Файл: Садовский, Г. И. Механика горных пород, расчеты крепи и конструктивных элементов систем разработки рудных месторождений подземным способом [учебное пособие].pdf

где n — общее число наблюдений;

ill — число наблюдений в каждом интервале;

К— число интервалов;

i— номер интервалов;

Для рассматриваемого примера наиболее насыщенным яв- I ляется интервал 3, где содержится 64 результата, следователь

Дисперсия S 2 определяется из соотношений

S 2= (A x )2 (h2—hj)2;

h2= — S п1У,2. n i-i

Решение примера сведено в табл. 8

52

Находим hi— ~gj2~ =0,878.

Среднее значение искомой величины — модуль пропорцио­ нальности

х—Axhi-f-x°=0,4 •0,878-)-1,85=2,2.

Затем определяем

h2=l/nSniyi2=1436/312=4,603 1-1

Находим дисперсию

S2= 0 ,4 2 (4,603-0,8782) =0,613.

Проверка принадлежности

Одной из важных задач при оценке результатов изучения механических свойств пород является установление однородно­ сти полученных данных пли оценки принадлежности.

Рассмотрим типичные случаи.

1. Рудное тело вскрыто несколькими скважинами. Керн ис­ пытан и получены величины аСж, Нрас, Е и ц для каждой из скважин. Как обычно бывает, полученные значения отличаются. Требуется установить, можно ли рассматривать все полученные результаты как принадлежащие к одной статистической сово­ купности, или результаты по скважинам оказались настолько разными, что обнаруженное различие не может быть объяснено

53

случайными причинами. Следовательно, механические свойства пород существенно изменяются.

2. Из некоторой горной породы изготовлено несколько пар­ тий образцов на разном оборудовании и определены физико-ме­ ханические свойства. Средние и дисперсии результатов испыта­ ний по этим партиям оказались отличными друг от друга. Тре­ буется установить, является ли отличие случайным или систе­ матическим, как следствие различного качества обработки.

Р е ш е н и е первого примера.

Оцениваем различие между средними значениями.

Для оценки расхождения в средних используем критерий Стьюдента t в форме [1] *.

степенями свободы сравнивается с табличным tp (табл. 12) в книге [1], и устанавливается значение Р, которому соответству­ ет найденное расчетом значение. Вероятность, с которой можно

1* Митропольский А. К. Техника статистических вычислений. М. Физматгиз, 1961.

54

считать, что центры распределения совпадают, равны Р, т.е. Р— это вероятность того, что истинное значение xi, &2 будет одина­ ковым. Если Р достаточно велико, то можно считать, что нет су­

щественных различий между средними значениями для отдель­ ных выработок, а проверяемые совокупности можно рассматри­ вать как принадлежащие к одной и той же генеральной сово­ купности с нормальным законом распределения.

Если число образцов одной выработки очень велико по срав­ нению с другой, то формула (42.2) переходит в состояние

Если найденное значение t e n —1 степенями свободы ока­ жется равным табличному при достаточно большом Р, то мож­ но сказать, что проверяемая частичная совокупность взята из общей генеральной совокупности результатов испытаний, т. е. принадлежит ей. Расхождения между xi х2 можно считать не­ существенными и вызванными случайными причинами.

П р и м е р. Рассмотрим результаты испытаний на сжатие образцов, полученных из трех скважин одного месторождения. В табл. 9 представлены значения средних пределов прочности на а'сж и стандарты S i(t= l, 2, 3) по каждой скважине. В столб­ це 5 табл. 9 приведены значения t, вычисленные для соответ­ ствующих ст'сж и Si по формуле (45.2).

Среднее значение предполагаемой прочности по трем сква­ жинам найдено по формулам

В столбце 6 таблицы приведены вероятности, соответствую­ щие совпадению центров распределения о-1.

Таблица 9

Следовательно, между прочностью есть отличие, которое не может быть объяснено случайными ошибками и, видимо, связа­ но с изменением механических свойств образцов по скважинам. В данном примере в качестве расчетных значений следует при­

нять наименьшее доверительное значение о и наибольшее дове­ рительное значение S, соответствующее выбранному уровню надежности.

Р е ш е н и е второго случая. При решении вопроса о том, является ли различие в величинах дисперсий, найденных в ре­ зультате испытания двух выборок из одной и той же горной по­ роды, следствием различного качества обработки или должно быть объяснено изменчивостью свойств самой породы и недоста­ точным объемом выборок, применяется критерий Фишера (F).

Для этого составляется отношение дисперсий F = S [ 2/S22, в которой под Si2 подразумевается большая из двух дисперсий.

Значения F для различных чисел степеней свободы yi—nj—1 и уг=П2—1 приведены в [1]*. Проверка сводится к сравнению найденного значения F с табличным для некоторого выбранно­ го уровня надежности а = 1 —Р. Например, Р—0,1—0,01.

П р и м е р . Среднее значение предела прочности На сжатие большего числа образцов составляет Оош=197 кг/см2 и S —61,4 кг/см2. Требуется установить, можно ли к этой совокуп­ ности присоединить результаты испытания партии из 17 образ­

цов, для которых О ст —174 кг/см2 и S = 3 0 кг/см2. Вычисляем по формуле (45.2) критерий

197-174

=1,54.

C1-4/V17

По таблице из ш * находим соответствующее значение Р и убеждаемся в вероятности получить случайные отклонения средних с размахом порядка 15%. следовательно, различие в

56