Файл: Попов, М. Т. Основы теории функций комплексного переменного учеб. пособие.pdf

Министерство высшего и среднего специального образования РСФСР

к р а с н о я р с к и й п о л и т е х н и ч е с к и й и н с ти ту т

*

ОСНОВЫ ТЕОРИЙ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

Красноярск

1973

Министерство высшего и среднего специального образования РСФСР

КРАСНОЯРСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

М. Т. ПОПОВ, В. И. ЗАРИБАЛОВ, | Ф. Е. ЛИПНЯГОВ *|

ОСНОВЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

(Учебное пособие под общей редакцией М. Т. ПОПОВА)

Издание второе, цспрцвленное и дополненное

Красноярец

1973

/I U

т*~> *■

В настоящем учебном пособии изложен теоретиче­ ский материал по теории аналитических функций в со­ ответствии с расширенной программой курса высшей математики. ,

Пособие рекомендуется для студентов электротехниче­ ских и радиотехнических специальностей, а также пред­ ставляет интерес, для научно-технических работников и аспирантов, занимающихся вопросами прикладной ма­ тематики.

О Красноярский политехнический институт, 1973 г.

,ВВЕДЕНИЕ

Введение комплексных чисел в алгебре связано с решени­ ем квадратных уравнений. Если ограничиться классом дейст­ вительных чисел, то многие квадратные уравнения типа

X2 + рх + q = О

в случае, когда Д = р 2—4q<T), оказываются неразрешимыми—

нить этот недостаток в теории решения уравнений, пришлось расширить понятие числа введением чисел особого рода — мнимых чисел. Корень уравнения х2+ 1 = 0 обозначают бук­ вой і. Тогда і2+ 1 = 0 , і2 = —1. При этом оказалось невозмож­ ным ограничиться введением только одного числа і. Все про-; изведения Ы и все суммы a-f-bi, где а и b — действительные числа, также нельзя отнести к классу действительных чисел. Все множество чисел вида a-j-bi называется множеством комплексных чисел. В области комплексных чисел выполня­ ются все операции алгебры, з,а исключением деления на’ нуль. Множество комплексных чисел является замкнутым1по отно­ шению ко всем операциям алгебры.

Замечательным фактом явилась основная теорема алгеб­ ры, что всякое алгебраическое уравнение

... ,zn. 4* ö,zn-V4- d2zn~2 4г.... -+- оn—|Z + an = О

с комплексными коэффициентами аь а2і... an-i, ап имеет п ком­ плексных-корней. , ' '

Теория многочленов, даже с действительными коэффици­ ентами, МОЖет получить законченную форму только тогда, когда рассматривают значения многочлена во всей комплек­ сной области. Введение комплексных чисел дает возмож­ ность успешно решать многие задачи физики, механики и других наук.

ГЛАВА ПЕРВАЯ

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ

Задание одного комплексного числа равносильно заданию двух действительных чисел х и у, х называется действитель­ ной частью комплексного числа и'обозначается:

X = Rez или X = R(z);

■у называется мнимой частью комплексного числа и обознача­ ется: у= !m z или у = I (z).

Пр и м е р : R (2 + 3 і) = 2, I (2 + 3 i) = 3 .

Два комплексных числа считают равными, если одновремен­ но равны между собой их действительные и мнимые части. Таким образом, равенство двух комплексных чисел равно­ сильно двум равенствам действительных чисел.

Знак Ф (неравенства) применяется к комплексным числам в качестве отрицания знака равенства. Если z=(x-H y) Ф г '=

взаимно сопряженными. Обозначаются они г и г.

А

ОМ {х, у} и Всевозможными комплексными числами z = x+iy можно установить взаимно однозначное соответствие. Значит, комплексное число г геометрически изображается либо точ­ кой плоскости, либо вектором, проведенным из начала коор­ динат в эту точку. В дальнейшем точку или вектор, изобра­ жающие комплексное число z, для краткости будем называть точкой или вектором z.

