Файл: Данилов, Л. В. Электрические цепи с нелинейными R-элементами.pdf

определению — пассивные двухполюсники. В самом деле, если ср(i) — такая характеристика, то ее можно представить в виде

Здесь ф!(i) — неубывающая функция, график которой проходит че­ рез начало координат и потому целиком находится в первом и третьем квадрантах. Следовательно, i<pi(i)^0 и функция фДО удовлетворяет условию первой теоремы. Постоянную величину ■ф(0) в (1.46) можно трактовать как величину постоянного напря­ жения источника и объединить этот источник с u(t), что лишь из­ менит константу в условии третьем теоремы. Поэтому все условия теоремы сохраняются.

.Доказательство.

Для рассматриваемой цепи по второму закону Кирхгофа

энергию на клеммах двухполюсника z(p). Так как z ( p ) — положи­ тельная вещественная функция, двухполюсник — пассивный и по­ тому энергия на его клеммах либо положительна, либо если отри­

оо

Применим клевой части (1.51) неравенство Буняковского:

22

Г Л А В А

ВТОР А :я

Качественные вопросы теории нелинейных цепей

2.1. ДИССИПАТИВНОСТЬ

Определение

Пусть электрическая цепь описывается уравнением

■Символом i(t, t0) обозначим вектор-функцию^^, являющуюся ре­

Рассматриваемая цепь называется диссипативной; или обладающей D -свойством, если при любом U и любых начальных условиях су­ ществует число / > 0, не зависящее от t0 и начальных условий, и такое, что [22]

Другими словами, каковы бы ни были начальные условия в цепи,

висящей от to и начальных условий.

Отметим, что данное определение диссипативности требует огра­ ниченности лишь выделенных реакций i(t), в то время как осталь­ ные токи и напряжения в цепи могут и не удовлетворять (2.2). Ha- т.ример, цепь может содержать контуры, составленные лишь из ин­ дуктивностей, где может циркулировать постоянный ток произволь­ ной величины.

Иногда диссипативность определяют по отношению к напряже­ ниям на емкостях и токам индуктивностей. Приводимые ниже тео­ ремы выделяют классы цепей, для которых имеет место диссипативность в том и другом смысле.

Установление D-свойства для возможно более широкого класса цепей полезно, по крайней мере, по трем причинам.

1) При расчете диссипативной цепи с помощью ЦВМ не возни­ кает дополнительных трудностей, связанных с неограниченным ростом амплитуды решения.

2) Доказательство диссипативности часто можно провести эф­ фективно, т. е. получить константу I в (2.2) в явном виде. Тем са­

24

мым мы получаем оценку сверху амплитуды вынужденных коле­ баний, а также информацию о том, в какой области следует зада­ вать начальные условия для численного расчета установившегося-

режима.

3) Наличие D-свойства позволяет в ряде случаев получить ин­ формацию о существовании и количестве периодических режимов, в цепи при периодических воздействиях [44].

Критерии диссипативности

Ниже даются критерии диссипативности, охватывающие элект­ рические цепи весьма общего вида. Для простоты вначале форму­ лируется и доказывается критерий диссипативности цепи, содержа­ щей в своей нелинейной части лишь один резистивный двухполюс­ ник. Затем формулируется теорема для общего случая нелинейного' резистивного многополюсника. Доказательство общего случая, ес­ ли не считать усложнения в деталях, вполне аналогично предыду­ щему и поэтому опускается.

Теорема 2.1.

Пусть в ур-нии (2.1)

1)z(p) — сопротивление линейного R, L, С-двухполюсника;

2)Вольтамперная характеристика ф(i) может быть представ^

лена в виде

клемм сопротивление полученной цепи относительно точек присое­ динения каждой из емкостей цепи не имеет полюсов на мнимой оси;, точно так же, при замыкании внешних клемм линейного двухпо­ люсника, проводимость полученной цепи, вычисленная относитель­

Wo — константа, не зависящая ни от начальных условий, заданных в момент_/ = /0, ни от t0.

2) lim|i(7) | </о, где /0 — константа,, также не зависящая ни o r

СО

to, ни от начальных условий.

25.

Предпошлем доказательству теоремы некоторые комментарии. Условие 2 теоремы предполагает, что вольт-амперная характе­ ристика нелинейного резистора <q>(i) может быть неоднозначной, а также иметь падающие участки. На рис. 2.1а показана допустимая

Рис. 2.1. Вольтамперная характеристика, удовлетворяю­ щая условиям теоремы 2.1 (а) и не удовлетворяющая этим условиям (б)

■форма кривой ср(i) и ее аппроксимация кривой R(i), а на рис. 2.16 — недопустимая форма кривой q(i).

Может показаться, что условия (2.3) и (2.4) исключают из рас­ смотрения функции ср(i). асимптотически приближающиеся к го­ ризонтальной или вертикальной прямой. Однако и эти функции бу­ дут обеспечивать диссипативность цепи, если к z(p) предъявить до­ полнительные требования, а именно:

Kez(ico) 5ег > 0 при всех со, Re— -— > g > О при всех со.

г(i со)

Всамом деле, в этом случае найдутся такие положительные чис­ ла гх и gi, что

^(р) = ri + zt (р); ——- = gi + уI (р),

гс (р)

где у\(р) — положительная вещественная функция. Поэтому двух-

.Рис. 2.2. Преобразование линейного двухполюсника (а); преобразование всей це­ пи с целью исключения горизонтальных и вертикальных участков нелинейной ха­ рактеристики (б)

полюсник z(p) можно представить в виде, показанном на рис. 2.2а, а всю исследуемую цепь подвергнуть преобразованию, приведенно­ му на рис. 2.26. Резистивный двухполюсник, отмеченный на рис.

J26