Файл: Садовский, Г. И. Механика горных пород, расчеты крепи и конструктивных элементов систем разработки рудных месторождений подземным способом [учебное пособие].pdf

средних вызвано, по-видимому, какой-то систематической ошиб­ кой. Либо породы выработок различаются по прочности, либо в методике испытаний и изготовлений образцов допущены си­ стематические ошибки, действующие в различных направлени ях.

Для выявления значимости систематической ошибки, вно­ симой при изготовлении образцов, воспользуемся F критерием.

(61,4)* _ 4

(30.7)2 '

llpn числах степеней свободы y i= оо (для выборки с боль­ шим значением дисперсий) и уа—24 (для выборки с меньшим значением дисперсий) по таблице в [1] * находим, что вероят­ ность Р случайного различия в полученных эксперименталь­ ных значениях стандартов меньше 0,1. Следовательно, вероят­ ность неслучайного отличия в стандартах очень велика. Разли­ чие в настройке испытательных машин может привести к раз­ личию в средних но выборкам, но не может привести к измене­ нию отклонений от среднего; следовательно, наиболее вероят­ ной причиной систематической ошибки (в рассматриваемом примере) является меньшая точность изготовления образцов в большой партии.

значение и дисперсия для выборки —могут рассматриваться как среднее п дисперсия генеральной совокупности.

Найдем оценку в случае малой выборки.

Обозначим через х0 среднее значение и S 0— стандарт генераль­

ной совокупности, а через х и S — среднее значение и стандарт выборки.

Стандарт '

так как S0=S.

67

Нормируя отклонение (х—х0) по Sx, получаем отклонение

величина t распределения по закону Стьюдента с y = n —1 сте­

В таблице [1]* приведены значения tp в зависимости от Р для различных чисел степенен свободы. Пользуясь этой табли­ цей, можно найти такие значения tp, т.е. такие границы интер­ вала для t, за пределы которого отклонения будут выходить с вероятностью не более чем Р.

Например, вероятность Р=0,02 соответствует тому, что х0 в 98 случаях из 100 лежит внутри интервала.

Из соотношения (48.2) следует, что доверительный интер­ вал для общей средней при заданном значении Р будет

П р и м е р . Из 15 испытаний найдено среднее значение пре­

дела прочности х=(т=10,44 кг/см2, стандарт S —-2,12 кг/см2. Построим доверительный интервал для среднего значения

о, удовлетворяющий условию, что не более чем в Р случаях из

100 истинное значение х0 может оказаться за пределами дове рительного интервала. Значение Р, равное, например 0,05, соот­

ветствует условию, что выход х0 за пределы интервала мы до пускаем не более чем в 5 случаях из 100. Далее по таблице [1]* для Р = 0,05 и у==п—1 находим значение tp—2.14. Дове­ рительный интервал для а 0 будет

о—tp• S/Vn< a~n< + + t • S/y n

r.e. 10,44-2,14-2,12/У 15<о-°<10,44+2,14-2,12^15,

10,44—l,1 7 < a °< 1 0 ,44+1,17.

58Л

Таким образом, с надежностью 95% можно утверждать, что среднее значение предела прочности в общей совокупности за­ ключено в интервале (9,27; 11,61) и погрешности в определе­ нии о-0 по а в результате испытаний 15 образцов не превыша-

ют 12% '1,17-100_ 10,44

При построении доверительного интервала для стандарта в случае большой выборки (п^>30) достаточно составить отноше­ ние

Доверительный интервал для коэффициента вариации V0 будет

х„, S 0 или Vo выйдут за пределы доверительного интервала.

Исследование корреляционных связей

Корреляционной связью между двумя или несколькими ве­ личинами называется статистическая связь, которая обнаружи­ вается только при массовых наблюдениях.

Соответствие между величинами, находящимися в корреля­ ционной связи, в каждом частном испытании реализуется толь­ ко с. некоторой вероятностью.

Качественно наличие корреляционной связи обнаруживает­ ся, как правило, достаточно просто, но далеко не всегда впеча­ тление о наличии корреляционной связи подтверждается объек­ тивным анализом и невсегда эта связь является существенной. Поэтому во всех случаях, когда можно предполагать наличие корреляционной связи, следует выяснить форму связи, прове­ рить, насколько она является тесной, и оценить достоверность полученных результатов.

50

Наиболее просто исследуется линейная корреляционная снизь между двумя величинами. Более сложна корреляцион­ ная связь между несколькими величинами н нелинейной связью, даже между двумя величинами. Важно бывает исследо­ вать связь между <тсж и сгРас, если через эти величины опреде­ ляются значения С и угла внутреннего трения ср.

Исследования корреляции между оСж и Е или С и G необхо­ димы при расчетах крепи на прочность, так как результаты расчета могут существенно меняться.

П р и м е р . Исходные данные для исследования корреля циоииой связи между двумя случайными величинами представ­ ляются в форме табл. 10.

Для удобства строится вспомогательная корреляционная табл. 11, которая составляется на основании данных табл. 10.

60

Пользуясь табл. 11, можно грубо проверить йаличие корре­ ляционной связи и ожидаемую форму связи. С этой целью

сопоставляем средние значения ух со значениями х' — сере­ диной каждого интервала х.

Здесь х' — середина соответствующих интервалов для <Тсж, а ух— среднее значение Е, по которому вычисляем средние взве­ шенные значения, например:

Анализируя зависимость у от х, видим, чТо с ростом х увеличивается у, т.е. корреляционная связь существует.

Если ожидается наличие корреляционной связи между дву­ мя случайными величинами, то о тесноте этой связи можно судить но коэффициенту корреляции, который вычисляется по формуле

Вычисление практически удобно проводить по преобразо­

СИ