Файл: Пенфилд, П. Энергетическая теория электрических цепей.pdf

Для первого вывода рассматриваем одну систему то“ ков і'я и другую систему напряжений ия цепи без вхо­

дов. Не требуется их соответствия одному и тому же режиму питания цепи, и нет необходимости в какой-либо связи между ними, за исключением того, чтобы каждая подчинялась закону Кирхгофа для цепи одной и той же топологии. Выберем какой-либо узел цепи как базис­

ный 1 и найдем потенциалы е"7 всех других узлов отно­ сительно базисного. Здесь у есть индекс для щ узлов

сети. Эти потенциалы могут быть найдены однозначно, если и только если первоначальная система напряжений ветвей ы"аподчиняется второму закону Кирхгофа. Затем

для каждого узла у определяем, какие из ветвей к нему присоединены, и составляем сумму всех токов і ' а, про­

текающих в этих ветвях (в сумме проставляется знак плюс для тех токов, принятое положительное направле­ ние которых от узла у, и знак минус для тех, у которых

принято направление к узлу). Эта сумма представляет полный ток, вытекающий из узла, и в соответствии с пер­ вым законом Кирхгофа равна нулю. Теперь умножим эту

сумму на потенциал узла е" н прибавим к ней подоб­

ные произведения для всех других узлов цепи; обозна­ чим этот результат через 5.

В сумме 5 каждая ветвь представлена дважды, по одному разу для каждого из узлов, между которыми ветвь расположена. В одном из случаев ток ветви по­ является со знаком плюс, в другом — со знаком минус. Два выражения комбинируются, чтобы дать ток ветви, умноженный на разность потенциалов двух узлов, т. е. на напряжение ветви.

Таким образом, мы находим: S = £ * iaUaНо S по сво­ ему строению есть сумма членов, каждый из которых равен нулю; следовательно, 5 = 0, и мы доказали теорему квазимощности. Таким же путем проводится доказатель­ ство для цепей с входами.

1 Если цепь имеет более чем одну отдельную часть, выбор про изводится по одному базисному узлу для каждой части.

16

Повременно. В самом деле, это доказательство сохранит силу, если вместо потенциалов е мы будем приписывать

узлам какие-либо другие количества, например ежегод­ ное количество осадков в различных частях света или цены на фондовой бирже.

напряжения в каждую ветвь дерева с напряжением, рав­ ным и"в; это значит, что мы сделаем напряжения вет­

вей дерева в N' равными соответствующим напряжени­ ям в состоянии, обозначенном двумя штрихами в сети N.

Эти источники напряжения посредством второго закона Кирхгофа определяют напряжения между зажимами всех

Теперь подобным же образом поместим источник тока в каждую оставшуюся ветвь цепи N' с током, равным

і а- Таким образом, все токи и напряжения ветвей в цепи

что и является формулировкой теоремы квазимощности. Второй вывод теоремы иллюстрируется рис. 2-8.

2-7. ОПЕРАТОРЫ КИРХГОФА

Теорема Телледжена может быть обобщена при помощи операторов. Они вводятся так, что несколько теорем могут быть записаны одновременно. При выборе того или другого оператора общая форма приводит к бо­ лее специализированным уравнениям. Мы рассмотрим образование комплектов токов в ветвях посредством оператора Л, действующего на действительные или вир­ туальные токи ветвей цепи. Если результат есть ряд то­ ков, которые подчиняются первому закону Кирхгофа, тогда мы назовем Л токовым оператором Кирхгофа. На­

пример, если комплект токов в ветвях {іа (і)} подчиня­

ется первому закону Кирхгофа, то тогда и их производ­ ные по времени тоже ему подчиняются. Таким образом, одним примером токового оператора Кирхгофа является производная по времени; другим примером будут преоб­

разования Фурье; если {іа (I)} подчиняется первому за­

кону Кирхгофа, то ему также подчиняется и комплект преобразований Фурье {/J«)}.

