Файл: Каверкин, И. Я. Анализ и синтез измерительных систем.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.10.2024
Просмотров: 76
Скачиваний: 0
управленияпроизводится в подавляющем большинстве случаев с использованием оператора
t |
|
|
= |
t ' ) df , |
(2-17) |
о |
|
|
где h (t, t') — весовая функция. |
|
|
Еслипроцесснестационарный |
эргодический |
(вобобщенном |
смысле), то ошибка, с которой производится оценка, состоит из двух независимых компонент. Одна из них, ДГѲ* (t), обусловлена
конечностью |
объема выборочных данных, а другая, АСМѲ* |
(/),— |
|
смещенностью оценки, т. е. |
|
|
|
|
ДѲ*(0 = ДтѲ*(0 + |
АСМѲ*(/). |
(2-18) |
При этом, |
учитывая, что |
|
|
|
t |
t |
|
< 1 g[X{t')]h{t, t') dt')> = |
,f Ѳ ((') h (t, t')dt', |
(2-19) |
|
|
ДСМѲ* (0 = Ѳ(t) —JѲ(t') h (t, t') dt'. |
(2-20) |
|
|
о |
|
|
Здесь «угловые» скобки означают усреднение по совокупности. При оптимизации измерений по критерию F {АѲ* (£)} в прило жениях чаще всего пользуются средним квадратом ошибки (погреш
ности). Тогда
< |
Д2Ѳ* (*)> |
= < [Ѳ (() — Ѳ* (/)]2> = Ѳ2 (t) + |
|
|||
|
|
|
+ |
<[Ѳ* (()]2> —2Ѳ (/)<Ѳ* (()> |
(2-21) |
|
и, |
поскольку <Ѳ * |
(/)>>= |
Ѳ(/) — ДСМѲ* (t), а |
|
||
<[Ѳ* (/)]2 > |
= < |
^ g[X( t' )]g[X( t") ]h(t , t')h(t, t")dt'dt"> = |
||||
|
|
t |
0 |
і |
|
|
|
|
|
|
|||
|
= |
tf #«(*', t")h(t, t')h(t, t")dt' dt" + [\Q(t')h(t, |
t')d t’} \ |
|||
|
|
ö |
|
b |
|
|
TO |
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
< |
А2Ѳ* (()> |
= JJRg (t', t")h(t, t’)h(t, t")dt'dt" + |
|
|||
|
|
0 |
|
+ AL Ѳ* (t) |
(2-22) |
|
или |
|
|
||||
< Д 2Ѳ* (()> |
= < Д |Ѳ * (()> + ДсМѲ*((). |
(2-23) |
||||
|
|
|||||
Полученный результат говорит о независимости составляющих суммарную погрешность компонент.
60
Оптимизация в данном случае сводится к минимизации
< А 2Ѳ * (0 > . Если за |
критерий оптимизации принимается макси |
||
мальная на множестве |
измерений |
Ѳ погрешность |
|
F {ЛѲ* (rf)) = |
шах АѲ* (t), |
(2-24) |
|
|
|
ѳ |
|
то в основу оптимизации кладется принцип минимакса.
При использовании для нормирования погрешности доверитель ного интервала оптимизация может осуществляться либо в варианте минимизации доверительного интервала при фиксированной дове рительной вероятности, либо в варианте максимизации доверитель ной вероятности при фиксированном доверительном интервале.
Для каждого критерия разрабатывается свой алгоритм оптими зации.
В приложениях обычно пользуются не оптимизацией оператора S [X (t) ], в данном случае весовой функции h (t, /'), а так называе мой параметрической оптимизацией, когда при фиксированном виде оператора S \X (t) ] устанавливается наилучшее в отношении кри
терия F {АѲ* (^)) значение выбранного параметра а. |
В этом случае |
|
уравнение (2-14) принимает вид: |
|
|
F {АѲ* (0) = |
extr Д{АѲ* (/)/«}. |
(2-25) |
|
а |
|
Так, например, при использовании идеального интегрирования, |
||
когда |
t |
|
S [X (0 1 = 4 - |
f g[X{t ' )\ dt \ |
(2-26) |
1 |
і—т |
|
объектом оптимизации становится время усреднения Т, причем средний квадрат ошибки <{ А2Ѳ* (t)^>, обусловленной конечным объемом выборки, с увеличением Т уменьшается, а ошибка из-за смещенности оценки АСМѲ* (t) с ростом Т, вообще говоря, увели чивается.
Если оптимизация измерений производится по критерию
G{A/(/)}, |
принципиальное отличие от оптимизации по |
критерию |
F {АѲ* (/)} |
заключается, помимо изменения структуры |
критерия, |
в учете ряда дополнительных факторов, связанных с реализацией оператора Р [Ѳ*, <р].
В качестве критерия G [AI (/)} также могут выступать средний
квадрат < А2/ (/){>, максимальное значение max Al (t), довери-
ѳ
тельный интервал [АІг, А/2] и т. п.
При параметрической оптимизации уравнение (2-16) выглядит
следующим образом: |
|
G {A /(0}=extrG {A /(/)/a, Р[Ѳ*, <р]. |
(2-27) |
<х |
|
Ошибка управления включает в себя следующие основные ком поненты: А/х (t) — ошибку, обусловленную несоответствием при нятого оператора Р [Ѳ* (/), ср(^)] идеальному; А/2 ( /) — ошибку
61
обусловленную инерционностью звеньев, вырабатывающих и ис полняющих команду г (7); А13 (0 — ошибку, обусловленную по грешностью измерений значений текущей статистической характе ристики.
