Файл: Прикладная математика [сборник статей]..pdf

тельно группы перестановок

.

Пусть

В п = Х^х ... *Хп -

произведение п

банаховых

прост­

ранств; X /

= Х [ ( а .. ,

х Х {т -

произведение некоторых т

ба­

наховых пространств

( i - i X , . , . , n )

.

Про­

странства X[j-

и X t 'j' , имеющие одинаковые вторые

индексы,

предполагаются идентичными. Рассмотрим на/?я

динамическую си­

стему типа

п *т

'

•

1,хг, ..., х л - п

(/= i,2 ,

(I)

инвариантную относительно” группы

перестановок *?п векторов

хи , . . , л л .

здесь х,-е< ?Л ; h~T;

Г -^о»00)*

h -Яп*Т-~Вл - векторный нелинейный

оператор;

Qn -

множество, плотное

в

Зл

» Аналитические

свой­

ства

операторов/у

будут

заданы нике.

где h r -

произвольный

элемент

группы перестановок-^1]

(см.ни­

к е ),

'

2 . Операторы / 1 ,£ г ,...,£п

связаны соотношением

/ i f e - l

^x it

>*п); 0 =

/у (*Т

>хп у 0 (■*'!,2 ,..,,я ), (3)

где

С0 ,С±, ... ,C n i 1

-

элементы группы циклических подстано­

вок

С(п),

причем С0=£

-

единичный

элемент,

1

2

. . .

П

-

I

л \

2

3

. . .

п

I /

Из теории инвариантов известно, что с симметрической

группой

,

определенной

на перестановках переменных

Лу,жг , . . . , ^

,

может

быть

связан

полиномиальный базис

бу ( х 1‘, х г , . ..

, х^)(/-1,1,-4).

йнвариантыбу являются однород­

ными формами степени у

.

Прия г =1

инварианты б /

более из­

вестны как элементарные симметрические многочлены

б ,

= ЛУ + . . . .

+Лу,

^=-V 1Jr2. + .... +X^vXt

,

... *

б { =Х1Х1, ..^х( .

Пусть

(

/

=

-

группа перестановок

перемен­

ных

x i r . X j -

i , лу+(,

. . . ,

хл

.

Полиномиальные

базисы

этих

групп обозначим

б ‘f ( £

= 1 , 2 , . . . , л ;

у = 1 ,2 , ; .. , л - 1

) .

Если

операторы /у

являются

полиномами

(целыми функциями) переменных

дг4, . . . , Х /_1 ,

х у +1, . . , , л я

,

ю ,

применяя к выражению

(2)

основ­

ние

(3 ),

записываем систему (I) в форме

лу = $ ( * у ; б (1/ , , . . . , б £

;1 ; 0

(4)

где

ip

- так

называемый базовый

оператор.

Очевидна

справедли­

вость тождеств

f j ( x i , x l , . . , , x n ; t ) * y { x ; ; 6 ? \ . . . , G ( 4 ; t )

( / - 1 . 2 ... , Я ).

.

.

|Л_1

ве $f} ♦

Для дальнейшего

изложения

потребуется

лемма.

Л е м м а .

Инварианты

доцускают представление

б (; ;= б '/ U

y ;

© ^ .. .. б у ) ( /= 1 ,

J - 1...... л -1 ). (5)

Справедливбсть леммы вытекает из возможности однозначного

продолжения

(расширения)

инварианта 6 y Jдо инварианта

бу ( / = 1 ,2 , .

Теперь

подставим в

выражение (4) соотношения (5) и вве­

.

=

; \ б 1, . . . , б ач. 1

-,t)

(;' = 1 ,2 , ... , . л ) .

(6)

Оператор ц> будем также называть

базовым. Связь

между

операторами тр

и • гр задается

соотношениями

(4 ), (5 ).

Возникает необходимость

в

рассмотрений

инвариантов (3 /

степени

у

( 1

^ у ^ л - 1 ) ,

зависящих от различного

числа пе­

ременных п

(при фиксированном тп).

Чтобы различать

такие

стем П . С этими обозначениями

система (б)

приобретает вид

х Д я ]

=ф

, 6 n A [ n ] : t )

( /=

1 ,2 ,... ,я ) .

(7)

О п р е д е л е н и е .

Система (I)

обладает

показателем

связности

К \ 1 4

к 4 п ) ,

если

в

симметрической

записи

(7)

она имеет

вид

xi[n] = ф (х х-[/7],б 1й , . . . , б ^

. 1[л]';

t), ( / = 1 , 2 , . . . , л \

(8)

т .е . система к

-

связна,

если

старший инвариант,

входящий

в выражение (7)^ имеет степень к -1

. Оператор

Ц>

, входящий

в систему

(8),

будем называть

-связным

оператором.

С любым к -связным тп-мерным оператором^

можно

со­

поставить

класс

симметричных систем,

включающих в

себя

различное

число

подсистем

л .

Очевидно,

что

при

заданном

к

-связном

операторе тр

минимально

возможное

число подсистем

п

не может быть

меньше

к

, так что весь

класс

задается

соотношениями