Файл: Комов, А. Н. Физические основы микроэлектроники учеб. пособие.pdf

ники. Энергия этих частиц может меняться непрерывно и прини­ мать любые значения от нуля до оо .

2.Допускается, что все микросостояния системы (все способы распределения) равновероятны.

3.Молекулы различаются, т. е. обладают индивидуальностью.

Например: молекула № 1 в состоянии «а», молекула № 2 в состоя­ нии і«б» определяют микросостояние; молекула № 1 в состоянии «б», молекула № 2 в состоянии «а» определяют второе микросос­ тояние.

Однако и первому и второму микросостоянию соответствует од­ но и то же макросостояние газа.

Рассмотрим молекулярный газ, занимающий при температуре I и давлении Р объем V и содержащий N молекул. Допустим, что этот газ находится в силовом поле (например, в поле сил тяжести).

Полная энергия Е каждой молекулы газа складывается из ки­ нетической энергии W, определяющейся скоростью движения и по­ тенциальной энергии U, зависящей от координат молекулы в про­ странстве.

Построим в точке с координатами х, у, г, взятой внутри объема

где k — постоянная Больцмана,

dN —число частиц, для которых координаты и составляющие им­ пульсов заключены в интервалах.

от X до x + dx, от у до yEdy, от г до z-\-dz, от рх до f)x+ dpx, от ру

до py+dpy, от pz до Pz+ dpz.

38

Отношение dN к величине интервала dx dy dz dpx dpv dpz опре­ деляет плотность заполнения интервала молекулами. Обозначив эту плотность через /, получим из II—1 следующую формулу

-Ж

f= A e

Это и есть распределение Максвелла-Больцмана.

§ 3. Понятие о фазовом пространстве

*

Представления о фазовом пространстве служат отправным пунк­ том для построения классической статистической физики. Под фа­ зовым пространством в статистической физике понимается простран­ ство всех обобщенных импульсов Я, и обобщенных координат qt рассматриваемой системы, определяющих состояние (фазу) систе­ мы. Состояние системы в некоторый момент времени изображается в виде точки в этом пространстве. Если представить себе'мысленно шестимерное пространство с осями координат х, у, г, рх, ру, pz, то произведение dx dy dz dpx dpy dpz будем изображать в этом про­

составляющими импульсами рх, ру, pz называется фазовой точкой. Обозначим элемент фазового пространства через

dN (х, у, z, рх, ру, pz) выражает число фазовых точек, заполня­ ющих элемент фазового пространства dx. Поделив dN на dx, полу­ чим следующее выражение для плотности заполнения фазового пространства точками

нения фазовых ячеек тем выше, чем меньшим энергиям эти ячейки соответствуют.

§ 4. Квантовая статистика

Классическая статистика Максвелла-Больцмана имеет дело с частицами, движение которых строго подчиняется законам класси­ ческой механики. Состояние любой такой частицы однозначно оп­ ределяется заданием ее координат х, у, z и составляющих импуль­ са рх, Ру, pz- Как координаты, так и импульсы могут меняться не­ прерывно. Поэтому возможны состояния бесконечно мало отлича­ ющиеся друг от друга координатами, энергиями, импульсами. Эти состояния классическая статистика считает различными.

Свободные электроны, образующие в металлах электронный газ, по своим свойствам отличны от молекул обычного газа. Поэтому и законы статистического распределения этих частиц оказываются также различными. Электронный газ подчиняется квантовой ста­ тистике Ферми-Дирака.

Электроны обладают волновыми свойствами, и их движение описы­ вается волновым уравнением Шредингера. Энерг ия и другие характе­ ристики движения электрона в твердом теле становятся квантованны­ ми. Наличие у электрона волновых свойств исключает возможность

< /i3 (II—3). Так как произведение dxdydzdPxdPydPz представляет собой элемент шестимерного фазового пространства dr, то из соот­ ношения (11—3) следует, что различным элементам фазового про­

что их потенциальная энергия одинакова во всех точках металла, вследствие чего распределение в объеме V является равномерным. В этом случае вместо шестимерного фазового пространства х, у, z, Рх, Ру, Pz пользуются 3-х мерным пространством импульсов Рх, Ру,

Pz И разбивают его на элементарные ячейки размером d x = ~ .

Каждой такой ячейке соответствует отдельное' квантовое состоя­ ние, отличимое от других-состояний. Таким образом, первое отличие квантовой статистики от статистики Максвелла-Больцмана состоит в методе деления фазового пространства на элементарные ячейки.

Второе отличие заключается в том, что в классической статисти­ ке частицы различаются, т. е. перестановка местами частиц, нахо­ дящихся в различных состояниях, дает новое микросостояние си­

стемы; в квантовой статистике существует положение неразличи­ мости частиц.

40

Если уравнению Шредингера удовлетворяет волновая функция

Мяи Я2, Чз — Цn)>

то этому же уравнению будет удовлетворять и функция ф (ф2, Ц\, <7з---

... qy), в которой изменен порядок частиц, т. е. при взаимной пере­ мене координат отдельных частиц не приводит к новому микросо­ стоянию.

Для электронов в статистике Ферми-Дирака необходимо учиты­ вать принцип Паули, согласно которому в каждом квантовом со­ стоянии не может быть двух электронов в одном и том же состоя­ нии.

§ 5. Функция распределения Ферми-Дирака.

После описанных выше особенностей электронного газа мы мо­ жем приступить к описанию функции распределения электронов по энергиям.

Представим себе кусок металла объемом V, в котором находит­ ся N свободных электронов, образующих электронный газ. Постро­ им пространство импульсов с осями координат Рх, Ру, Рг. Разобъ-

ем это пространство на элементарные ячейки объемом у — . Каж­

дой такой ячейке соответствует определенное квантовое состояние с энергией Е. Функция распределения выражает плотность заполне­ ния этих ячеек электронами. Так, ячейки, для которых )ф = ''І2, за­ полнены в среднем наполовину; ячейки, для которых /ф=1 заполне­ ны целиком. Функция распределения показывает, какую долю об­ щего числа частиц в системе составляют частицы с заданной энер­ гией Е.

Статистический расчет, основанный на учете указанных выше свойств частиц электронного газа, приводит к следующему выраже­

Здесь Е — энергия, соответствующая заполняемой ячейке, k — постоянная Больцмана,

Т— абсолютная температура,

ц— химический потенциал, отнесенный к отдельной частице.

Химический потенциал выражает работу, которая затрачивается

при данных условиях на увеличение числа частиц системы на еди­ ницу и определяется выражением

и _ TS 4- р ѵ

l’- -------J T — ’

где U — внутренняя энергия системы, S — энтропия,

V — объем системы, Р — давление,

N — число частиц в системе:

41

I