Файл: Комов, А. Н. Физические основы микроэлектроники учеб. пособие.pdf

Атомы разделены потенциальным барьером высотой V и шири­ ной Ь. Амплитудное1уравнение Шредингера, описывающее движе­ ние электрона в таком поле, запишется как

d2ii

выше кинетической энергии электрона), уравнение (IV—ІО) имеет решение

Поста; иные Л, В, С, D выбираются так, чтобы функция и и ее

68

требования периодичности значение функции и(х) при х = а было равно ее значению при х ——Ь, т. е. u\ (0 ) = « 2 (0) и и^(а) = и2(а). Для определения А, В, С, D мы имеем, таким образом, систему из четырех линейных и однородных уравнений:

лишь в том случае, если детерминант, составленный из коэффици­ ентов при неизвестных, равен нулю.

Из этих же уравнений можно установить связь .между и и вол­ новым числом k. Если ввести упрощающее допущение, что ширина барьера b—*0 в то время, как высота V ->сг так, что произведение [>2Ь остается конечной величиной, т. е. ѴЬ — постоянны, то эта связь будет выражаться следующим уравнением

разделяющего ямы; при b—"0 расстояние а равно параметру решет­ ки. На рис. 29 приведен график величины, стоящей в левой части (IV—13), как функции аа для произвольно выбранного значения

Р =-|-- Поскольку cos ka, стоящий в правой части (IV—13), мо­

жет принимать значения только в интервале от +1 до —1, то аа может принимать только те значения, для которых левая часть (IV—13) не выходит из указанных пределов. Эти возможные значе­ ния аа показаны на рис. 29 жирными линиями.

В соответствии с соотношением а = (— ) они дают дополни­

тельные значения энергии Е. Из приведенного рисунка видно, что с увеличением аа длина отрезков А увеличивается. Это означает, что чем выше расположена энергетическая зона, тем она шире. Зо­ ны разрешенных энергий отделены друг от друга полосами запре­ щенных энергий. Эти полосы соответствуют областям аа, в кото­ рых левая часть уравнения (IV—13) больше +1 и меньше —1. Вследствие того, что ни при каких вещественных значениях k cos ka, стоящий в правой части уравнения (IV—13), не может быть больше +1 и меньше —1, то значения аа, при которых левая часть

69

этого уравнения оказывается больше -Ь 1 и меньше —1, существо вать не могут, а энергии, отвечающие этим значениям аа, для элек­ трона запрещены. Границы допустимых значений аа соответствуют для k величинам hn/a. На рис. 30 приведена зависимость Е до k. Л£У. Л£0" ••• и т. д.—запрещенные зоны энергии.

Рис. 30. Изменение энергии электрона о г волнового числа /г; энергетический спектр электрона

Если Р мало, то запрещенные области исчезают. Если Р * оо, то разрешенные интервалы значений аа вырождаются в точки

пк (п = ± 1, ±2...). Энергетический спектр становится дискретным, и 722

собственные значения энергии Е = g тд2 будут относиться к элек­

трону в потенциальном ящике длиной а. Внутри первой полосы разрешенных энергий cos ka меняется от +1 до —1. Этому соот­ ветствует изменение ka в пределах от 0 до ± я , или изменение k в

Последнее выражение определяет область простирания первой энергетической зоны, или, как уже было сказано, зоны Бриллюэна. Внутри второй энергетической зоны cos ka изменяется от —1 до + 1,

Внутри зоны Бриллюэна энергия квазинепрерывна, на границах зо­ ны энергия может иметь разрывы. Здесь не случайно говорится о квазинепрерывности, а не о непрерывности энергии в зоне, посколь­ ку имеется в виду обязательное наличие в задаче граничных усло­ вий. Таким образом, энергетический спектр электрона в периоди­ ческом поле в общему случае распадается на разрешенные и запре­ щенные полосы энергии или зоны.

71

§ 3. Превращение атомных уравней в энергетические зоны при образовании кристалла

Как было выяснено, внутри зоны волновое число k меняется от —^-до--*—^- • Наложение периодических краевых условий ограни­

чивает к следующими значениями:

где L—длина атомной цепочки. Из формулы (IV—15) видно, что

число независимых значений k равно— . Так как А—длина цепоч

ки, а—расстояние между атомами, то-^ = N —числу атомов в це- •

энергии должна состоять из N уровней, где N—число атомов в це­ почке. Ход образования разрешенной и запрещенной энергетических зон полезно ироследйть также и с иной точки зрения. Будем исхо­ дить из состояния, в котором имеется совокупность удаленных друг от друга нейтральных атомов, каждый из которых обладает соб­ ственной системой энергетических уровней, и проследим, что будет происходить с энергетическими уровнями по мере сближения ато­ мов и перекрытия их электронных оболочек в процессе образова­ ния из этой совокупности атомов упорядоченной структуры метал­ лического кристалла.

