ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.10.2024
Просмотров: 61
Скачиваний: 0
128 |
|
Глава 6 |
|
отсюда |
следует |
|
|
|
|
|
(6.2.25) |
если |
предположить |
справедливость |
гейзенберговских |
уравнений движения |
для оператора |
S '. |
|
Заметим, что закон преобразовапия (6.2.23) согла суется с трансформационными свойствами четвертой ком поненты 4-импульса.
Подводя итоги, можно сказать следующее. Требуемое преобразование (6.2.14) должно выражаться операторным образом соотношениями (6.2.19). Так как при этом не мо жет быть и речи о линейном унитарном преобразовании, оператор £Г должен обладать новыми специфическими
свойствами. |
Чтобы |
выяснить |
характер |
этих |
свойств, |
||
преобразуем |
соответствующим |
образом соотношение |
|||||
(5.6.20в). Это приводит к равенству |
|
|
|||||
S' [йц (2), |
(2)1 |
= |
hb^STiS*. |
(6.2.26) |
|||
Существуют следующие две возможности привести это |
|||||||
равенство к |
виду |
(6.2.15). |
|
|
|
|
|
а) Вигнеровское |
обращение |
времени. |
Следуя |
Вигне |
|||
ру [11], потребуем антилинейности оператора 2Г(S ==S~w) :
ЗГyfO.S'W+— (6.2.27)
это значит, что некоторому комплексному числу а должно сопоставляться комплексно сопряженное ему число а*. Антилинейиый унитарный оператор будем называть анти-
унитарным.
Выполнение этого требования приводит к желаемым результатам как для перестановочных соотношений, так и для операторных уравнений движения.
Сам Вигнер |
не выразил свою теорию на языке бра- |
и кет-векторов. |
В целях последовательности изложения |
мы распространим его теорию на случай абстрактной квантовой теории поля. Чтобы это осуществить, необхо димо затронуть еще несколько основных положений. Именно, пусть собственный кет-вектор переходит при обращении времени в собственный бра-вектор по правилу
|m(2)}' = {S'w I ni (/)>} = {m(2)| |
(6.2.28a) |
Дискретные симметрии в квантовой теории |
129 |
||
и, наоборот, |
|
|
|
'{т (*) |= |
{(т (0 ] S'w*} = |
I ш (*)>. |
(6.2.286) |
Здесь приходится |
использовать |
обозначения |
1 |
со скоб |
|||
ками, так как иначе в левой и правой частях уравнения уголки были бы направлены в противоположные стороны. Далее эти скобки препятствуют применению закона ассо циативности в соответствующих уравнениях, связываю щих операторы и векторы состояния. Кроме того, правило эрмитова сопряжения ие может распространяться на мно жители, стоящие в этих скобках.
В этих предположениях мы проанализируем сначала уравнение для собственных значений
Н |m (t)) = Em |m (t))
в гейзенберговском представлении. Если бы оператор 33w был линейным, то в силу (6.2.25) из собственных векторов |тп (t)) можно было бы построить и собственные векторы для 3TW- Однако ввиду правила (6.2.28) уравнение для собственных значений аитилинейного оператора в обыч ном смысле существовать ие может. Итак, известная теоре ма операторного исчисления здесь не справедлива.
Рассмотрим теперь произвольные векторы состояния
1Ф >= 2 ф т К) I гп(*)> И <¥ I = 2 (г) 1Уп* (ф |
(6.2.29) |
|
Ш |
П |
|
Действуя на них операторами 33w и 33w+i находим |
||
|ф>' = {33 w |Ф » = 2 |
Фт * (t) {33w |m (f)» = |
|
m |
|
|
|
= 2 Ф т * ( № ( 0 1 = <Ф| |
(6.2.30a) |
И |
m |
|
|
|
|
'(W |= {(¥ 1^ w+} --= 2 |
{(n {t) 133w*) w n(t) = |
|
n |
|
|
|
= 2 l» (0 > ^ n (0 = |Y>. |
(6.2.306) |
|
n |
|
Перемножая оба эти равенства друг на друга и вводя определение
CP IФ) IФ)} |r w +}, (6.2.31)
9-01350
130 |
Глава в |
получаем |
|
y w С? 1ф );^ тИ = |
S Фт* (о xi'm (t) = (Ф |чо, (6.2.32) |
|
7П |
что вполне согласуется с правилом (6.2.27). Следователь но, скалярное произведение при обращении времени пре терпевает комплексное сопряжение. Тем самым обеспе чивается инвариантность вероятностей перехода.
Из уравнения движения (5.6.25) для произвольного вектора состояния следует преобразованное уравнение движения
d|Ф>' |
п |
й(Ф| Л |
п оп, |
|
= 0 |
Или - ^ = 0 . |
(6.2.33) |
Эрмитово сопряжение снова переводит его в исходное уравнение движения, что и свидетельствует об инвариант ности.
