Файл: Сысоев, А. Н. Гидродинамика сжимаемой жидкости учеб. пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 30.10.2024
Просмотров: 67
Скачиваний: 0
26 Глава 1
мх Нх і |
|
М X H = му ну j |
|
мг Hz k |
|
= (MyHz - MzHy)i + (MZHX- а |
д + |
+ {MxHy - M yHx)к. |
(1.25) |
Вообще говоря, поле Н в выражениях (1.24) и (1.25) являет ся суммой постоянного приложенного поля Н0 и магнит ной составляющей ВЧ-поля Нг. Последнюю можно рас сматривать как поле, вращающееся в плоскости ху с угло вой частотой ш [1, 4]. Поэтому компоненты поля Н опреде ляются выражениями
Hx = Hi cosv>t, Ну = — HiSinwt, HZ = H0. (1.26)
Объединяя выражения (1.24) — (1.26), получаем три урав нения, описывающие зависимость компонент вектора М от времени:
dMJdt ~ f (Му На + MzHl sin to /),
dMy/dt = т (МгЯі cos mt — MXH0), |
( 1.27) |
dMJdt = — 7 (MxHt sin ш t + MyHt cos ш t).
Уравнения (1.27) пока еще не полны, так как в них не учитывается релаксация. Блох с сотр. [1] предположил, что спин-решеточную и спин-спиновую релаксации можно рассматривать как процессы первого порядка с характерис тическими временами Tt и 7 у . Компоненты Мх и М ѵ, уменьшаясь, стремятся к равновесному значению, равному нулю, тогда как М г стремится к значению М 0■ Поэтому уравнения Блоха в окончательном виде выглядят так:
dMJdt = Y(МуН0+ МгНхsin w t) — M J T 2,
dMJdt = т (MzHt cos о>f — MXH0) — M J T 2, |
( 1.28) |
dMJdt = — ч{МхНхsin wt + Л4у# i cos ш t) — (Mz — M0)/Tt.1
1 В отношении |
Tt- это предположение оказывается верным |
для жидкостей, но |
не для твердых тел. |
Основные понятия ЯМ Р 27
Времена Т{ и Т2 часто называют временами продольной и поперечной релаксации соответственно, поскольку они являются постоянными времени спада компонент намагни ченности, направленных параллельно и перпендикулярно полю Н0.
Уравнения Блоха при различных ограничивающих пред положениях можно решить непосредственно, хотя и с боль шой затратой труда. При условии медленного прохождения через резонанс получается обычный сигнал поглощения лоренцевой формы, сдвинутый по фазе на 90° относительно Hj, и сигнал дисперсии, совпадающий по фазе с Ht [1, 4]. Важность этих дифференциальных уравнений мы увидим далее, в последующих разделах книги
1.5. Вращающаяся система координат
При рассмотрении импульсных методов очень удобно относить движение намагниченности не к неподвижной (лабораторной) системе координат, а к координатной сис теме, вращающейся вокруг Н0 в том же направлении, в котором прецессируют ядерные моменты. Эту координатную систему называют вращающейся системой координат или вращающейся системой отсчета [6].
Идея вращающейся системы координат достаточно хо рошо известна, так как все мы обычно отсчитываем наше положение и движение относительно Земли, т. е. относи тельно координатной системы, вращающейся с угловой скоростью 2л/24 рад-ч-1. Человек, «неподвижно» стоящий на экваторе, удаленному наблюдателю покажется движу щимся со скоростью почти 2000 км/ч. А если еще этот че ловек будет подбрасывать мяч «вертикально» вверх и поз волять ему свободно падать в поле тяготения Земли, то для него мяч будет совершать простое вертикальное прямоли нейное движение и не будет подвержен действию какихлибо горизонтальных сил. В то же время для удаленного наблюдателя мяч будет описывать сложную траекторию, составленную из отрезков парабол.
1 Уравнения Блоха неприменимы к твердым образцам. —
Прим. ред.
