Файл: Бриллюэн, Л. Новый взгляд на теорию относительности.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.10.2024
Просмотров: 78
Скачиваний: 0
Гравистатическая проблема |
123 |
Р а с с м о т р им |
теперь |
точечный з а р я д Q |
(или |
точеч |
||
ную массу |
М). |
В этом |
случае |
|
|
|
D = - % r ° , |
F = - %r°> |
V=-^-. |
|
(7.11) |
||
|
г2 |
|
er2 |
er |
4 |
7 |
Формула дл я плотности энергии электростатиче |
||||||
ского поля |
(7.9) |
уж е использовалась в гл. 2, где |
было |
|||
показано, |
что объемный интеграл |
от этой |
плотности |
|||
дает классическую потенциальную энергию. Р а з н и ц а
между электростатикой |
и |
гравистатикой |
заключается |
||
в том, что точечный |
з а р я д Q может существовать на |
||||
самом деле, тогда |
как |
точечная масса |
M |
практиче |
|
ски невозможна . К а ж д а я |
|
масса M окружена |
атмосфе |
||
рой распределенной |
массы, |
плотность которой соответ |
|||
ствует плотности энергии |
|
поля {формулы |
(7.4) и (7.9)]. |
||
П о к а ж е м сначала, как дополнить и исправить фор мулы (7.11), когда массу нельзя более считать беско нечно малой. М ы не будем касаться вопроса о том, что может происходить внутри сферы радиуса а; эта внутренняя з а д а ч а представляет самостоятельный ин
терес. Итак, |
мы выбираем |
дл я |
рассмотрения |
сфериче |
|
скую оболочку |
или пузырь |
массой М0. |
Если масса Mo |
||
равномерно |
распределена |
по |
сфере, |
то поле |
внутри |
оболочки отсутствует. Следовательно, внутри оболоч ки отсутствуют какие-либо поправки к обычной тео рии. Вне оболочки как первое приближение могут ис пользоваться соотношения (7.11). С учетом соотноше ния между массой и энергией (7.4) они дают плот
ность энергии и плотность массы °Ug [формулы |
(7.9) и |
|
(7.10)]: |
|
|
# = ^ ( F D ) = - G - ^ - = <Ugc* при |
г>а. |
(7.12) |
Таким образом, вокруг оболочки М0 |
радиуса |
а мы |
обнаруживаем атмосферу отрицательной массы. Эта
атмосфера, |
о к р у ж а ю щ а я Ain, всегда отрицательна, |
ка |
|
ким бы ни был знак массы М0. |
П о л н а я масса Mg, |
рас |
|
пределенная |
в поле, получается |
прямым интегрирова |
|
нием по всему пространству:
124Глава 7
Эта формула соответствует формуле для электромаг нитной массы электрона и дает очень малую относи
тельную поправку, когда \GM0/2c2a\ мало. Масса М 0 могла бы быть измерена только приборами, разме щенными очень близко к оболочке. Н а больших рас стояниях г мы измеряем полную массу
Mt = M0 |
+ Mg |
+ .. .=м0 (і - |
+ |
...),1 G M >1 |
« I . |
|||
|
|
|
|
|
|
|
2c2a |
|
|
|
|
|
|
|
|
(7.14) |
|
В случае, если |
\GM0/2c2a\ |
окажется большим, мы |
дол |
|||||
ж н ы рассматривать приближение |
более высокого |
по |
||||||
рядка . |
С р а з у |
ж е |
обратим |
внимание на |
нелинейный |
|||
характер |
гравистатики и наличие |
асимметрии |
между |
|||||
положительными |
и |
отрицательными |
массами. |
|
||||
§ 4. Полное гравистатическое поле с учетом окружающего распределения плотности массы
Мы можем легко сформулировать фундаменталь ные законы гравистатики. Исходя из формул для плотности энергии и плотности массы (7.3), (7.4) и (7.10), имеем
а комбинируя |
(7.15) с (7.8), получаем |
|
||||||
|
VD = 4 |
^ |
= |
- | g D 2 , |
где |
£ = |
(7.16) |
|
|
Это и есть |
наш |
фундаментальный |
нелинейный |
за |
|||
кон |
гравистатики. |
|
Используем |
теперь наше условие |
||||
для |
случая сферической |
симметрии, |
предполагая, что |
|||||
D вдоль радиуса |
равно |
Dr: |
|
|
|
|||
|
|
1 |
d |
(r2Dr) |
= -±gDr. |
|
(7.17) |
|
|
|
72 |
-jj |
V |
|
g |
|
|
Мы замечаем, что величина r2 £>r Мт внутри сферы радиуса г [см.
