С л у ч а й I . Расщепим фазовое пространство

статики нити

на следующие три подпространства:

 

 

 

О х * , р

( * = 7 , 2 ) ,

 

 

2) Z

9 3 Р3 .

(1 .7 3 )

 

3)

Г.

 

 

Тогда выражение для действия

(1 .4 4 )

и. функция Гамильтона (1 .2 4 )

примут соответственно

вид

а\

 

 

 

S =\ (PcC ^ ^ 9 ’^ - H) d l ,

(1 .7 4 )

 

Ь)

г

 

н а . Т, х *

РаС, z,

9) a -

j f / д r(pf i - f f i )(Pr

-1>r )+

+2gfi3(pfi - фр )(9 -?з)+ з за(? - ф3>2] -

(1 .7 5 )

Заметим, что греческие индексы пробегают значения ( I ) и ( 2 ) . По повторяющимся дважды греческим индексам предполагается выполненным суммирование. Необходимые условия экстремума функционала (1 .7 4 ) имеют вид

 

 

.*■

-

з н

7

 

(1 .7 6 )

 

 

X

-Z----

 

 

 

 

 

Эр*

 

 

 

 

 

 

II

1

*

 

 

(1 .7 7 )

 

 

 

\

 

 

 

 

•

-

дм

 

 

(1 .7 8 )

 

 

х

—— ,

 

 

 

 

 

 

dq.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1 .7 9 )

 

 

 

II

 

 

 

 

(1 .8 0 )

помощью соотношения

 

 

 

 

/V ( ( J , x

cl.p aC, z , q ) - p f l x Ji,

( I . 8 I )

где гамильтониан н { l ,

Т , -г ,

р

z

, q

) определяется

соотно­

шением (1 .7 5 ) . Исключая с

помощью уравнения

(1 .7 6 ) импульсы р * из

выражений для функции Рауса

(1 .7 5 )

и ( I . 8 I ) ,

получаем

 

R ( l,T ,x * ,± * ,x ,g )

=

U -

х^ф^ *

 

 

(1 .8 2 )

В соотношении (1 .8 2 ) использованы определения

а'.вз)

^ ■ - 3 “ •J ■ Л ‘ 7 - 19

где

алгебраические

дополнения элементов

детерминан-

та

da

 

 

Л

 

 

 

Проварьируем выражения

( I . 8 I ) и (1 .8 2 ) для функции Рауса и

отождествим получившиеся при этом соотношения. Считая затем вариа­

ции d l

,

d r ,

d x * ,

d z ,

dg

и d x *

независимыми,

с

использованием

уравнений

(1 .7 6 )

находим

dR

dH

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1 .8 4 )

 

 

 

 

 

 

 

 

d7

d г

'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dR

dH

 

 

 

 

 

 

(1 .8 5 )

 

 

 

 

 

 

 

 

d r

d T ’

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dR

dH

 

 

 

 

 

 

(1 .8 6 )

 

 

 

 

 

 

 

 

d%

dz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dR

dH

’

 

 

 

 

 

(1 .8 7 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dq

dq.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dR

 

dH

’

 

 

 

 

(1 .8 8 )

 

 

 

 

 

 

 

 

d x * ~

d x *

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dR

 

-P *

■

 

 

 

 

(1 .8 9 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d x * -=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Подставив

выражения

 

(1 .8 6 )

и (1 .8 7 )

в канонические

уравнения

(1 .7 8 )

и

(1 .7 9 ) ,

запишем

 

 

 

dR

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

£

-

 

 

 

 

 

(1 .9 0 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d q

’

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

dR

 

 

 

 

 

(1 .9 1 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

- dz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

С

помощью соотношений

(1 .8 8 ) и

(1 .8 9 )

уравнения (1 .7 7 )

преобразуем

к

130,117

 

 

 

 

 

 

oil

Ё/ L .

~ д х *

- о

'

 

 

 

а . 92)

 

 

 

 

 

 

 

 

d x *

~

 

 

 

Из

соотношений

(1 .8 0 )

и

(1 .8 5 )

следует

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

& L .O .

 

 

 

 

 

(1 .9 3 )

Таким образом,

получено

 

ЯГ

 

 

 

 

имеющее характер тож­

соотношение (1 .8 4 ) ,

дества,

а

также

группа уравнений

(1 .9 0 )

- ( 1 .9 3 ) .

Переменным га ­

мильтонова типа

( у

,

?

) соответствуют уравнения типа Гамильтона

(1 .9 0 )

и

( I . 9 I ) ,

переменным лагранжева типа

{ х *

,

х *

) - уравне­

ния типа Эйлера-Лагранжа ( 1 .9 2 ) .

Уравнение

(1 .9 3 ) ,

очевидно, может

быть отнесено как к гамильтонову типу, так и к типу уравнений Эйле­

ра-Лагранжа.

 

 

Получим уравнения (1 .9 0 ) - (1 .9 3 )

из вариационного принципа.

Рассмотрим следующий функционал:

,

_

J ‘

 

(1 .9 4 )

20

Смотрите также файлы