28 Глава 1
Подобным же образом жектор намагниченности в пра вильно подобранной вращающейся системе координат мо жет совершать гораздо более простое движение, чем в лабо раторной системе. Чтобы перейти к количественному рас смотрению вопроса, необходимо посмотреть, как меняется основное уравнение движения М (1.24) при переходе к вращающейся системе. Вообще говоря, мы решили воздер живаться в этой книге от подробных выкладок, однако в данном случае вывод уравнений можно оправдать как чрез вычайной важностью результата для последующего изло жения, так и тем, что, несмотря на его простоту, результат не является очевидным.
Чтобы вывести основные уравнения вращающейся сис темы координат, получим сначала простое и известное выра жение, связывающее производную вектора М по времени
с его компонентами. |
Пусть |
|
М = |
Л4Л.і + Муj + Мгк. |
(1.29) |
С помощью обычной формулы для производной произведе ния [7] получаем
(1.30)
Поскольку i, j и к — единичные векторы, их производные по времени не могут изменять своей длины, а могут быть связаны только с вращениями векторов. Математически
вращение описывается |
с помощью |
векторного |
произве |
дения [5]: |
|
|
|
~ ~ — WX i, |
-^- = w x j , |
J = » x k . |
(1.31) |
dt |
dt |
dt |
|
Длина вектора ш соответствует угловой частоте вращения единичного вектора, а направление ю совпадает с осью, относительно которой происходит вращение. В такой вра щающейся системе координат все три единичных вектора
Основные понятия ЯМ Р 29
вращаются со скоростью и направлением, задаваемыми одной и той же и>, так что выражение (1.30) принимает вид
(dM/A),|,„Kc = дМ№ + to X (Мл.і + Муj + М2к) = •
= (дМ/д0.ращ + о> X М. |
(1.32) |
Полная производная описывает общее движение вектора М в неподвижной (лабораторной) системе, тогда как частная производная соответствует явной зависимости М от време ни во вращающейся системе. Далее мы будем пользоваться символом обычной, а не частной производной, сопровождая ее соответствующим индексом, как в выражении (1.32), если будет возможно неоднозначное понимание.
Если М — вектор намагниченности, то из формулы (1.24) следует, что
(dM/d/),NKC = fM X Н, |
(1.33) |
а из выражения (1.32) получаем
{dM/dl)Bpaui'~ f М X Н — to X М. |
(1.34) |
Перегруппировывая члены в выражении (1.34) и используя соотношение (1.17), получаем
(dWdt)вращ = f M x H + "fM xti)/f:
= f М X (H + lo/f). |
(1.35) |
Член ы/т имеет размерность магнитного поля, и его можно рассматривать как некоторое «фиктивное» поле, обусловлен ное вращением. Уравнение (1.35) можно записать и иначе — через эффективное поле:
(dM/d/)Bpaui = f М X Heff, |
(1.36) |
где |
|
Heff = H + co/f. |
(1.37) |
Уравнения (1.35) и (1.36) показывают, что обычные урав нения движения, применяемые в лабораторной системе координат, верны и во вращающейся системе при условии, что вместо Н в них используется Негг, определяемое вы-
30 Глава 1
ражением (1.37). Следовательно, во вращающійся системе намагниченность прецессирует вокруг Нсц. Обычно для нас будет представлять интерес система отсчета, вращаю щаяся с частотой, равной или близкой к частоте приложен ного ВЧ-поля Нь так как такой выбор вращающейся сис темы обычно приводит к самым простым вычислениям и выражениям.
1.6. Намагниченность во вращающейся системе отсчета
Теперь мы можем с помощью вращающейся системы объяснить поведение намагниченности в ходе некоторых ЯМР-экспериментов и в более явной форме проследить влияние на нее релаксации и неоднородности магнитного поля. В этом же разделе мы попытаемся объяснить некото рые кажущиеся аномалии, наблюдаемые при сравнении стационарных и импульсных экспериментов.
Начнем с рассмотрения случая, когда имеется только магнитное поле Я 0, направленное, как обычно принимают, вдоль оси z; следовательно, Н = Н0. Рассмотрим систему
.координат, вращающуюся с угловой частотой w = —уН0, т. е. с ларморовой частотой, определяемой выражением (1.20). В этих условиях уравнение (1.37) сводится к Heff = = 0, а из уравнения (1.36) следует, что в этой вращающей ся системе координат М не зависит от времени. Фактически это лишь иная формулировка уравнения Лармора.
