Файл: Осипов, С. Н. Взрывчатые свойства и нейтрализация паро-газо-пылевых смесей.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.10.2024
Просмотров: 55
Скачиваний: 0
дТ |
-f я И + п |
( ? ) |
р3 dp |
|
где п0 — скорость зарождения цепей в единице объема.
Начальные и граничные условия уравнения (7) |
сле |
|||
дующие: п(р, 0) =0; п(0, Т) — конечно; тогда |
|
|
||
|-тгг3(ац ± n0) = |
T . rsv(r — X)n(r — >, |
Т), |
(8) |
|
где е — вероятность обрыва цепи на стенке (0 < е < |
1); |
|||
v — средняя скорость |
свободного |
пробега |
молекул |
|
или активных центров |
(радикалов, |
атомов); |
X— дли |
|
на свободного пробега молекул или активных центров
_ Г
(радикалов, атомов); n = 3/r3 j'/ip2dp — средняя кон
о
центрация активных центров в объеме.
Условие (8) показывает, что сумма скоростей реак ций разветвления и зарождения цепей в объеме равна скорости обрыва цепей на стенке, т. е. числу столкно вений активных центров с поверхностью, умноженному на е.
Применяя к уравнению (7) преобразование Лапла са, получаем
(9)
где р — параметр преобразования Лапласа; N (р) — функция преобразования Лапласа от п(р, Г).
Теперь начальные и граничные условия уравнения
(7) примут вид: N (0) — конечно; тогда
( И )
О
18
Решая уравнение (9) с учетом начальных условий, получаем
N = — sin 1 |
, |
п0 |
||
(а — р)р |
||||
Р |
V |
|||
|
||||
где А — коэффициент уравнения.
Введя параметр g= )/(а— p)jD, запишем жение (12) в виде
а; |
= |
Л |
. Р |
п„ |
N |
— sin Ъ — — — . |
|||
|
|
Р |
|
D$3 р |
( 12)
выра
(13)
Подставляя полученное значение N в формулу
(11), получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N = |
|
— |
А Г р sin ф d р------. |
(14) |
||||
|
|
|
^ |
) |
|
|
|
DPp |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
Это значение N подставляем |
в граничное условие |
||||||||
( Ю ) : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
За . С |
. u 1 |
р - |
а пп |
, |
Пд |
= |
3 |
V z ( r - l ) |
|
А |
р sin tp d |
— f - |
+ |
— |
-------- X |
||||
|
|
|
|
D;3P |
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
sin l (r — X) |
|
D?p |
(15) |
||
|
|
г —X |
|
|
|
|
|||
Отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
v i |
|
(r — X) |
|
A |
|
|
D £3 |
4 |
D « |
|
r- |
(16) |
|
3v e |
|
|
|
|
3a |
|
, |
||
|
|
sin e(r — X) - |
|
|
|||||
|
|
|
— |
|
\ P sin Pi rfp |
||||
о
После некоторых упрощений
19
|
|
I |
|
3 (/' — k)v i |
Л = |
»,/■* |
D E- |
|
W- |
|
|
(17) |
||
|
3iO |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin 8 (r — l ) — a \ psinpEdp |
|||
Подставляем значение/1 из выражения (17) в (14): |
||||
|
N = |
Р (р |
X |
|
|
|
|
а) |
|
|
Г |
Зу £ |
|
. |
|
[р- |
|
(г—/,)] \ Рsin Ер d Р |
|
X |
1 + |
|
|
(18) |
|
■sin ; (г — X) — a J р sin £р d | |
|||
|
|
|
|
о |
Для |
определения средней |
концентрации активных |
||
центров нужно применить формулу обращения преоб
разования Лапласа. |
Анализ выражения (18) пока |
|
зывает, что, несмотря |
на присутствие параметра £= |
|
= |/(а —р) D, |
N есть однозначная функция р. Поэто |
|
му результат |
применения формулы обращения есть |
|
