Файл: Пенфилд, П. Энергетическая теория электрических цепей.pdf

П. ПЕНФИЛД, Р. СПЕНС, С. ДЮИНКЕР

ЭНЕРГЕТИЧЕСКАЯ

ТЕОРИЯ

ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ

ЦЕПЕЙ

Перевод с английского В. К. Андреолетти Под редакцией проф. В. А. Говоркова

«Э Н Е Р Г И Я»

МОСКВА 1974

6П2.1 П 25

УДК 621.372.2

Г5

•Ч/ . .5-<?r Ч. Уі

74-

Пенфилд П. и др.

П25 Энергетическая теория электрических цепей. Пер.

сангл, под ред. проф. В. А. Говоркова. М., «Энер­ гия», 1974.

152 с. с ил.

Перед загл. авт.: П. Пенфилд, Р. Спенс, С. Дгаинкер.

В книге изложены вопросы применения теоремы Телледжена, объединяющей в единое целое несколько десятков новейших теорем теории электрических цепей. Простота и общность теоремы делают ее привлекательной, а способность обобщать известные результаты и при­ водить к новым указывает на ее научно-исследовательскую ценность.

Книга предназначена для научных работников, аспирантов н пре­ подавателей вузов.

Paul Penfield

Robert Spence

Simon Duinker

Tellegen’s theorem and electrical networks

The M. I. T. Press, Cambridge, London, 1970

© Перевод на русский язык, издательство «Энергия», 1974 Г.

ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ АВТОРОВ

Теорема Телледжена необычна тем, что она бази­ руется исключительно на законах Кирхгофа и топологии цеп.и. Эта теорема применима ко всем электрическим цепям, которые подчиняются законам Кирхгофа, неза­ висимо от того, линейные они или нелинейные, незави­ симые от времени или зависимые, обратимые или необ­ ратимые, пассивные или активные, гистерезисные или негистерезисные, однозначные или многозначные. Пита­ ние цепей может быть произвольным — синусоидальным, экспонентным, периодическим, в переходном режиме или случайным по форме. Начальные условия также произвольны. Если принять специфические предположе­ ния об элементах цепи, ее питании и начальных услови­ ях, то теорема Телледжена сводится или приводится ко многим другим полезным теоремам теории цепей. Доказа­ тельства посредством этой теоремы часто относительно просты и почти всегда указывают путь к обобщениям..

Начиная с Оливера Хевисайда {Л. 67, 69, 70] многие знали о смысле того, что называется теперь теоремой Телледжена. Профессор Б. Д. X. Телледжен из науч­ но-исследовательской лаборатории Филипса в Эйндхове­ не (Нидерланды) был первым, .кто посвятил этой идее полный научный доклад і[Л. 154] и указал на ее полез­ ность и общность. С того времени на теорему еще не обращали должного внимания. Едва ли найдется ка­ кая-либо базисная теорема в теории цепей, которая не могла бы быть доказана с помощью теоремы Телледже­ на. Простота и общность теоремы делают ее педагоги­ чески привлекательной, а способность обобщать извест­ ные результаты и приводить к новым указывает на ее научно-исследовательскую ценность. Поэтому теорема Телледжена должна быть на вооружении всех работаю­ щих в областях проектирования и теории электрических цепей.

4

ГЛАВА ПЕРВАЯ

ВВЕДЕНИЕ

В каждой области науки появляется время от вре­ мени теорема исключительного значения и многосто­ роннего применения, которая проста, имеет общий ха­ рактер и помогает выводу уже известных результатов, а также указывает пути к новым результатам. В теории цепей к этому типу .принадлежит теорема Телледжена. Мы надеемся, что данная книга, носящая прежде всего учебный характер, но все же содержащая и некоторые новые результаты, будет стимулировать более широкое применение этой теоремы.

