Файл: Комов, А. Н. Физические основы микроэлектроники учеб. пособие.pdf

При равенстве химических потенциалов какого-либо вещества, находящегося в двух соприкасающихся фазах, устанавливается равновесие, при котором не происходит направленного переноса частиц из одной фазы в другую. ІЗ частности, при равенстве хими­ ческих потенциалов двух соприкасающихся электронных проводни­ ков между ними устанавливается равновесие, при котором потокѵі электронов, идущце от одного проводника в другой, оказываются одинаковыми; р — называют также энергией Ферми.

При Е = р; /ф= ѴгСледовательно, энергии Ферми соответствует квантойые состояния, вероятность заполнения которых равна поло­ вине.

График функции Ферми-Дирака изображен на рис’. 17.

Рис. 17. График функции распределения ФермиДирака для абсолютного нуля и для какой-то достаточно низкой температуры.

§ 6. Понятие о вырождении электронного газа

Рассмотрим функцию распределения Максвелла-Больцмана, ко­ торую можно представить следующим выражением

/ - ’М - Е Н Т - ,1 « " " -

Как видно из этого соотношения, функция распределения f должна непрерывно возрастать с уменьшением Т, при этом следует учесть, что средняя энергия молекулы пропорциональна абсолют­

ной температуре Т ■И | kT .

Это означает, что с понижением температуры скорость и импуль­ сы молекул уменьшаются и фазовые точки, выражающие состояния молекул, стягиваются к началу координат. При абсолютном нуле импульсы молекул обращаются в нуль и фазовые точки сосредота­ чиваются в бесконечно малом объеме, сливающимся с началом ко­ ординат.

42

Для свободных электронов в металле распределение Максвел­ ла-Больцмана заменяется распределением Ферми-Дирака

полностью, и /ф= 1; для £ > р о —/ф = 0, т. е. вероятность заполнения уровней, энергия которых выше ц0, равна нулю (уровни свободны).

С повышением температуры энергия частиц растет и распределе­ ние изменяется — часть состояний с энергией £-<ро оказывается свободной, а с энергией £ > Р о — занятой.

Значение энергии Е, равной энергии Ферми ро, определяет ту максимальную энергию, которую могут иметь свободные элёктроны при абсолютном нуле.

Можно показать, что средняя величина этой энергии равна

£ = 9- ІО-19 дж=ЬДэв. ' '

В классической статистике такой энергией может обладать иде­ альный газ при температуре в несколько десятков тысяч градусов. Столь резкое расхождение в свойствах электронного газа в метал­ лах и идеального молекулярного газа приводит к понятию вырож­ дения электронного газа (не подчиняется классической статистике). При абсолютном нуле электронный газ полностью вырожден. Од­ нако при определенных условиях газ может переходить из вырож­ денного состояния в невырожденное.

Эти условия вытекают из соотношения (II—4), когда экспонен-

43

E —l'O

циалыіый член е kT , стоящий в знаменателе, будет значительно больше 1, тогда распределение Ферми-Дирака переходит в распре­ деление Максвелла-Больцмана и гцз подчиняется классической статистике, как обычный молекулярный газ.

можно определить. Для этого необходимо определить число электро­ нов в единице объема металла, энергия которых лежит в интервале от Е до Е + dE.

Построим в пространстве импульсов две концентрические сфе­ ры с радиусами р и p + dp. Этим сферам соответствуют энергии Е

Поделив правую и левую части этого выражения на объем ме­ талла V, определим число квантовых состояний (число ячеек) в

единице металла, приходящихся на интервал от Е до E + dE: з_ і_

2,т (2m)2 Ег dE

Zo h'i

Число электронов в единице объема металла, энергия которых ле­ жит в интервале от Е до E + dE, получим, умножив число ячеек на

Эта формула выражает закон распределения электронов по энерги­ ям. Таким образом

4 4

Интегрируя последнее выражение по энергиям в пределах от 0 де ос, получим число электронов в единице объема

з_ м *

электронный газ будет вырожденным и применять к нему стати­ стику Максвелла-Больцмана нельзя.

Как видно из соотношение II—9, вырождение в газе наступит тем раньше, чем меньше масса его частиц т, больше концентрация п и ниже температура Т.

