Файл: Сысоев, А. Н. Гидродинамика сжимаемой жидкости учеб. пособие.pdf

мощью так называемого гармонического анализа, или раз­ ложения в ряд Фурье. Это математический метод разложе­ ния сложного колебания на его спектральные компоненты. Сложное колебание как функцию времени часто называют функцией во временной области, тогда как соответствую­ щий спектр называют функцией в частотной области. С помощью методов гармонического спектрального анализа можно преобразовывать данные из одной области в другую. В гл. 4 мы применим преобразование Фурье, чтобы опреде­ лить частоты молекулярных вращений, характерные для типичных хаотических молекулярных движений. В гл. 5 преобразование Фурье используется для определения ха­ рактеристических частот и интенсивностей спектра ЯМР по временной реакции (интерферограмме) системы ядерных спинов на ВЧ-импульс.

Как известно, функцию f(t) обычно можно представить

В учебниках математики [11] показывается, что это разло­

[т. е. /(—t) = f(t)], то все Вп равны нулю, и в формуле ос­ таются только косинусы. Если fff) антисимметричная, или нечетная, функция [т. е. /(—t) — —/(/)], то остается толь­ ко ряд по синусам. Асимметричная функция общего вида

38 Глава 1

определяется полным выражением (1.45). На рис. 1.6 по­ казано представление простой прямоугольной функции рядом Фурье по синусам; видно, что включение в ряд все большего числа членов дает все лучшее приближение к заданной функции.

Возможность выражать функцию в виде ряда Фурье из синусов и косинусов с частотами 1/2T, 2I2T, 3/2Т и т. д. приводит к мысли описывать функцию просто набором коэффициентов при последовательных членах ряда. Тогда о функции, в разложении которой коэффициенты A it А 2, А3 велики, а А 30, А31, ... малы, говорят, что она содержит большой вклад от низкочастотных компонент Фурье и ма­ лый вклад от высокочастотных. Внимательное изучение рис. 1.6 показывает, что высокочастотные компоненты обес­ печивают быстрое нарастание, необходимое для аппрокси­ мации функции типа прямоугольной, так что для функции такого типа требуется широкий диапазон компонент Фурье. Поскольку истинные частоты компонент пропорциональны 1/27", уменьшение длительности (или периода) прямоуголь­ ных колебаний также ведет к увеличению вклада высокочастотных компонент.

Пример прямоугольного колебания имеет непосред­ ственное отношение к импульсным методам, так как импульс . генерируется путем быстрого включения ВЧ-генератора, так что огибающая мощного ВЧ-сигнала, поступающего на образец, очень близка к форме положительной полувол­ ны на рис. 1.6. Если генератор работает непрерывно, как в обычном ЯМР-эксперименте, то на образец воздействует только основная частота ѵ0. Благодаря быстрому включению генерируются компоненты Фурье, которые добавляются (или вычитаются) к основной частоте, и на образец дейст­ вует целая полоса частот, приблизительно лежащая в диа­ пазоне ѵ0± 1//р, где /р— длительность импульса.

Когда мы фактически проводим математические опера­ ции спектрального анализа, то нам удобнее иметь дело не *- с рядами Фурье, а с соответствующими интегралами, в ко­ торых снято ограничение на область определения входящих

лах. В этом случае удобно определить преобразование Фурье от /(/) следующим образом:

Основные понятия ЯМ Р 39

^'Здесь со — угловая частота (со = 2яѵ), і — У —1. Можно показать [11, 12], что верно и обратное соотношение

—со

Вэкспоненциальную функцию от мнимого аргумента в формулах (1.46) и (1.47) входят и синус- и косинус-компо­ ненты. Можно ввести также раздельные синус-преобразо­ вание Фурье