Аналогично мы будем называть оператор Л опера­ тором напряжения Кирхгофа, если он дает комплект на­ пряжений ветвей, которые подчиняются второму закону Кирхгофа, когда действует на систему напряжений, под­ чиняющихся этому закону. Мы будем применять термин оператор Кирхгофа, имея в виду или оператор напряже­ ний Кирхгофа или токовый оператор Кирхгофа в зави­ симости от того, какой оказался подходящим в контексте. Многие операторы Кирхгофа (включая примеры, приве­ денные выше) являются и токовыми операторами и опе­ раторами напряжений, но это не всегда так.

18

В примерах, упомянутых выше, оператор Кирхгофа (чтобы быть конкретней, рассмотрим оператор напряже­ ний Кирхгофа) применяется отдельно к каждому (дей­ ствительному или виртуальному) напряжению ветвей. Но вообще операторы применяются ко всей системе на­ пряжений ветвей. Подходя, скажем, к Лмо, можно при­ нять в расчет напряжения в других ветвях с учетом того, как ветви взаимосоединены (т. е. с учетом топологии).

Примером оператора напряжений Кирхгофа, который зависит от топологии, является тот, который выбирает разности между квадратами узловых потенциалов для образования напряжений ветвей, которые подчиняются второму закону' Кирхгофа. В данном случае этот опера­ тор не является токовым оператором Кирхгофа.

Тем не менее многие из операторов, применяемых на практике, обладают тем свойством, что при подходе, ска­ жем, к ЛІ2 другие токи ветвей (действительные или виртуальные) и, із, h и т. д. игнорируются. Эти опера­

торы могут, однако, зависеть от других параметров, както от частоты, температуры и т. д. Докажем, что такие операторы должны быть линейными1. Из обратного

утверждения легко видеть, что все линейные операторы, которые действуют на напряжения или токи ветвей раз­ дельно, являются операторами токов и напряжений Кирх­ гофа. Большинство операторов, применяемых в этой кни­ ге, являются линейными.

Чтобы доказать только что высказанное утверждение, полагаем, что (га } есть система токов ветвей, которые подчиняются первому закону Кирхгофа:

Так как Л не зависит от топологии и игнорирует все токи, за исключением того, иа который он действует, его можно таким же образом применить к независимым то­ кам /р. Если Л является токовым оператором Кирхго­

фа, то, значит, первый закон Кирхгофа имеет силу, и мы получим:

При подстановке (2-15) в (2-16) мы получаем требую­ щееся условие:

1 Применение линейных операторов не ограничивает теорему линейными цепями.

димости, чтобы Л действовал линейно на комплексные числа; действительно, в пределах нашего понимания тер­ мина сопряженный комплекс есть линейная операция.

Хотя линейные операторы находят частое использо­ вание в применении обобщенной формы теоремы Телледжена, следует подчеркнуть, что имеется много полезных операторов Кирхгофа, которые не являются линейными.

потому что действие А на независимые токи /р не было

определено. Тем не менее, если А является токовым оператором Кирхгофа, тогда комплект токов {Аг'а} под­

чиняется первому закону Кирхгофа и может быть запи­ сан как произведение матрицы В?а иа ее собственный

ряд независимых токов. Это значит, что формула, по­ добная (2-16), действительна при замене А/р некоторыми

соответствую щими величин ами.

Некоторые примеры операторов Кирхгофа, из числа которых многие являются линейными операторами, при­ водятся ниже, в приложении 1.

2-8. ОБЩАЯ ФОРМА ТЕОРЕМЫ ТЕЛЛЕДЖЕНА

Пусть А' и А" будут два (возможно разные) опе­

ратора Кирхгофа!. Если А' линейный оператор, тогда эффект действия его на уравнение (2-1) будет:

Если Л' не является линейным оператором, факт, что он — токовый оператор Кирхгофа, показывает, что ряд

токов {Л'іа} подчиняется первому закону Кирхгофа и,

следовательно,, подчиняется уравнению, подобному (2-18), но с A ’jр, замененными на соответствующие ве­ личины. Аналогично, если А" является .оператором на-

1 Здесь будем называть Л' и Л" операторами Кирхгофа, предо­ ставляя читателям установить, что Л' является токовым оператором Кирхтофа, однако ему не обязательно быть оператором напряже­ ния Кирхгофа; в отношении Л" — наоборот.

20