б) Швингервеское обращение времени. Вторая из упо мянутых выше возможностей исследовалась Швингером [12], достигшим того же эффекта для соотношения (6.2.26)
в предположении, что оператору приводит к обращению порядка сомножителей (пусть У = У 5):
У 5 (21 {£) аз (*)) y s+= 23' (г) 21' (t). (6.2.34)
Заметим, что и это предположение песовместимо с зако ном ассоциативности, ибо иначе было бы можно отбросить скобки,и при этом сохранился бы порядок следования операторов.
Законы преобразования векторов состояния могут быть записаны так же, как это было сделано выше.
В заключение вернемся вновь к основной проблеме. Преобразование (6.2.14), рассматриваемое как несомнен но верное для операторов координат и импульсов, приводит к (6.2.15), нарушая тем самым форм-инвариантность перестановочных соотношений. Можно было бы и удоволь ствоваться этим заключением, из которого следует, что основные законы квантовой механики не обладают форминвариантностыо относительно обращения времени. Если же принять за первичный постулат форм-инвариантность основных законов квантовой механики вообще (как это было нами сделано выше), то получается, что вытекающее
Дискретные симметрии в квантовой теории |
131 |
отсюда «правильное» обращение времени не ограничивается просто преобразованием (6.2.14), а требует дополнитель ной операции в смысле Вигнера или в смысле Швингера.
Шрёдипгеровское представление
Преобразование обращения времени в приложении к перестановочным соотношениям или уравнениям движения для операторов здесь не имеет каких-либо осо бенностей. Поэтому мы сосредоточим внимание на урав нении Шрёдингера (6.2.11).
В шрёдингеровском представлении произвольный век тор состояния можно представить в виде фурье-разло- жения
I Ф 00) = 2 фт (t) |т) |
или (ф 00 |= 2 (m I Фт* (0- (6.2.35) |
т |
т |
а) Вигнеровское обращение времени. В силу (6.2.28а)
из (6.2.35) получаем
|Ф (t)}' ^ {*TW |ф |
= |
(ф (t) |. |
(6.2.36) |
Применяя теперь оператор £Гw к |
уравнению (6.2.11), |
||
находим |
|
|
|
{ ^ w (I I (^ (t), ^ ( 0 ) | Ф ( 0 ) ) } = - ^ 4 ( Ф ( 0 1 - |
(6-2.37) |
||
Чтобы далее преобразовать это уравнение, необходимо прояснить смысл его левой части. Отождествим систему собственных кет-векторов |т ) с собственными вектора ми оператора Гамильтона; тогда
#|Ф (0> = 2Ф т(*)£т|та>
и далее
{JTW (II |ф т } = 2 (т |Фт* (t) Ет=
т
= 2 (т |НФт* (t) = (Ф (/.) |Н.
т
Поэтому уравнение (6.2.37) переходит в уравнение
<Ф(*)|Я=-^4-<Ф(0|-
9 *
132 |
Глава 6 |
Эрмитово сопряжение дает отсюда уравнение Шрёдингера в обычном виде, что и доказывает его форм-иивариаитность. Тем самым оправдываются и предположения (6.2.28).
Согласно равенству (6.2.32), шрёдингеровские соб ственные функции
(?ц) = (ЯI т) |
(6.2.38) |
при обращении времени претерпевают комплексное сопря жение:
3 |
VK+ = |
|
Сделаем еще два замечания относительно уравнения |
||
Шрёдингера в координатном представлении |
|
|
HDG>{q»,t) = |
дф (qa, i) |
(6.2.39) |
ih — |
||
где Н D — дифференциальный оператор |
Гамильтона. |
|
Поскольку, строго говоря, речь идет о классическом урав нении, рассмотрение можно проводить в духе гл. 4, § 2. Последовательно производя преобразование t t! = —t (также в присутствии электромагнитного 4-потеициала), приходим к уравнению, принимающему при комплексном сопряжении вид исходного уравнения Шрёдингера, по уже для волновой функции Ф*, которую следует рассматри вать как обращенную во времени:
Ф' = S'yftbS'w = Ф*.
Этот результат вполне согласуется с выводом (6.2.32).
б) Швингеровское обращение времени. Так как в этом
случае преобразование векторов состояния совпадает с имеющим место в теории Вигнера, от рассмотрения этого случая мы воздержимся.
§ 3. Квантовая теория поля
А. Пространственное отражение
Полностью в духе общей формулы преобразования
(5.3.8) запишем
и а, ( х {) = & и а ( х * ) & +. |
(6.3.1) |