Файл: Комов, А. Н. Физические основы микроэлектроники учеб. пособие.pdf

Решения этих уравнений можно искать в виде колебаний с оди­ наковой частотой и длиной волны, но с разной амплитудой.

Подставляя (III—8) в (III—7), получим два уравнения

— w2mA = ßß {eika+ e~ika) —2ßА

Мы получили систему однородных уравнений относительно не­ известных амплитуд А и В. Очевидно, что она имеет нетривиальное решение лишь в том случае, если детерминант, составленный из ко­ эффициентов при неизвестных А и В, равен нулю:

АО

и при разложении корня (III—1Іа).в ряд получим

Как и в случае одноатомной цепочки имеем для второго корня w пропорциональную зависимость от волнового числа k. Такие ко­ лебания получили название акустических, т. к. они аналогичны длинноволновым колебаниям однородной цепочки. Однако суще­ ствует еще одна ветвь, описываемаяпервым корнем w.(. Как видно из рисунка, она значительно удалена от акустической. При больших значениях k частоты этих ветвей стремятся сблизиться. Соответ­ ствующие колебания называются оптическими. Оптические колеба­ ния можно возбудить излучением, волновые векторы которого малы

по сравнению с предельной величиной , (обычно инфракрасная

область спектра), т. е. чтобы волны, возбуждающие колебания, имели близкие к световым волновые части. Оптическая ветвь ко лебаний может возникнуть и в случае, когда массы атомов одина­ ковы, но расстояние между ними различно.

§ 5. Фононы

Как было ранее отмечено, кристаллическая решетка находится в постоянном движений. Элементарные энергетические возбужде-

58

u>

Рис. 25. Оптическая и акустическая ветви кривой зависимости частоты от волнового числа для линейной цепочки, состоящей из атомов двух сортов.

ния %w нормальных колебаний решетки называются фононами.

При движении электронов проводимости происходит взаимодей­ ствие их с колебаниями решетки и при таких взаимодействиях энер­ гия электрона может изменяться только на величину ±Г>w, а его импульс на величину bk, где k волновой вектор. Следует отметить, что взаимодействовать с электронами и друг с другом могут толь­ ко те нормальные колебания решетки кристалла, которые возбуж­ дены выше ее нулевого энергетического состояния (только эти воз­ буждения и состояния вблизи абсолютного пуля называются фоно­ нами). Представляется естественным рассматривать фононы как квазичастицы, которые могут поглощаться и испускаться при вза­ имодействии с электронами и обладают энергией Е =bw и квази­ импульсом bk. Характер поведения фононов отличен от поведения обычных частиц, поэтому их и называют квазичастицами. Отличие заключается в том, что при взаимодействии с электронами или с друг с другом фононы возникают и исчезают; причем, среднее чис­ ло фононов (их концентрация) зависит от температуры. Для газа обычных частиц (атомов, электронов) V (объем), Т (температура) и N (число частиц) являются независимыми. Так как фононы не обладают спином, то они подчиняются статистике Бозе-Эйнштейна, согласно которой в состоянии статистического равновесия в одном квантовом состоянии (в ячейке фазового пространства объемом

59

е " - 1

Таким же соотношением описывается и число фотонов. Это со­ отношение называется распределением Планка.

§ 5. Теория теплоемкости кристаллов

Классическая теория теплоемкости твердых тел

'Закон Дюлснга-Пти

Вклассической теории теплоемкости однородное твердое тело рассматривается как совокупность совершенно независимых друг от друга частиц, совершающих колебания с одной и той же часто­

ческой энергии, где ft=l,38 • ІО16 эрг/град—постоянная Больцмана. Рассмотрим гармонический осциллятор, находящийся в тепловом равновесии со средой при температуре Т. Средняя кинетическая энергия этого оциллятора равна его средней потенциальной энер­ гии. На самом деле, координата х, определяющая отклонение осцил­ лятора от положения равновесия, зависит, от времени по гармони­ ческому закону

X А sin (wt фа).

Ранее было показано (§ 8, гл. I), что кинетическая и потенци­ альная энергии соответственно равны:

Plan " Kn0T - - - niw2A 2.

Отсюда следует, что в классической статистике средняя полная

лено суперпозицией 3N нормальных колебаний. Так как каждое

60

нормальное колебание представляет собой с механической точки зрения гармонический осциллятор, то полая внутренняя энергия кристалла при температуре Т равна

E = 3Nk0T.

Теплоемкость твердого тела при постоянном объеме равна сѵ—

- - - \>т=З.Мк0. Пели рассматриваемая область кристалла содержит

один грамм-моль вещества, то /Ѵ= ,¥0 = 6,023-ІО23 г - моль-1 число Авогадро. Таким образом, грамм-молекулярная теплоемкость всех кристаллов при высоких температурах равна

Этот закон был установлен экспериментально в 1819 году Дюлонгом и Пти. В таблице приведены атомные теплоемкости ряда веществ при обычных температурах.

Табличные результаты говорят о том, что для большинства эле­ ментов закон Дюлонга и Пти выполняется. Отступление наблюдает-

Рис. 2С. Зависимость теплоемкости от температуры.

61

ся у бора (В) и алмаза. Однако, при исследовании температурной зависимости теплоемкости в широком температурном диапазоне обнаружилось несоответствие с законом Дюлонга и Пти в области низких температур для всех веществ (рис. 26). Она резко уменьша­ ется при низких температурах, согласно же классической теории теплоемкость не должна зависеть от температуры.

Такое расхождение обусловлено тем, что атомы в твердом теле колеблются не независимо друг от друга, а обладают широким спек­ тром собственных частот колебаний. Кроме того, колеблющиеся атомы в кристалле уподобляются не классическому, а квантовому осциллятору, имеющему дискретный набор энергий. Поэтому для нормальных колебаний кристалла мы должны приписать им, со­

гласно (1—57) энергию Е = (гі-\- -у-^/іѵ.

Динамические модели решетки Эйнштейна и Дебая

Основные положения теории Эйнштейна заключались в следую­ щем:

а) как и в классической теории, атомы в кристалле совершают независимые упругие колебания;

б) энергия колеблющегося атома может быть представлена в форме энергии квантового осциллятора, средняя величина которой может быть вычислена по формуле

62