В результате взаимодействия с соседними атомами уровни рас­ щепляются в энергетическую зону, в пределах которой энергия электронов периодически зависит от k. Подобное расширение явля­ ется следствием волновых свойств электронов и непосредственно связано с уменьшением степени локализации их в кристалле по сравнению с изолированными атомами. В кристалле все электроны приобретают способность переходить от одного атома к другому. Этот переход осуществляется путем туннельного просачивания сквозь разделяющий потенциальный барьер. Наличие таких переходов уменьшает степень локализаций электронов и приводит к брльшей или меньшей неопределенности в значении их энергий, т. е. к размытию уровней энергии и превращению их в полосы или зоны. Вычисления показываюі, что время пребывания электрона около определенного атома составляет т=10~15 сек, т. е. нет смысла говорить о принадлежности электронов определенным атомам.

72

нов, имеющий в изолированном атоме ширину «10. 7 эв, превра­ щается в кристалле в энергетическую зону шириною порядка еди­ ниц электроновольт. Электроны внутренних оболочек атомов име­ ют т-= 1020 лет, т. е. энергетические уровни этих электронов в кри­ сталле такие же узкие, как и в отдельно взятой атоме. По мере пе­ рехода к более внешним оболочкам высота и ширина потен­ циального барьера уменьшаются, вероятность туннельного перехода электронов увеличивается, вследствие чего растет ширина энерге­ тических зон. На рис. 31 показано изменение энергетических уров-

ней атомов натрия по мере их сближения. Справа приведены уров­ ни изолированного атома натрия, слева—образование зон, обуслов­ ленное расширением уровней при уменьшении расстояний г между атомами, d — межатомное расстояние в кристалле натрия.

Явление перекрытия соседних энергетических зон наблюдается у многих твердых тел и играет большую роль в определении их электрических свойств.

§ 4. Зонная структура металлов, диэлектриков и полупровод­

ников

Рассмотрим более подробно верхние энергетические зоны. Зо­ ны, которые расположены над энергетическими уровнями внутрен­ них электронов, можно разделить на две группы: на валентные зо­ ны и зоны проводимости. Зоны проводимости во всех кристалличе­ ских телах лежат над валентными зонами. В некоторых случаях они могут -взаимно перекрываться. Свободные электроны, т. е. элек­ троны проводимости, имеют энергетические уровни, лежащие в пределах зоны проводимости. Уровни валентных электронов нахо­ дятся в пределах валентной зоны. Промежутки, расположенные между валентными зонами и зонами проводимости, называются за­ прещенными зонами. Зонная теория еще не является строгой теори­

73

ей, на базе которой можно вести точные количественные расчеты. Несмотря на это, с помощью зонной теории оказалось возможным выяснить некоторые основные вопросы, в частности, объяснить раз­ личие между металлами, изоляторами и полупроводниками. Приме­ нение зонной теории позволяет получить правильную, единую и до­ статочно общую картину электропроводности твердых тел. С точки зрения этой теории электропроводность определяется степенью за­ полнения электронами зон разрешенных энергий. Если разрешенная зона заполнена полностью, то электроны, уровни которых лежат в пределах этой зоны, не могут принимать участия в электропровод­ ности. В самом деле, электроны, участвующие в механизме проводи­

для поднятия электрона на вышележащую свободную зону, то в этом случае не появляется направленного движения электрона, а, следовательно, нет и электрического тока. Такие тела относятся к изоляторам. В частично заполненных зонах имеется большое число свободных состояний, энергия которых очень мало отличается от энергии занятых уровней этой зоны. Поэтому уже слабое электри­ ческое поле способно сообщить электронам добавочный импульс, чтобы перевести их на близлежащие свободные уровни. В теле по­ является преимущественное движение электронов против поля, обуславливающее возникновение электрического тока. Такие тела являются, очевидно, проводниками. Зонную структуру металла и изолятора можно представить рис. 32.

Рис. 32. Энергетическая структура зон дЛя металлов (а), диэлектриков (б), полупроводников (в).

У полупроводников так же, как и у изоляторов, валентная зона отделена от зоны проводимости запрещенной зоной, однако шири­ на запрещенной зоны различна. Так, для алмаза, являющегося изо­ лятором, ширина запрещенной зоны равна примерно 7 эв, для гер­ мания и кремния—соответственно 0,72 и 1,12 эв. Принято считать

74