сумма вычетов выражения Nexp(pt). При этом вычет
при р = а |
равен нулю, |
вычет при р = 0 |
дает |
вклад в |
||
сумму вычетов в виде |
|
|
|
|
||
я„ = |
с (sin Е„ г — Епг cos Е„ г) |
|
- 1 |
|||
Е^ ? Гsin Ео (r—l) - p a r i cos Е,,г — a sin е0 г |
||||||
|
|
|||||
|
|
|
|
|
(19) |
|
где с = |
ЗЭ(г — ).)>2; |
P = |
i>e4; E0 = |
]/V d . |
(20) |
|
Если учесть, что ввиду |
незначительной величины |
|||||
отношения X/r (X/r X I) |
значения sin |
и cos £0Х~ 1, |
||||
то после некоторых преобразований можно получить выражение
20
30 £ rja r-'l. (1 — )./r)
пп = |
. ( 21) |
- ( 1 - 0
^1 — Y alD r clg Y a ;D r
которое совпадает со стационарным решением, приве денным в работе [43]. Остальные вычеты должны вы числяться в корнях уравнения
So Р г sin S0 (г — X) 4- а г Sncos ;0 г — а sin S0 г = О, |
(22) |
соответствующего знаменателю выражения (19). Уравнение (19) имеет множество вещественных
корней и не имеет комплексных корней; большинство корней уравнения отрицательные или нулевые (pt < < 0 ) , но возможны положительные корни (pt > 0 ) ; разность между двумя соседними корнями асимпто тически приближается к л2. Определим, при каком выборе параметров уравнение (19) имеет хотя бы один
положительный корень 0 < £ < К <*/'£>.
Если перейти в плоскость переменного р и учесть,
что g = ]/4a—p) D, |
то положительный корень урав |
||
нения (19) |
будет |
иметь пределы |
0 < р < а . Введем |
обозначения |
и D, s = a/l|3, d —lr |
и заменим пе |
|
ременную \=xl, тогда получим при 0<£</ изменение
0< ^ < 1 . |
Учтиывая, что >./r<Cl, примем sin |
£ (г—?.) ~ |
||
~sin |
Разделив уравнение (22) на sin |
%г, после не |
||
которых преобразований получим |
|
|
||
|
х 2 = |
s d — sx ctgxd. |
|
(23) |
Решив уравнение |
(23) относительно |
s, |
получим |
|
|
s |
.Х“ |
|
(24) |
|
rf_I — л' clg xd |
|
||
|
|
|
|
|
или, вернувшись к старым переменным, |
|
|
||
|
а _ |
х- |
|
(25) |
|
I Р |
— -Vclg xlr |
|
|
|
|
|
||
21
Параметры а, I, р и г можно выбрать таким об разом, что уравнение (25) будет справедливо при
0<х<1.
по |
Зафиксируем х в интервале 0— 1. |
В силу того, что |
|||
физическому смыслу |
должно |
быть |
[(/г)-1 — |
||
—х ctg х/л]>0 или (/r)-1> x ctg xlr, |
необходимо вы |
||||
полнение неравенства |
|
|
|
|
|
|
Irx ctg Irx < |
1. |
|
(26) |
|
|
Очевидно, что выбором произведения |
1г можно |
|||
добиться выполнения условия |
(26). После этого мож |
||||
но |
выбрать значения а и |
р, |
которые удовлетворя |
||
ли бы уравнению (25). Таким образом, выбором со ответствующих значений параметров смеси и условии реакции можно добиться существования положитель ных корней уравнения (22).
Наименьший по модулю из отрицательных корней р i< 0 дает вычет в виде
я, =
Р\ (Рх — а)
2е D- £f (1 — Х/г) X/r
X
а£ D (Цг - 1) (3Ijr — i D t\la) +
X
ePi
X- (a — e D £-)=
(27)
Остальные отрицательные корни в приближенных расчетах можно не учитывать.
Как показывает анализ, в большинстве случаев, когда выполняется условие
D (-Т-----1 |
зх |
< X2 [a s (а Р\)\2, |
(a ~Рх) |
||
|
Г |
|
|
|
(28) |
значение Я|<0. Согласно физическому смыслу,
Но > я!; я0 —я,->я„. |
(29) |