Теперь предположим, что, кроме Н0, имеется поле Нь перпендикулярное Н0 (т. е. в плоскости ху) и, как обычно, Hj вращается (в лабораторной системе) с частотой ш (рад/с).
Тогда в системе, вращающейся с частотой со, |
|
Heff = Н0+ to/т + Hj. |
(1.38) |
При резонансе фиктивное поле в точности компенсирует поле Н0, направленное вдоль оси 2, так что с М взаимодействует только поле Н1( лежащее в плоскости ху. Поскольку Ht вращается с такой же частотой, что и система координат, то мы можем произвольно предположить, что Ні направ лено вдоль вращающейся оси х, обозначаемой здесь х '. Тогда из уравнения (1.36) следует, что во вращающейся истеме М прецессирует вокруг оси х', как это показано
а рис. 1.3. Из уравнения Лармора следует, что угловая
Основные понятия ЯМ Р 31
z '
Рис. 1.3. Поворот (прецессия) М вокруг Hi во вращающейся си стеме координат н а я / 2 или я рад (90°-ный и 180°-ный импульсы соответственно).
а — поворот ядерных моментов и макроскопической намагниченности на угол 0 и появление М у Ч 6 — расфэзирование ядерных моментов под влиянием спин-спнновой
релаксации и неоднородности магнитного поля и соответственно уменьшение М у < ; в — уменьшение М у ' практически до нуля; г — возвращение М г > к равновесному
значению Л(0.
частота прецессии относительно оси х' равна уН ѵ Посколь ку Hi варьирует примерно от 0,1 мГс (т. е. ІО-8 Т в единицах Международной системы) в стационарных экспериментах
32Глава J
свысоким разрешением до 100 Гс (или 10“2 Т) в некоторых импульсных исследованиях, то частота прецессии для про тонов лежит в диапазоне от 3 до 3- 10е рад/с. Угол Ѳ, на ко торый повернется М в ходе прецессии за время /р, дается выражением
Ѳ = 7#і^р (рад). |
(1.39) |
В гл. 2 мы увидим, что это основное соотношение для при менения импульсных методов. (Заметим, что движение М в лабораторной системе довольно сложно — это наложение быстрой прецессии вокруг Н0 и значительно более медлен ной — вокруг Hj.)
Выясним теперь, что произойдет, если поле Н£ будет приложено вдоль оси х' достаточно долго, чтобы вектор М (или, что то же, система ядерных спинов) успел повер нуться на угол Ѳ в сторону оси у '. Сразу после выключения Н£ картина будет такой, как показано на рис. 1.4, а. Пос кольку вначале движение моментов в плоскости х!у' было некогерентным, то и компонента макроскопического момен та М в этой плоскости была равна нулю. В результате по ворота моменты оказываются ориентированными таким образом, что появляется компонента момента М, направ ленная вдоль оси у '. В результате естественных процессов обмена энергией между разными ядрами моменты в плос
кости |
х'у' |
начинают расходиться, как показано на |
рис. |
1.4, б. |
Поэтому наблюдается спад М„■ с постоянной |
времени Т2. Поскольку магнитное поле не является идеаль но однородным, ядра в разных частях образца оказываются в несколько различающихся полях Н0 и, следовательно, прецессируют с немного разными частотами: одни ядра прецессируют быстрее, чем вращается система координат, другие — медленнее. Этот процесс вызывает также спад М//-; в результате Mÿстремится к нулю с постоянной вре мени Т2*, определяемой формулой (1.11). По мере обмена энергией между ядерными моментами и их окружением происходит спин-решеточная релаксация, в результате которой ядерные моменты постепенно возвращаются к на правлению оси г' , как показано на рис. 1.4, в. Таким об разом, MZ' возвращается к своему равновесному значению М 0с постоянной времени Т£. Из рис. 1.4, г ясно, что к тому времени, когда моменты возвращаются в исходное состоя-