Файл: Харитонов, В. В. Некоторые нелинейные задачи теплопроводности.pdf

ОТ РЕДАКТОРА

За последние годы при изучении теплопроводности твер­ дых тел и различных систем получено много теоретических и экспериментальных результатов, разработано и внедрено большое число оригинальных методик определения теплофизическйх характеристик. Бурное развитие техники, внедрение в промышленность новых материалов, в частности пластмасс и полимеров, требуют внимательного подхода к вопросам расчета температурных полей в самых разнообразных кон­ струкциях и деталях. Особенно актуально определение тепло­ проводности систем тел при наличии теплообмена излучением, сводящееся к решению нелинейных дифференциальных урав­ нений типа Эмдена—Фаулера.

В предлагаемой читателям книге рассмотрен ряд конкрет­ ных задач по расчету температурных полей в телах при нали­ чии излучения с боковой поверхности и показано, что наиболее общим методом решения такого рода уравнений является ис­ пользование разложения искомой функции в степенной ряд. Этот прием помог авторам получить аналитические выраже­ ния для уравнений типа Эмдена—Фаулера с помощью неко­ торых новых функций, частным случаем которых являются широко используемые функции Бесселя.

Необходимо отметить, что используемый математический аппарат не заслоняет физического содержания рассматривае­ мых задач, а разрабатываемая авторами теория обобщенных функций Бесселя является новым шагом в развитии общей теории специальных функций.

Л. Г. Шашков

ПРЕДИСЛОВИЕ

нелинейных дифференциальных уравнений теплопроводности. Это, естественно, и обусловило класс изучаемых уравнений, характерных для описания процессов распространения тепла в телах различной формы при наличии теплообмена .излуче­ нием. Такие уравнения, как правило, не имеют точных аналити­ ческих решений. В книге показано, что в ряде случаев задача теплопроводности может быть сведена к решению уравнения, названного нами по аналогии с бесселевскпмп уравнениями обобщенным уравнением Бесселя. Анализ решений, получен­ ных в виде степенных рядов, позволил определить их как обоб­ щенные функции Бесселя, частным случаем которых и явля­ ются широко используемые бесселевскпе функции.

Значительное внимание в книге уделено вопросам иссле­ дования новых функций на сходимость их рядов и единствен­ ность решения. Наличие аналитических выражений этих функ­ ций позволило авторам рассчитать таблицы их значений, кото­ рые, безусловно, будут полезны при решении различных инженерных задач, не только .теплофизических, сводимых к нелинейным дифференциальным уравнениям описываемого класса.

Авторы искренне благодарят академика АН БССР В. И. Крылова, члена-корреспондента АН БССР А. Г. Шашкова, доктора физико-математических наук А. И. Яблонского, чьи замечания в процессе работы над книгой способствовали улучшению .ее содержания. Приносят авторы свою благодар­ ность и всем сотрудникам, которые помогали в оформлении книги и ее подготовке к печати.

4

ГЛАВА I

НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ, СВОДИМЫЕ К НЕЛИНЕЙНЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ

УРАВНЕНИЯМ ВТОРОГО ПОРЯДКА ‘

Введение

Вопросы стационарной и нестационарной теплопроводно­ сти твердых тел различной формы, как одиночных, так п составных, рассматривались в многочисленных работах со­ ветских ([1—7] и др.) и зарубежных ([8—10] и др.) авторов. На основе решений, получаемых из задач по распространению тепла в составных телах, были предложены различные методы определения теплофизическнх характеристик ([11—16] и др.).

В ряде случаев рассматривались задачи распространения тепла без учета теплообмена. Как показано в работах [17— Г9], неучет теплообмена с боковой поверхности образца при определении теплофизическнх характеристик различных материалов может привести к существенным погрешностям. Кроме того, в большом круге задач именно теплообмен с окру­ жающей средой определяет характер распределения темпе­ ратурных полей [1,2, 18, 20, 21] в элементах конструкций, что существенно для оценки их работоспособности.

Известно [1—3], что задачи теплопроводности различных тел при наличии теплообмена излучением с боковой поверх­ ности относятся к классу наиболее трудно разрешимых, так как сводятся к отысканию решений нелинейных дифференци­ альных уравнений,'общей теории которых не имеется [22]. Поэтому обычно рассматривают задачи с конвективным теп­ лообменом, а в случае теплообмена излучением наиболее рас­ пространенным приемом является замена закона Стефана — Больцмана (7м) законом Ньютона (Р ), т. е. предполагается

где сп=ес0 — приведенная излучательная способность системы тел, аир — приведенный коэффициент теплообмена, Т0— темпера.тура среды, е — степень черноты. Такой прием позво-. ляет перейти к линейным дифференциальным уравнениям, частные решения которых отыскиваются либо в квадратурах [23], либо через специальные функции [24], как это продела­ но в работе [21]. Использование этого приема не может быть

5

рекомендовано во всех случаях, так как мы уже на первона­ чальном этапе вносим в решение погрешность и тем большую, чем больше разность Т —■Т0.