Г л а в а 2

Свободная индукция и спиновое эхо

В этой главе мы рассмотрим поведение спиновой систе­ мы, подвергнутой воздействию одного или нескольких ВЧ-импульсов. Мы будем считать, что ВЧ от передатчика включается и выключается так быстро, что огибающая ВЧколебаний во время импульса имеет прямоугольную форму. Примем также, что длительность импульса /р мала по срав­ нению с Ті и Т2, так что релаксация за время /р не проис­ ходит. (Как мы увидим в гл. 3, часто используются импульсы длительностью всего несколько микросекунд, так что эти требования удовлетворяются без труда.) С помощью фор­ мулы (1.39) можно найти угол, на который повернется М под действием заданного импульса, и мы будем обычно ха­ рактеризовать импульсы как 90°-ный (тс/2), 180°-ный (тс) и т. д. Здесь мы будем рассматривать только ВЧ-сигнал, возникающий поем выключения импульса. Поведение сис­ темы во время импульса мы исследуем в гл. 6.

2.1. • Спад индуцированного сигнала (СИС)

Пусть вдоль оси х' в системе координат, вращающейся с частотой ВЧ-поля, приложен 90°-ный импульс. По оконча­ нии импульса намагниченность М направлена точно по оси у', как показано на рис. 2.1, а. Построение спектромет­ ра обычно таково, что в нем регистрируется сигнал, наве­ денный (индуцированный) в катушке, расположенной вдоль неподвижной оси х или у (см. гл. 3); поэтому интенсивность наблюдаемого сигнала определяется величиной Мху. Этот наведенный сигнал называют-сигналом свободной индукции, поскольку ядра прецессируют «свободно» в отсутствие при­ ложенного ВЧ-поля. По мере развития поперечной релак-

Свободная индукция и спиновое эхо 41

сации сигнал уменьшается (спадает). В идеально однород­ ном поле постоянная времени спада была бы равна Т2; однако фактически -сигнал свободной индукции спадает с характеристическим временем Та*, которое часто опре­

ния (1.11).

На рис. 2.1, г показан чисто экспоненциальный спад сигнала, который получается, если частота ВЧ-импульса в точности равна резонансной частоте единственного типа ядер в образце. Этот спад дает непосредственную меру уменьшения Мху, поскольку обычно в спектрометре ис­ пользуется детектор, в котором фаза опорного сигнала свя­ зана с фазой ВЧ-сигнала (гл. 3). Таким образом, хотя реги­ страция сигнала производится в отсутствие непосредствен­ ного воздействия ВЧ-импульса (т. е. после импульса) на

Рис. 2.1.

а — 90°-ный импульс вдоль оси х ’ поворачивает М от равновесного положения до совпадения с осью у ' ; б — спад М при расфаэировании магнитных моментов; в— входной сигнал — 90°-ный импульс, соответствующий а; г — экспоненциальный спад

индуцированного сигнала, соответствующий б .

ференции Мху с опорным сигналом вследствие того, что они попеременно то совпадают по фазе, то расходятся. Типич­ ный график для этого случая показан на рис. 2.2; он ана­ логичен биениям («виглям»), наблюдаемым в обычном спек­ тре ЯМР высокого разрешения.

Приведенные выше рассуждения можно распространить на случай системы, содержащей несколько сортов ядер од­ ного типа (например, протонов), различающихся по лармо-1

1 Здесь, вероятно, возникнет вопрос, каким образом вектор намагниченности может быть повернут до плоскости ху полем Нъ Имеющим частоту, не равную резонансной. Мы ответим на этот вопрос в гл. 5.

44 Глава 2

импульсов 180°, т, 90°, но с другим значением т, то можно найти скорость спада M z, как показано на рис. 2.3. Диа­

Это и есть функция, построенная на рис. 2.3. На прак­ тике выражение (2.2) используется в преобразованном виде

г'

в

о

'■ н у л ь

Рис. 2.3. Измерение Ті с помощью-импульсной последовательности

в — строится зависимость от т начального значения индуцированного сигнала после

90°-ного импульса, которое пропорционально М в момент времени т. Для построе­ ния каждой точки нужна своя последовательность 180°, г, 90°. Стрелкой отмечена точка, соответствующая случаю, показанному на схеме б .