Оценим выражения II—8, II—9, для этого примем т = 9-10"31 кг.,

45

дя из этого, можно определить понятие выраждения следующим образом: состояние свободных электронов называется вырожден­ ным, если их энергия не зависит от температуры (или какого-либо другого параметра) и вырождение снимается, если энергия начи­ нает зависеть от температуры (или другого параметра).

§ 7. Распределение для вырожденного газа бозонов

( р а с п р е д е л е н и е Б о з е-Э й и ш т е и н а )

В природе кроме систем частиц электронов, протонов, нейтро­ нов, имеющих полуцелый шин, существуют еще и системы частиц (фононы, фотоны и др.) с целым или нулевым спином.

Первые из них, как известно, описываются распределением Ферми-Дирака, поэтому такие частицы названы фермионами. Для вторых частиц применима статистика Бозе-Энштейна/В статистике Бозе-Эйнштейна частицы считаются неразличимыми и имеют дис­ кретные значения энергии. Функция распределения имеет вид

штейна, называются бозонами; а системы таких частиц можно рас­ сматривать как газ бозонов или бозе-газ.

В отличие от фермионов, бозоны не подчиняются принципу Пау­ ли. Так например, в одном состоянии может быть сколько угодно совершенно одинаковых фотонов. Если фотоны это — квант поля электромагнитного излучения, то фонон это—квант поля колебаний кристаллической решетки. Возбужденное состояние решетки пред­

шая школа», 1969.

I

46

ОСНОВЫ ФИЗИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА

Глава III. ВНУТРЕННЯЯ СТРУКТУРА ТВЕРДЫХ ТЕЛ И СИЛЫ СВЯЗИ

Все материалы (металлы, полупроводники), с которыми нам придется иметь дело, относятся к кристаллическим телам. Известны и некоторые так называемые аморфные полупроводники (например, сажа и черный селен), которые видимо, обладают известной сте­ пенью «кристалличности», по крайней мере, в атомном масштабе.

t

§ 1. Кристаллическая решетка и силы связи в кристаллах

Кристалл может быть определен как вещество с периодической структурой, обладающей свойствами симметрии. Опишем строение ^ кристалла, 'воспользовавшись понятием о пространственной решет­ ке.

Для этого воспользуемся тремя векторами ах, а2, аз (не лежащи­ ми в одной плоскости), исходящих из одной точки А. Построим век­ тор Т= «!аі -fn2a2 + n3a3, где п\, п2, п3 принимают все положитель­ ные и отрицательные целочисленные значения, тогда создается бе­ сконечная система точек, образующих пространственную решетку, получившей название решетки Бравэ (рис. 19). На этом рисунке показана плоская решетка, определяемая двумя векторами а.\ и а2. Полученная решетка будет обладать периодичностью по трем на­ правлениям. Параллелепипед, построенный на векторах аь а2, а3, называется элементарной или примитивной ячейкой. Для описания кристалла достаточно знать элементарную ячейку, т. е. модули векторов аі, а2, а3 и углы между ними. Путем переноса или повторе­ нием элементарной ячейки можно получить модель всей кристалли­ ческой структуры. Эту операцию перемещения кристалла парал­ лельно самому себе, описываемую вектором 1 = П\&\ + п2а2 + п3аз, бу- дем называть трансляцией.

Элементарная ячейка может иметь различные формы — форму прямоугольного или косоугольного параллелепипеда, куба или приз­ мы. Размер ребра элементарной ячейки вдоль одной из осей назы­ вают постоянной решетки. В общем случае постоянные решетки в различных направлениях будут разными.

47

Рис. 20. Плобкая сложная решетка.

фия. Различные экспериментальные исследования показали, что одноатомный кристалл имеет структуру простой решетки, в узлах которой расположены однородные атомы; двухатомные, трехатом­ ные и четырехатомные кристаллы имеют сложную решетку, состоя­ щую соответственно из двух, трех или четырех вдвинутых друг в друга простых решеток.

Чтобы понять, как атомы удерживаются в кристалле, рассмот­ рим упрощенную картину межатомных сил. При сближении атомов настолько, что происходит взаимное перекрытие электронных обо­ лочек, становятся существенными силы притяжения. Если атомы сближать еще на более близкие расстояния, то начинают преобла­ дать силы отталкивания. Природа этих сил может быть различной.

48