В некоторых частных случаях удается либо обойтись без интегрирования нелинейных уравнений [20], либо получить решения в виде сходящихся степенных рядов, представляю­ щих собой известные или вновь введенные функции; примером последних являются обобщенные функции Бесселя [25, 26].

Рассмотренный выше круг задач обычно решается в одномерной постановке. Это в равной степени относится к однослойным и многослойным конструкциям. Причем, как правило, рассматриваются случаи распределения тепла попе­ рек пакета пластин или по радиусу многослойных цилиндров

([1,3,27, 28] и др.).

Задача о распределении тепла в двумерном пространстве по однослойному цилиндру была рассмотрена в работе [18] и были получены условия, при которых двумерную задачу можно свести к одномерной. В частности, показано, что тепло­ обмен не нарушает температурного поля в центральных об­ ластях цилиндра, и оно развивается так же, как и в соответст­ вующих неограниченных телах, если отношение высоты ци­ линдра к диаметру не менее трех.

Таким образом, соответствующим выбором параметров си­ стемы всегда возможно свести двумерную задачу к одномер­ ной, либо учесть возникающие из-за двумерности полей по­ грешности. В соответствии с этим в дальнейшем все рассмат­ риваемые задачи будут решаться в линейной постановке, что не снижает общности получаемых результатов.

§ 1. Теплопроводность однородного тонкого излучающего стержня [20]

Вработах [3, 4, 29] показано, что распространение тепла

воднородном тонком, длинном, круглом стержне при наличии теплообмена конвекцией с боковой поверхности при устано­ вившемся процессе может быть представлено в виде

Т(Х) = Т0 + (ТН- Т 0)Х

(1 — п) ехр [— m (L — *)] + (1 Чг п) exp \m (L — х)] .. ..

2 [ch (mb) -f п sh (mb)]

•; Т н—температура в начальном се-

чении; a, aL— коэффициенты теплообмена боковой поверхности

стержня и торцевого сечения соответственно; — коэффициент теплопроводности материала стержня; Р = 2яг1 — периметр; F =

6

= лгі — площадь поперечного сечения; t\ —радиус стержня; L —длина стержня.

Если теплообмен от свободного торца мал, то можно поло­ жить aL — 0. Тогда п = О и получаем

Поскольку количество тепла, отданного в окружающую сре­ ду, равно количеству тепла, вошедшему через закрытый конец, то суммарный тепловой поток

стержня, прикрепленного одним концом к твердому телу и помещенного в камеру, из которой откачан воздух. Степень разрежения такова, что конвективный теплообмен между по­ верхностью стержня и средой отсутствует. Из твердого тела в стержень в единицу времени поступает некоторое количество тепла Q, которое передается вдоль стержня теплопровод­ ностью II отводится через поверхность излучением.

Будем считать, что температурные поля по сечению стерж­ ня и распределение температуры вдоль его осп постоянны, т. е.

стенок камеры. Кроме того, обозначим через сі коэффициент лучеиспускания боковой поверхности стержня, а приведенный, коэффициент системы стержень — камера через сп [29]:

При <В2^>соі будем иметь сп~Сі = еіСоЗдесь соі и <т>2— полные боковые поверхности стержня и камеры; с1{ — излучательная способность стенок камеры; е — степень черноты; с0 = 5,67Х ХІ0~8 вт/м2• град* — постоянная Стефана—Больцмана.

7

Количество тепла, протекающего через поперечное сечение стержня,

Знак минус в правой части уравнения поставлен потому, что при Т>Т0 тепловой поток вдоль стержня уменьшается вслед­ ствие лучеиспускания с боковой поверхности. В условиях ста­ ционарного режима это количество тепла равно

где Р—периметр стержня в сечении х\ dS= р / 1-----—

дифференциал криволинейной координаты поверхности [3].

Из (1-6) и (1-7) имеем (F = const)

( 1- 8)

dx2 XxF

Интегрирование уравнения (1-8) проводим при следующих граничных условиях:

dx x = L

Последнее условие говорит о том, что все тепло, дошедшее до конца стержня, отдается через торцевую поверхность.

Обозначим A = cnP/XiF — некоторый постоянный коэффи­ циент, характеризующий геометрию и материал стержня. Двойное интегрирование уравнения (1-8) дает

f = / M ( f - rtr) +c‘ (М1>

8,