Файл: Энгель, В. Ю. Основы теории и расчет объемных гидромашин с фазовым регулированием учебное пособие.pdf

я

я

Вп = — Г sin ф sin р фйф =

—f[cos (р — 1) ф — cos (р -f- 1) ф] dq>=

р я .1

2я J

о

о

_ I Гsin ( р — 1) я

s i n ( p + l ) r c '

2 я [

р —• 1

р +

1

При р > 1 полученное для Вр выражение

всегда равно нулю.

/' =

1

1

2

2

2

-----1-----sin ф

-------cos 2 ф

------- cos 4ф--------cos 6ф —

я

2

З я

15я

35я

2

2

1

2

-------- соэ8ф —------соэЮф— . . . --------- ----- cos рф, (2.2)

63я

99л

я р

2 — 1

щим образом:

t = sin 2ф от 0 до я и t =

0 от л до 2л.

Имеем

t — А'о + А [ cos ф + А2cos 2ф + Ар cos р ф + Bi sin ф +

-(- В2 sin 2ф -j- Врsin p ф;

Я

А ’о = —

Г sin 2фйф = 0;

2 я

,1

6

• cos фd ф == 1

Я

I (э}пЗф +

sin ф) d ф =

2я

о

Зя

Я

А,

j* э1п2ф

cos р ф d ф

2я

[sin (р +

2)ф — sin(p — 2)(f]d(f;

я о

1

Г cos (р — 2) я — 1______

cos (р +

2) я — 1

2я [

р— 2

р + 2

При любом четном р величина А р’

всегда равна нулю (при

р = 2, раскрывая

неопределенность

в первом

члене, находим

А2 =

0).

При р нечетном получим

J

1

А„ = 2я

Р — 2

31

л

Bi = —

I sin 2ср • sin cp d ф =

—

1 (cos ср — cos Зф) dq> =

я

J

2 я

J

1

/ .

sin

3v \ я

=

0;

== -— (sin qp--------- Ч

я

2 я

\

я

3

/о

5р = — f sin 2ф • sin рф£Йр = —

Г [cos (р—2) ф— cos (р + 2) фф/ф=

я. J

2 л

J

__

1

I1 sin (pр — 2) я

sin(p +

2 )rt

2 я

[

р —

Р +

2

Можно видеть,

что В ’р равно нулю при любом

целом р, за

исключением р = 2, для которого

В2 = — .

Окончательно получим

t =

1

4

4

— sin 2ф -1-----cos ф ------- cos Зф —

2

З я

5я

4

_

4

COS р ф,

(2.3)

—

cos 5ф. . . -------------

21 я

я ( р 2 — 1)

вим в формулу (2.1)

результаты разложения функций /(ф) и/(ф),

полученных из формул (2.2)

и (2.3):

Q = / (ф) + ~ t (ф)

иди

—

я

2

2

COS P i

Ф +

uQ = 1

-[----- sin ф------- cos 2ф------- cos 4ф

2

3

13

г я г к . „

, 2 гк

2гк

0

2гк

_

2г„

-[----- sin 2ф -)— - cos ф ----- - cos Зф----- - cos 5ф-------- =— cos р2ф

41

3 /

5 /

2 1 /

i ( р | _ 4 )

где pi — четное и р2—нечетное.

(2.4)

относительно

друг

Если имеется 2 цилиндров, смещенных

друга на

угол 2n/z,

следует,

очевидно,

просуммировать z

ура>в-

но на

Н— -^для первого цилиндра, на^ф + 2 — j для второго

цилиндра и т. д.

получается z

раз;

можно

При суммировании первый член

показать, что гармониками, не дающими при этом

суммирова­

нии нулевого значения, являются гармоники

порядка

z, 2z, 3z

и т. д. —гармоники, кратные числу поршней.

аксиально-поршне­

Рассмотрим теперь мгновенную

подачу

jsin ^ —— j + -^ sin 2 ^ф — ^

j j ПРИ 2я/ + а +

+ — < ф < я ( 2 / + 1) + о + ^ ,

г

г

О при я(2/+ 1)+ а + — <Ф <2я(/+1) + а + — ,

2

Z

где / = 0,± 1, ± 2 ...,

(2-5)

золотника, причем

а — угол разворота распределительного

Из

(2.5)

2зт&

и ф= я (2 /+ 1 )+ а +

следует, что при ф = 2 я/+ а —

+

—

подача k-то цилиндра мгновенно падает до нуля. Оче-

2

видно Q = max при а = 0, a Q =0 при а = — • Полагая

т.

е. не учитывая влияния на подачу конечной

длины шатуна,

получим

s i n ^ p — — j п р и 2 я / + а + ^ р < ф < я ( 2 / + 1 ) + а + - ^ - ,

-

2

О п р и я ( 2 / + 1 ) + а + — < Ф < 2 я ( / + 1 ) + а + — .

2

z

(2.6)

Разлагая

(2.6) в ряд Фурье и учитывая,

что

коэффициенты

2 n k

(2.7)

а„ =

2s +

1

cos (2s +

1) а — -■ 1 ^cos (2s— 1) ctj,

(2.8)

где s = 0, 1, 2 ...

Аналогично

&D=

1

sin (2s +

1) a ■

2s —

1

sin (2s — 1) a

(2.9)

p

n [2s +

1

Исключение здесь

составляет лишь первая гармоника, для

которой

сиа +-я

= ф

J

sm*v d Ф= ф^ .

(2. 10)

а

Рассмотрим теперь две суммы:

У ] cos Р (ф —

=

COS Р Ф

cos k

-f sin рфV

sin A — ;

* = 0

k— 0

k= 0

У sin p(q> — — 'j = sin P< P ^ cos k

— cos р ф \^

sin k

*=0

k=0

k~0

Можно показать, что суммы по k дают соответственно

„

s i n p n - c o s — ( г — l ) n

(2 .11)

cosp

2 7 tp

2

1А=0

Z

Л

p

sin —

V

I

■ и top

sinpn-sinJ7 < *-V p

(2 . 12)

7

1

г

n

-ЙГ-

sin T p

d

sin p я

я

—

- cos -— (г — 1) p

lim

dp

d

я

z

o-*-\z

P

—

sin —

dp

z

d

sin p я

л

(z — 1) p

—

• sin —

lim

dp

z

=

0.

P~*).Z

Окончательно

s

COS Р Ф —

2 я £

) =

cos рф;;

У Sin р ф

2nk \

2Sin рф.

г '

) -

k—0

fc=0

(2.13)

Итак, из (2.8) и (2.9) следует,

что члены ряда Фурье в (2.7)

отличны от нуля лишь для p = 2s,

т. е. для четных гармоник (за

останутся лишь члены, имеющие порядковый номер

p = 2sz для

нечетного числа поршней и p = sz для четного

числа поршней.

Первая гармоника с коэффициентом Ьх= 1/2

будет

отлична ог

ем нечетного числа поршней и подставляя

в (2.7) значения ко­

эффициентов из (2.8) и (2.9), получим

л

л

Z

Z

.

Z

—

cos (2S2 -+- 1) а —

Q= QCp — q =

—

c o s c t - i —

w

я

я

я

2 sz +

1

S— 1

00

~—" cos (2s2 — l)ajcos 2ягф -f — ^

[—*— sin(2sz +

1)а-

1

— ------j sin (2sz — 1) a | sin 2sz ф,

(2-14)

где QCp — осредненная

по всему периоду безразмерная суммар­

ная подача,

QcP =

-- c»s «;

(2.15)

Я