Перечисленные составляющие формально могут быть опреде лены по формулам:
|
|
|
|
|
|
д МО = М О - М О , |
|
|
|
(2-28) |
|||||
где |
I, (() — состояние объекта, устанавливаемое под воздействием |
||||||||||||||
команды |
|
|
|
М 0 = МѲ*(0, |
ф (01; |
|
|
|
(2-29) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
AMO = М О -М О . |
|
|
|
|
(2-30) |
|||||
где /2 (/) — состояние объекта, устанавливаемое командой |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
r2(t) = P [Ѳ* (t— ти), |
|
ти)], |
|
|
(2-31 ) |
||||||
где |
ти — характеристика |
инерционности |
звеньев, |
вырабатываю |
|||||||||||
щих и исполняющих команду г (t): |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
AMO = М О - Мт (0, |
|
|
|
(2-32) |
||||||
где |
/уст (t) |
— состояние |
объекта, устанавливаемое |
командой |
|||||||||||
|
Таким образом, |
г(/) = |
Р [Ѳ * (* -ти)]. |
|
|
|
|
(2-33) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
А/ (t) = AI, (t) + |
А/, (t) + |
A/j (t). |
|
|
(2-34) |
||||||
|
В свою очередь |
А/3(0 = |
А/з г (0 + А /Зсм (0, |
|
|
|
(2-35) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
где |
Al3T (t) — ошибка, |
обусловленная |
погрешностью |
измерений |
|||||||||||
из-за конечности объема выборочных данных; |
А/Зсм (/) — ошибка, |
||||||||||||||
обусловленная погрешностью из-за смещенности оценки. |
|
|
|||||||||||||
|
Окончательно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
G {AI (0) = |
G {А/, (0 + |
Д/2 (0 + Аl3T (t) + |
А/Зсм (/)). |
|
(2-36) |
|||||||||
|
Теперь задача сводится к установлению свойств и характера |
||||||||||||||
взаимозависимости составляющих ошибки. |
|
|
|
|
|
||||||||||
по |
Можно показать, что при определенных условиях оптимизация |
||||||||||||||
критерию |
G (А/ (^)) |
|
сводится |
к оптимизации |
по |
критерию |
|||||||||
F {АѲ* (/)). |
Действительно, |
если |
G{A/(/)} |
монотонно |
зависит |
||||||||||
от |
А/3 (7), |
а |
Als (t) — от |
F {АѲ* (t)), |
то оптимальная |
процедура |
|||||||||
измерений |
в |
смысле критерия F {АѲ* (/)) |
будет |
и оптимальной |
|||||||||||
в смысле G {Al (^)j. |
Так, например, если |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
G {А/ (0} = |
< |
A4, (0 > + |
< А2/2 ( / )> |
+ < |
А2/3 (0 > , |
(2-37) |
||||||||
т. е. Al, (t), |
А/2 |
(/) |
и А/3 (t) — независимые случайные величины, |
||||||||||||
а < А % (/)> |
= |
f |
IF {АѲ* (/)) ] — монотонная |
функция, |
то оп |
||||||||||
тимальный интервал сглаживания в смысле F {АѲ* (/)} будет оп |
|||||||||||||||
тимальным и в смысле |
<CA2l(t)^>. |
|
|
|
|
|
|
||||||||
62
Однако в общем случае отличие результатов оптимизации по критериям G {AI (/)) и f (АѲ* (/)] может быть существенным.
Остановимся еще на одном аспекте задачи оптимизации измере ний значений текущих статистических характеристик в системах автоматического управления.
Соотношения (2-14), (2-16), (2-25) и (2-27), лежащие в основе различных вариантов оптимизации процедуры измерений, приводят к результатам, которые зависят от текущего времени /. Реализация этих результатов вызывает необходимость построения адаптивных систем измерения, что требует достаточно сложных технических средств.
Возможен иной подход к оптимизации операторов или парамет ров измерений текущих статистических характеристик в системах автоматического управления, сводящийся к так называемой опти мизации в среднем. При этом вместо (2-14), (2-16), (2-25) и (2-27) используются соответственно следующие уравнения:
F {ЛѲ* (t)) = |
extr F {АѲ* (t)/S [X (f)]}; |
(2-38) |
|
s |
|
G {Al (/)) = extrG {Л/ {t)/S [X (/)], P [Ѳ*, cp]); |
(2-39) |
|
|
s |
|
F{ ЛѲ* (0} = |
extr F (ЛѲ* (t)/a\; |
(2-40) |
|
а |
|
G{M(t) 1= extrG{M(t)/a, P[0*, cp]), |
(2-41) |
|
|
а |
|
где черта сверху означает усреднение по всей временной области. Применение адаптивного подхода к оптимизации измерений всегда приводит к лучшему качеству автоматического управления, чем применение подхода, основанного на оптимизации в среднем. Это объясняется тем, что здесь не только учитываются данные о всех возможных условиях функционирования системы, но и соот ветствующим образом варьируется объект оптимизации. Следует иметь в виду, что речь идет не о восполнении недостаточной априор ной информации за счет применения адаптивных процедур, а о принципиальном отличии подходов к определению оптимальных операторов или параметров и организации функционирования си
стемы.
При адаптивных процедурах измерений информационная мо дель системы регулирования несколько трансформируется: появ ляется дополнительный канал управления оператором 5 [Х(/)].
Из изложенного вытекает, что дальнейшие исследования в об ласти разработки методов и средств измерения в системах автома тического управления следует вести в первую очередь в направле нии разработки алгоритмов оптимизации в среднем, адаптивной оптимизации операторов и параметров измерений, а также опреде ления классов объектов, для которых оптимизация по критерию F и по критерию G приводит к близким результатам.
63