ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.10.2024
Просмотров: 57
Скачиваний: 0
138 |
Глава 6 |
Непосредственное вычисление показывает, что ком мутационные соотношения (6.4.8) — (6.4.11) инвариантны относительно определенного таким образом простран ственного отражения. Тем самым обеспечивается инва риантность всей основы теории Максвелла — Клейна — Гордона относительно отражения.
Для интегральных величин (6.4.12) — (6.4.16) следуют ожидавшиеся законы преобразования:
а) |
= |
б) |
— <к-г)р(и (6.4.19) |
|
|
в) |
^ ( К - В Д + = |
(К -Г)//; |
|
а) |
|
б) |
= <“ >#. |
(6.4.20) |
Явное |
выражение |
для оператора |
пространственной |
четности |
|
в |
случае свободных полей |
|
|
Далее нас будет интересовать задача явного построения оператора пространственной четности (часто называемого просто оператором четности). Оператор SP мы представим при этом в виде
(6.4.21)
В случае поля Клейна — Гордона соотношения (6.4.17) принимают вид
а) егРа (АД е-1Р = ара ( — АД,
б) e,'pP(^l)^_ip = ap*P(—К ) ’
причем Р = Р +.
Рассмотрим сначала первое из этих соотношений. Применяя здесь вспомогательную формулу (6.1.12), нахо-
дим (забегая вперед, подставляем Р |
а |
Р)\ |
|
а (АД + г [Л а (АД] + -J - [Р , [Р, а (АД]] + . . . = |
|
= аРа ( — АД. |
(6.4.23) |
Это равенство удовлетворяется, если принять
Д искретные симметрии |
в квантовой теории |
139 |
Оператор Р определяется из (6.4.24) как |
|
|
Р = — % \ а+(М (К)- |
( - Ад)] <*,3,А = |
|
= — -j- j [а (Ад) — а Ра ( — /<:я)Г X |
|
|
X [а (Ад) — а Ра ( — Ад)] dl3>k. |
(6.4.25) |
|
Рассмотрим аналогичным образом и второе из соотноше ний (6.4.22), придав ему подобную же структуру. На ос новании коммутативности полученных операторов в конце концов находим
( K - r )jP e |
J (а + {kii) [ а (/v ) _ а р а ( _ Ад)] + |
+Р+ (Ад) IP (Ад) — “ р Р ( — Ад)]) dt3)k =
=— ^j ([« (Ад) — а Ра ( — Ад)]+ [а(Ад) — а Ра ( — Ад)] -)-
+ IP (Ад) — к р Р ( — М Г IP (Ад) — “ р Р ( — M l) d‘3)A- (6.4.26)
Поскольку
(К-Г)р 10) = О,
в согласии с (6.3.4) получаем
(К-г)|р 10) = |0).
Так как оператор <к—г)р является сохраняющейся вели чиной, для него должно выполняться соотношение
[(К-Г)^ (к-гуу] = о.
Оно проверяется и непосредственным расчетом. Поэтому для операторов (к—п р и (К—г)jj мо>кно построить общие собственные векторы состояния. Собственные векторы оператора Гамильтона, получаемые многократным приме нением оператора рождения с определенным значением волнового числа к вектору вакуумного состояния, еще не являются собственными векторами оператора четности. Однако, так как собственные зиачеиия энергии вырождены (одно и то же значение энергии имеют состояния с Ад и с —Ад), общие собственные векторы состояния строятся путем линейной комбинации. Таким образом, одночастич
140 |
Глава 6 |
ному состоянию, построенному с помощью а + (Ад), соот ветствует общий для обоих операторов собственный вектор
|1(Ад))* = ^ ( 1 1 ( А д ) ) - а Р |1(--Ад)>), |
(6-4-27) |
где |
|
11 (*д)> = сс+ (Ад) |0). |
|
Расчет дает |
|
(К-D P 11 М д = = _ „ | 1 Ы е . |
(6.4.28) |
Отсюда следует, что для такого состояния оператор (к—r)«j$ обладает собственным значением —1 и т. д.
Теперь можно спросить, как существование новой со храняющейся величины — четности — объясняется тео рией Нётер. Вид выражения (6.4.26) показывает, что опе ратор четности обладает нелокальной структурой, так как в подынтегральном выражении содержатся операторы рождения и уничтожения, зависящие как от Ад, так и от — Эта нелокальность переносится и на координат ное пространство. Но теорию Нётер понимают как локаль ную теорию, и поэтому она не запрещает появления новых нелокальных сохраняющихся величин.
По аналогии с тем, как это было в случае поля Клей на — Гордона, оператор четности можно построить и для
максвелловского поля. При |
этом |
получаем выражение |
|||
= — y j |
2 |
|
|
|
|
d^k 2 ал+ ( К ) |
(аА( К ) |
+ ( - 1)лял ( |
- Ад)) = |
||
|
Л = 1 |
|
|
|
|
= - т J |
2 |
|
|
|
|
d a ) , c 2 («А ( К ) + |
( - 1)л «л ( - К ) У X |
||||
|
Л=1 |
|
|
|
|
|
х (ал (Ад) + |
( - |
1)л ал ( - К )), |
(6.4.29) |
|
которое следует подставить в формулу (6.4.21).