В анализе цепей обычно применяются три типа урав­ нений: одно из них вытекает из первого закона Кирх­ гофа, который гласит, что в каждый момент времени ток, втекающий в каждый узел цепи, равен нулю. Дру­ гие вытекают из второго закона Кирхгофа, который гла­ сит, что в любой момент времени сумма напряжений любого контура равна нулю. Третьи возникли на основе конститутивных законов элементов; примерами могут служить закон Ома для сопротивлений и соотношение между зарядом и напряжением для конденсаторов. В общем случае решение задач теории цепей требует одновременного применения уравнений всех трех типов совместно с ограничениями, налагаемыми начальными условиями и подачей питания на входы или выходы це­ пи. Каждый из законов Кирхгофа сам по себе нужен, но не достаточен для установления поведения цепи. Ре­ шение соответствует действительному положению вещей только тогда, когда оба комплекта законов Кирхгофа применены к конститутивным законам, начальным усло­ виям и питанию на входах.

6

С другой стороны, теорема Телледжеиа рассматри­ вает напряжения, которые удовлетворяют второму зако­ ну Кирхгофа, и токи, которые удовляетворяют первому закону Кирхгофа, «о не обязательно связанные с кон­ ститутивными зонами цепи. Таким образом, напря­ жения и токи, которые появляются в теореме Телледжена, не обязательно должны существовать в данной цепи.

Необычность теоремы Телледжеиа заключается в том, что для ее доказательства применяются только оба закона Кирхгофа. Теорема сохраняет силу незави­ симо от рода элементов или питания цепи.

Современный интерес к нелинейным и зависящим от времени цепям придал теореме Телледжеиа большое значение, так как она является одной из основных тео­ рем, которые применяются к цепям таких видов.

Много самостоятельных выводов и дискуссий насчет теоремы Телледжеиа появилось до и после публикации им своей теоремы в 1952 г. Киши и Кида дали «теорему консервации» (1967— 1968 гг.), которая имеет много ха­ рактерных черт теоремы Телледжеиа, применяется ана­ логичным образом для всех практических целей и явля­ ется как бы ей равноценной ![Л. 81, 82]. Они использо­ вали свою теорему для получения некоторых результа­ тов, приведенных в данной книге. Еще раньше теорема была предложена Боттани и Сартори [Л. 17, 18 и 137].

теореме Телледжеиа. На год раньше Ботт (1949 г.), а также Ботт и Даффин (1953 г.) формулировали теорему в строгой математической форме, в сущности так, как это было выполнено ранее Вейлем ][Л. 15, 16, 168]. При­ мерно на 15 лет раньше Постумус и Дума (1936 г.) при­ меняли некоторые специальные случаи теоремы Телледжена в исследовании устойчивости частоты вибраторов [Л. 128], а в начале столетия Донати, Вильберфорс, Скалицкий и Валлот использовали многие аналогичные концепции при изучении свойства обратимости [Л. 43— —47, 147, 164, 169.].

Первые выводы и утверждения, сходные с теоремой Телледжеиа, были сделаны неправильно понятым ге­

7

использовал эту теорему только для одной цели (вывод теоремы о минимуме тепла |[Л. 67] *.

Никто из ранних авторов не указал на многосторон­ ность и общность теоремы, они ее попользовали или для специфической цели, или же давали ей математическую формулировку, не изучая 'Применений. Б. Д. X. Телледжен (1952— 1953 гг.) был первым, кто отстаивал теоре­ му как полезную саму по себе и посвятил полный науч­ ный доклад ее доказательству и применимости [Л. 154, 155]. С этого времени она стала известна как теорема Телледжена, и современные авторы рассматривают этот факт как подтверждение признания значимости теоре­ мы, несмотря на то, что он не был первым, кто вывел теорему или использовал ее для специальной цели.