.Терметрическое представление комплексного числа дает возможность записать его в другой форме. Пусть дано ком­

/, называют модулем комплексного числа z= x + iy и обозна чают r = |z |. Для действительного числа понятие модуля сов­ падает с понятием абсолютной величины. Модулем чисто мнимого числа является абсолютная величина его мнимой части. Число <р, определяющее величину угла между вектором z и Действительной осью, называют аргументом комплексно­ го числа r=x-f-iy и обозначают <p=ArgZ.

Если вектор z повернуть на угол, равный 2я, то его на­ правление совпадает с первоначальным направлением. Поэто­ му величина Argz многозначна и определяется с точностью до нелого кратного числа 2п. Часто пользуются главным значе­ нием Argz, которое определяется неравенствами:

О ^ arg z < 2 тс.

Главное значение аргумента комплексного числа z обоз­ начают argz. Между аргументом комплексного числа (Argz) и главным значением аргумента (arg z) простая связь:

Arg z = arg z + 2ктс; к = 0; ± 1; -f- 2...

6

Если комплексное, число z = 0, то величина Argz не опре­ делима. Комплексное число z можно определить двумя пара­ ми действительных чисел: (х, у) и (г, ф). Первая пара дает действительную и мнимую части комплексного числа, вто­ рая — величину его модуля и аргумента. Если рассматривать комплексное число как точку плоскости, то первая пара чисел есть прямоугольные координаты, а вторая — полярные коор­

динаты этой точки. Если же комплексное число рассматри­ вать как вектор, то первая пара чисел есть проёкции этого вектора на оси координат, а вторая пара дает длину вектора и величину угла между вектором и действительной осью. Меж­ ду этими числами легко устанавливается определенная зави­ симость

Из прямоугольного треугольника (рис. 1) находим:

X; = Г-СОЭф — I z I • cos(Argz) I

у = г • sin ф = I z I - sin (Arg z) j ’

IZ ! = г = у Ѵ + у* '

Пользуясь формулами (I), можно любое комплексное число, отличное от нуля, записать в тригонометрической фор­ ме:

\

§ 3. Действия над комплексными числами

Действительные числа составляют правильную часть мно­ жества всех комплексных чисел. Поэтому правила действия над комплексными числами определяют так, чтобы сохрани­ лись действия и их свойства над действительными числами (кроме тех свойств, которые вытекают из понятий «больше» и «меньше»).

С л о ж е н и е и в ы ч и т а н и е

Суммой двух комплексных чисел Zi=Xi+iyt и z2 = x2-|-iy2 называется комплексное число z = x-j-iy, действительная и мнимая части которого равны суммам соответствующих час­ тей слагаемых, то есть

2 = Zi + z2 = (xi + Уii) -f- (x2 -f- iy2) =•

Для суммы комплексных чисел остаются в силе законы сложения:

а) переместительный

2і + z2 = z2 -f- Zi ,

б) сочетательный

(zi 4- z2) + z3 = Z) -f (z2 + z3) .

Проверим справедливость первого из этих законов. По оп­ ределению сложения будем иметь:

zi + z2 = (xi —(- lyi) -+• (x2 + iy2) = (x, + x2) -f i (yX -f- y2);

z2 + z, = (x2 -f iy2) -f (X, -f- iyi) = (x2 + Xi) - f i (y2 + y, ) .

Правые части равенства равны, а так как для действи­ тельных чисел переместительный закон справедлив, поэтому равны и левые части, то есть zi-f-z2 = z2+zi.

Аналогично можно доказать справедливость второго зако­ на сложения. Сложению комплексных чисел соответствует из­ вестное из векторной алгебры правило геометрического сло­ жения векторов. Для -того чтобы найти вектор z = zi+ z2, нужно на векторах zi и z2 построить параллелограмм. Диаго­ наль построенного параллелограмма, выходящая из начала координат, есть вектор z = z!-jrz2 (см. рис. 2).

Из треугольника oziz, на основании теоремы о зависимо­ сти между сторонами треугольника, следует:

8