Дискретные симметрии в квантовой теории |
141 |
Б. Внгнеровское обращение времени
Ввиду ограниченного объема этой книги мы коснемся здесь лишь вигнеровского обращения времени, представ ление о котором попытаемся перенести из квантовой меха ники в квантовую теорию доля. Требование, чтобы вигнеровское обращение времени в применении к лагранжевой плотности (5.6.1) было преобразованием симметрии, приводит к следующим законам преобразования полевых операторных функций:
а) Ац' (хг) —S'w A ll{xi)^ 'w + — — All(xv, — t),
6) cp'(a:i) = ^ ' w cp(a;i) ^ |
w + = (p(a:vi |
— t); |
(6.4.30) |
||
|
|||||
а) Ф |
= ATтуФ {pA) SAw+= Q-тФ (xv, |
— t), |
(6.4.31) |
||
б) Ф+) (ж!) = |
^ Ф * (з:*) |
= а /Ф * (^ , |
— t). |
||
|
|||||
При этом должно выполняться равенство |
|
|
|||
|
(Хт*ССт = 1. |
|
(6.4.32) |
||
При повторном применении вигнеровского обращения
времени к (6.4.31) нолучаем |
также |
в предположении |
|
II И* |
|
|
|
' |
1, |
(6.4.33а) |
а Т2 = |
||
откуда |
|
|
cCj* — -4-1. |
(6.4.336) |
|
В этом состоит принципиальное отличие законов преобра зования (6.4.31) от формул классической теории, что видно из сравнения с (4.2.17).
Обнаруживается, что как для плотности электрического тока (4.2.5а), так и для плотности заряда (4.2.56) обеспе чены правильные трансформационные свойства.
В случае свободных полей инвариантными относитель но вигнеровского обращения времени будут и переста новочные соотношения (6.4.8) — (6.4.11).
Мы воздержимся здесь от приведения законов преобра зования операторов рождения и уничтожения.
142 |
Глава 6 |
Для интегральных величин (6.4.12) — (6.4.16) следуют разумные законы преобразования
а) S'wQS~w+ — (?i
(В АМ )
б) ^ w^ - ^ P ^ w * = - (К- Г)^ю
в) S 'w& - VHS'w* = (К- r)tf;
а) S'w W Pv.S'w *^ - W P llt
(6.4.35)
б) S w(mH S w+ = №I-I.
Явный вид оператора вигиеровского обращения времени мы также не станем здесь выписывать.
В. Зарядовое сопряжение
Законы преобразования, соответствующие всем требо ваниям зарядового сопряжения, имеют вид
а) Ф' = !ёФ'ё+ = асФ+, б) ф+, = «ф+®+ = ас*Ф,
(6.4.36)
в) Ат'=<6Ат%* = ~ А т.
Чтобы показать инвариантность лагранжевой плот ности (5.6.1) п правильные трансформационные свойства физических величин, существенно писать все эти выраже ния в виде нормальных произведений, так как лишь при таком стандартном расположении сомножителей удается получить требуемые результаты. При этом усло вии для введенного выше коэффициента получаем
ас*ас = 1. |
(6.4.37) |
В случае свободных полей нетрудно также показать инвариантность перестаиовочных соотношений и вывести законы преобразования для операторов рождения и уни чтожения. Мы не приводим здесь эти результаты ввиду ограниченного объема книги. Теперь мы можем вывести законы преобразования интегральных величин, имеющие вид
a) Q' = |
= |
- <?, б) |
(К~Г)7 у = & K~V)P ^ |
= (К~Г)Р^, |
|
В) |
1К“ Г)Я ' = |
« (К~Г)# « + = (К-Г)Я , |
(6.4.38) |
Дискретные симметрии в квантовой теории |
143 |
д) (М)Я ' = Л Н ^ = СМ)Я.
Построение оператора зарядового сопряжения осущест вляется аналогично тому, как это делалось в случае опе ратора четности.
§о. Система, состоящая аз максвелловского
идираковского полей
Вэтом параграфе мы также даем лишь набросок соот ветствующей теории. Здесь мы опять постараемся по возможности рассматривать систему связанных полей. Результаты, уже полученные для максвелловского поля, здесь можно было бы просто вновь воспроизвести, но от этого мы воздержимся.
А. Пространственное отражение
Лагранжева плотность (5.6.12) инвариантна относи тельно пространственного отражения, если бисниноры преобразуются по закону
|
а) Ч" (ж1) = & ЧГ(ж*) |
= |
аРу4Ч?( - a* |
t), |
(6.5.1) |
||
|
— |
.— |
|
- |
а Р*4е{ — |
|
|
|
б) Ч" (ж*) = 0*ЧГ (ж{) 0*+= |
|
|
||||
При |
этом должно |
иметь место равенство |
|
|
|||
|
|
|
аР*аР = |
1. |
|
(6.5.2) |
|
Это |
обеспечивает |
хорошие |
трансформационные |
свойства |
|||
плотности 4-вектора электрического тока |
(5.6.14). |
||||||
В случае свободных полей фуръе-разложение дираков- |
|||||||
ского |
поля |
имеет |
вид |
|
|
|
|
|
|
|
Чг(®1) = — |
|
|
|
|
X j d^k {eift^ a A ( |
Ул (А*) + |
e~ihJx^ A(k ^ W A(/%)} |
(6.5.3) |
||||
(суммирование по Л от 1 до 2). Здесь VA и WA — постоян ные проектирующие матрицы, возникающие в решении уравнения Дирака для плоских волн. Для них справедли