dMr |
1 |
л2 |
|
|
M |
|
|||
dr = |
~~2 ' |
S~ |
|
, |
равна полной массе формулу (7.11)]:
Mr = r2Dr. |
(7.18) |
Гравистатическая проблема |
125 |
И с п о л ь з уя приведенную массу mr, которая была опре делена в (4.3):
|
mr |
= -^Mr |
= |
gMr = |
gr2Dr, |
(7.19) |
|||
мы |
получаем |
уравнение |
|
|
|
||||
|
|
|
|
dmr |
|
m2r |
|
(7.20) |
|
|
|
|
|
dr |
|
2r2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||
Интегрирование |
дает |
|
|
|
|
|
|||
где |
а — постоянная |
интегрирования; следовательно, |
|||||||
|
іпг |
= |
|
2га |
, |
' |
г. Dr=- |
2а |
|
|
|
' |
г — |
а7 |
г |
г (г — а) ' |
|
||
|
|
г |
ft |
|
* |
|
|
||
На больших расстояниях мы получаем ньютоновское поле дл я полной массы tnt (масса оболочки т 0 плюс полевая масса ту ) :
Щ — ша + tTif = 2а, г > |
а, |
но (7.21) дает |
|
»--£г-т=&ЕГ- |
<7-2> |
Это есть точное решение, в то время как наше урав
нение (7.14) д а в а л о только первое |
приблиоісение: |
т ° - і - К / 2 а ) - |
( 7 Л 4 0 |
Согласно точной формуле (7.22), существует сингу лярность при
a = - f - . |
(7.23) |
Подробнее этот результат, соответствующий условиям
гравитационного коллапса, мы разберем в следующем параграфе .
126 Глава 7
§ 5. Анализ |
результатов |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
П р е ж д е |
чем приступить к обсуждению |
результатов |
||||||||||||||
этой |
главы, |
мы д о л ж н ы сделать |
одно в а ж н о е замеча |
|||||||||||||
ние. Масса, |
распределенная |
|
в поле, |
всегда |
|
|
отрицатель |
|||||||||
на, |
поскольку |
гравитация |
|
соответствует |
|
отрицатель- |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
m, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\ |
|
/ |
va |
|
та/ |
/ Положительные |
|
|
||||||
|
|
m |
|
х |
- |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
массы |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
\ |
\ |
2а |
|
/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-4а |
-2а |
|
|
|
|
|
-т0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Отрицательные |
|
\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
массы |
|
/ |
|
|
\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/II |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
/ |
|
|
|
\ |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
Ф и г. |
7.2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ной диэлектрической |
постоянной |
[формула |
|
(7.3)]. Сле |
||||||||||||
довательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
Щ — т0 |
= т{ < О, |
|
|
|
|
(7.24) |
|||||
где |
ttif |
— полевая |
масса. Используя |
уравнение |
(7.22), |
|||||||||||
мы |
получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Щ — Щ — — ,По!!' |
, |
т. |
е. |
іщіщ |
> 0. |
(7.25) |
||||||||
Масса оболочки т0 и полная масса |
mt |
всегда |
имеют |
|||||||||||||
одинаковые знаки. Фиг. 7.2 дает наглядное |
представ |
|||||||||||||||
ление о соотношении |
м е ж д у т0 и mt; |
кривая |
представ |
|||||||||||||
ляет собой равнобочную гиперболу; физический |
смысл |
|||||||||||||||
имеют |
только |
следующие |
области: область |
I с |
т0 |
> |
||||||||||
• > 0 и |
/ П ( > 0 — положительные |
массы; |
область |
I I |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Гравистатическая проблема |
127 |
||
с т 0 |
< 0 |
и |
піі |
< |
0 — отрицательные |
массы, |
а |
область |
|
I I I |
с /п0 |
< |
0 |
и |
mt > |
0 физического |
смысла |
не |
имеет. |
П о р а ж а е т |
наличие |
резкой асимметрии |
между по |
||||||
ложительными и отрицательными массами. В случае
положительных |
масс |
мы |
видим, что |
полная приведен |
||||
ная |
масса |
tnt |
не может |
превышать |
2а: |
|
||
|
|
|
mt^2a |
|
при m0 —>оо. |
(7.26а) |
||
Это |
опять |
в ы р а ж а е т |
условие |
(7.23). |
|
|||
В |
случае |
отрицательных |
масс |
мы имеем |
совсем |
|||
иную ситуацию: |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
mt-^—oo, |
|
m 0 ^ = — 2 а . |
(7.266) |
||
Эти странные ограничения требуют более глубокого анализа .
Вернемся теперь к |
условию |
(7.23), |
д а ю щ е м у кри |
|
тическое соотношение |
между |
массой |
mt и |
радиусом |
оболочки а. При равенстве радиуса а половине |
полной |
|||
массы mt (масса центральной оболочки плюс масса, распределенная в о к р у ж а ю щ е м поле) возникает гра витационный коллапс. Мы можем сравнить этот ре зультат с тем, что получен в теории Эйнштейна, — он приводился в гл. 4 [формулы (4.3) — (4.8)]. Эйнштейн і не рассматривал распределения массы м е ж д у цент ральным телом и полем, а его масса m соответствует : нашей nit.
Кроме того, Эйнштейн не указывал, какой тип ко ординат следует выбирать, и считал такое положение удовлетворительным. Мы подчеркнули необходимость произвести такой выбор прежде, чем делать какие-ли бо попытки экспериментальной проверки, и предполо жили, что пространство изотропно и евклидово. Это со- '
ответствует формулам |
(4.5) |
и (4.6), в которых |
мы |
|||
т а к ж е получили, что критический радиус |
равен |
xkm. |
||||
Н а л и ц о |
полное |
соответствие |
м е ж д у нашим элемен |
|||
тарным |
рассмотрением |
и эйнштейновским |
решением |
|||
для евклидова |
пространства. |
|
|
|
||
Практический анализ результатов этой главы от вечает на вопрос, затронутый в гл. 4, и решительно на- ; водит на мысль, что изотропное евклидово простран ство с переменной скоростью света представляло бы |