Файл: Пенфилд, П. Энергетическая теория электрических цепей.pdf

мй, iio для многозажимных элементов оно не является соответствием «одни к одному».

Правило знаков для напряжения и тока каждой вет­ ви взято так, что произведение напряжения и тока равно

правление для тока в элементе ветви, напряжение на за­ жимах которого положительно.

Вход цепи состоит из пары зажимов, выведенных на­ ружу, к которым могут быть приложены напряжение и ток. Правило знаков для напряжения и тока на входе показано на рис. 2-3.

Для обозначения внутренних ветвей цепи будем при­ менять греческие буквы, а для обозначения входов ■— латинские (рис. 2-4). Для тока и напряжения будем

использовать строчные буквы і и и, чтоб обозначить пе­

ременные во временной области; для обозначения частот­ ных переменных применим прописные буквы / и U.

10

2-2. ЗАКОНЫ КИРХГОФА

Рассмотрим цепь без входов, имеющую b ветвей, nt

узлов и s отдельных частей. Первый закон Кирхгофа устанавливает для токов nt—5 ограничений, так что толь­ ко b— iii + s токов могут быть заданы независимо, после

чего все оставшиеся токи ветвей могут быть найдены из линейных зависимостей вида

где /р — независимые токи в количестве b — щ -\- s\ В ^а—

или указателя связок в цепи1.

Второй закон Кирхгофа может быть выражен в функ­ ции от . Для каждого произвольно выбранного тока

существует один замкнутый путь в пределах остальной части цепи, не включающий другой из независимых то­ ков. Таким образом, имеются b—iii + s таких контуров,

для каждого из которых может быть написан второй за­ кон Кирхгофа. В результате

Данная форма законов Кирхгофа удобна для доказа­ тельства теоремы Телледжена. Так как конститутивные законы элементов не были использованы, то цепь можА содержать в себе многозажимные элементы. Можно на­ писать законы Кирхгофа и для цепей с входами в форме (2-1) и (2-2) при условии, что каждый вход временно рассматривается как ветвь, и приняв в расчет, что услов­ ное направление тока входа противоположно направле­ нию тока ветви (сравните рис. 2-2 и 2-3).

2-3. ТЕОРЕМА ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ МОЩНОСТИ

Из (2-1) и (2-2) можно вывести простую теорему мощности. Приводится она здесь потому, что ее вывод сходен с выводом теоремы Телледжена. Умножим (2-1)

иа , тогда получим:

1 Читатели, которые недостаточно хорошо знакомы с этими вы­ ражениями законов Кирхгофа, могут справиться в стандартных учебниках, таких, как Гиллемина (1953 г.), Сешу и Балабаниана

(1959 г.) [Д, 63, ИЗ].

11

Если просуммировать такие выражения для всех вет­ вей а, то по уравнению (2-2) правая сторона исчезнет и получится:

а. Таким образом, (2-4) констатирует, что сумма мгно­

венных мощностей во всех элементах равна нулю, — ре­ зультат, согласующийся с принципом сохранения энер­ гии. Приведенное здесь доказательство имеет силу неза­ висимо от природы элементов или питания цепи.

Если цепь будет иметь входы, подобный вывод при­ водит к следующему выражению:

(2-5)

Следовательно, в каждый момент времени мощность, которая вводится в цепь через ее входы, распределяется среди элементов цепи без потерь.

2-4. ТЕОРЕМА КВАЗИМОЩНОСТИ

Обобщение (2-5) может быть выполнено для цепей

•в двух состояниях. Под разными состояниями цепи име­ ются в виду токи и напряжения, соответствующие раз­ ным условиям питания, разным по составу элементам или разным величинам элементов или же разным началь­ ным условиям, но при одной и той же топологии. Под двумя состояниями цепи могут подразумеваться действу­ ющие состояния двух разных цепей, которые имеют оди­ наковую топологию. Законы Кирхгофа применимы к каждому состоянию. Таким образом, (2-1) и (2-2) по­ кажут, что

( 2-6)

(2-7)

где один штрих и два штриха относятся к двум состоя­ ниям.