Теорема Телледжена дискутируется по крайней ме­ ре в семи учебниках (руководствах): Боттани и Сарто-

ри (1956 г.) [Л. 17]; Ньюстеда (1959 г.) [Л. 115]; Бозе и Стевенса (1965 г.) [Л. 14]; Круца и Ван Валкенбурга

(1967 г.) [Л. 28]; Дезоер и Ку (1969 г.) [Л. 38]; Рорера (1970 г.) [Л. 133]; Спенса (1970 г.) [Л. 150]; однако она редко применялась для доказательства новых результа­ тов. Надеемся, что эта книга будет содействовать боль­ шему ее применению. В последних обсуждениях теоремы участвовали Бордевик (1956 г.) [Л. 13], Вольта (1962 г.) [Л. 161], Брейтон и Мозер (1964 г.) (Л. 20], Вейнберг

(1965 г.) [Л. 167], Дюинкер (1968 г.) [Л. 56], Дюинкер и Пенфилд (1970 г.) [Л. 126] и др.

1 Он писал (в обозначениях данной книги): „Хотя мы и получаем SpUptp = Sauo іа благодаря законам Джоуля н Ома и закону сохранения

энергии, тем не менее это уравнение вполне независимо от закона Ома и справедливо для любого случая распределения токов в про­

водниках, согласующегося с тем же питанием '(токами) на зажимах. Это справедливо, котда ц (на первом входе) делится любым спо­ собом между 'Проводниками, 'Присоединенными к первому зажиму; і2 (на втором входе) делится любым способом между своими про­ водниками, конечно, за исключением того, что в проводе (сопро­ тивлении), соединяющем второй и первый зажимы, мы не изменяем уже фиксированного тока и так далее до конца. Каждый провод имеет два зажима, следовательно, для взятого в отдельности соеди­ нения проводом, скажем входа 1 с входом 2, мы имеем Щіі2+И2І2і= = (и,—и2)іі2= и ігілг '(здесь н]2 и щ — напряжение и ток в ветви).

Распространяя на все проводники, мы получаем: 2рирір -- Ялиа іа. При надлежащем распределении в соответстпнии с законом Ома мы будем иметь также: Sp«p('p == Еа/?а і2а согласно закону сохранения энер­ гии, имея в виду, что тепловые потери (рассеивание) для любого проводника равны Rai2

8

В гл. 2 данной книги дается наиболее общая фо(Шй теоремы Телледжена и доказывается с помощью зако­

нов Кирхгофа. В дополнение представлены две слабые формы теоремы Телледжена, 'которые обладают полез­ ными свойствами. В слабых формах теорема применима к напряжениям, токам и волновым переменным (пере­ менным рассеивания). Применение волновых перемен­ ных в теореме Теледжена рассматривается как новость1.

В гл. 3—7 теорема Телледжена применяется для получения и развития известных теорем теории цепей. В большинстве случаев доказательство с помощью тео­ ремы Телледжена проще других, и практически во всех случаях она более ясно обрисовывает виды цепей, к ко­ торым применимы различные теоремы. Несмотря на то, что мы случайно расширили область обоснованности из­ вестных теорем,- мы не преследовали этой цели; лишь подчеркивалось, каким образом используется теорема Телледжена. Различные теоремы мало или совсем не дискуссируются сами по себе. Нет необходимости чи­ тать гл. 3—7 в приведенном порядке; читатель, если он хочет, может пропустить какую-либо из них без потери связи. В гл. 8 мы сжато показываем распространение теоремы Телледжена на другие физические системы.

ГЛАВА ВТОРАЯ

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ ТЕЛЛЕДЖЕНА

2-1. УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

Топология цепи устанавливает расположение узлов и ветвей. Топология может быть задана без ссылки на то, из каких элементов (сопротивлений, конденсаторов и т. д.) состоит цепь. Каждый двухзажимный элемент за­ нимает одну ветвь, а многозажимные элементы, как-то транзисторы, идеальные трансформаторы, гираторы и взаимные индуктивности, занимают более одной ветви. Для примера на рис. 2-1 показано топологическое изо­ бражение транзистора с тремя узлами и двумя ветвями. Всегда имеется соответствие между ветвями и элемента-

1 Киши и Кида (1967 г.), формулируя некоторые свои резуль таты в функциях волновых переменных, в тесоеме Телледжена их не применяли [Л. 81].

9