Тот же прием, который привел (2-1) и (2-2) к (2-5), теперь приводит (2-6) и (2-7) к

( 2- 8)

12

Обратим внимание, что токи і'ѵ и і'аподчиняются пер­

вому закону Кирхгофа, но не обязательно соответствуют любой системе действующих токов в сети, потому что соответствующие напряжения могут не подчиняться вто­ рому закону Кирхгофа *. Аналогично напряжения и"р и иа подчиняются второму закону Кирхгофа, но в общем

случае не соответствуют какой-либо системе токов, кото­ рые подчиняются первому закону Кирхгофа. Таким об­ разом, теорема Телледжена рассматривает токи и напря­ жения, которые не обязательно существуют в цепи, по крайней мере в одно и то же время. Такие произведения, как і'ри"р, не являются мощностью и называются квази-

мощиостыо.

Теорема квазимощности [уравнение (2-8)] является формой, первоначально данной Телледженом (1952— 1953 гг.) и известной с тех пор под его именем. Она мо­ жет быть использована для вывода многих теорем тео­ рии цепей. Она является специальным случаем более об­ щей формы, приведенной ниже (2-20).

2-5. ПРИМЕР

Теорема квазимощности [уравнение (2-8)] примеча­ тельна тем, что оба состояния цепи не должны быть обя­ зательно связаны друг с другом. Рассмотрим дляприме-

Рис. 2-5. К теореме о квазимощности. Типовая цепь с четырь­ мя внутренними ветвями и двумя входами.

с — схема цепи с неспецифнрованными элементами и пронумерованны­ ми ветвями и входами; б —топология этой сети с пронумерованными ветвями и входами.

ра цепь на рис. 2-5. Эта цепь имеет два входа и четыре внутренние ветви. Два возможных состояния этой цепи показаны на рис. 2-6 и 2-7. Оба состояния имеют разные1

1 По этой причине они могут пониматься как ^виртуальные токи» и аналогично и"Р и и"а — как виртуальные напряжения.

13

состояния 1 на соответствующие токи состояния 2, мы найдем, что сумма произведений на входах 1 и 2 будет

равна сумме произведений в ветвях. Действительно, из табл. 2-1 видно, что каждая нз них равна 5,5 Вт. Эта квазимощность в 5,5 Вт не может быть истолкована как действительная мощность или как мощность рассеяния, тем не менее она подчиняется теореме консервации по (2-8). Подобным же путем мы можем умножить токи состояния 1 на напряжения состояния 2. Суммы на вхо­

дах и на ветвях составят по 100 Вт.

Доказать теорему квазимощности для данной спе­ цифической топологии легко. Первый закон Кирхгофа

а второй закон Кирхгофа заключает в себе условие, что для любого состояния (здесь обозначенного двумя штри­ хами)

не относятся обязательно к одному и тому же состоянию цепи. Действительно, они не нуждаются в каких-либо других соотношениях, кроме факта, что каждый подчи­ няется соответствующему закону Кирхгофа для цепи той же топологии. Запись теоремы квазимощности [уравне­ ние (2-8)] для этой топологии получается в виде

i'piu"pi+ i'ргЧ-"рг= + і'зіі"з+ іДмД. (2-13)

Легко подтвердить, что (2-9) — (2-12) включают в себя (2-ІЗ) без каких-либо суждений о конститутивных зако­ нах элементов. Просто (2-9) умножается на и"рі, а (2-10) на и"рг, и результаты складываются. Затем

используются для упрощения (2-11) и (2-12).

2-6. ДРУГИЕ ВЫВОДЫ ТЕОРЕМЫ КВАЗИМОЩНОСТИ

Полезно рассмотреть более чем один вывод приве­ денного результата; многие могут предпочесть приведен­ ные ниже два вывода теоремы квазимощности, потому что они менее математичны и более интуитивны.

15