Файл: Харитонов, В. В. Некоторые нелинейные задачи теплопроводности.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 30.10.2024
Просмотров: 55
Скачиваний: 0
Тогда, используя условие (1-10), после несложных преобразова ний будем иметь
Р сп ,пЛ -тѵК 2спР / Ті |
(1-14) |
~ - T l T Ly |
|
c‘-TT(7W”, - TF (т |
|
Поскольку в этом случае справедливо утверждение (1-3), то из (1-13) с учетом условий (1-3) и (1-9) получим
dx /л*r=n—о V
и окончательно
C ,=
2 А \ Ц - - Т І Г П Сі =
Q2 |
2cnP |
( Tt |
2 Ri |
X J |
( - f - r t T , ) . |
X\F |
5 |
Приравнивая (1-14) и (1-16), будем иметь
Q |
(1-15) |
|
XxF |
||
|
||
|
(1-16) |
к = — |
(QlFf - cl (ТІ - |
Tt) |
F. (1-17) |
||
Tl |
ToT. |
rpb |
|||
2cRP |
~ - |
TtTL |
|||
|
|||||
Данное выражение можно использовать для эксперименталь ного определения коэффициента теплопроводности Ль если известен коэффициент лучеиспускания сп. Однако наиболее целесообразно таким образом определять коэффициент сп, если Xi определен каким-либо другим методом. При этом вы ражение (1-17) следует решить относительно сп« с і (сог^ссц).
Если предположить, что излучение через торец пренебре жимо мало по сравнению с потоком через боковую поверх ность (7'j,ä ;7'o), то соответственно получим:
X ^ Q V c J P ^ - T t T n )
и
сі = QI2XJFP |
Т\Тп). |
Приближенный закон распределения температуры вдоль поверхности стержня (вдоль его оси)' можно найти по (1-1) либо (1-2), если, согласно [1], линеаризуем (1-8) и предста вим его в виде [3]
dx2 |
= - а™Р - [Г (х) — Т0] , |
XtF L |
где апр = сп (Тп + Т0) (ТІ + То).
9
Для нахождения истинного закона распределения темпе ратуры воспользуемся методом неопределенных коэффициен тов, т. е. будем искать решение уравнения ( 1-8) в виде степен ного ряда. Для этого предварительно с помощью замены пере
менных Q—TjTb, |
y = L—х\ y = y/L\ z=yV Ä от ( 1-8) перейдем |
к безразмерному виду |
|
— 0 і — Ѳо. |
(1-18) |
dz2 |
|
Здесь и далее А = саРТь1-2І \ Р п Ѳ0= Т 0/Т j_. |
Граничные усло |
вия будут: |
|
при X = L у — 0 и z — О, |
|
при г = О Ѳ (0) = 1 и Ѳ' (0) = 0.
Равенство нулю первой производной на конце стержня соот ветствует условию отсутствия теплообмена на торце. Последнее может быть при условии TL = T0 или со4 = PL > F, т. е. Г /Р « L, и, следовательно, теплообменом с торца практически мож но пренебречь в сравнении с теплообменом с боковой поверхно
сти.
В соответствии с принятым условием ищем решение (1-18) в виде ряда
Ѳ (z) = а0+ axz + a2z2 4- . . . , |
(1-19) |
|
откуда |
|
|
Ѳ' (z) — ах -{- 2ö2z -Г 3a3z- -j- . .., |
(1-20) |
|
Ѳ" (z) — 2аг -]- 6a3z -J- 12a4z2 -j- ... |
(1.21) |
|
Из (1-19) и (1-20), используя граничные условия, получаем |
ao=l |
|
и ах — 0. |
|
|
|
|
|
Поскольку согласно [30] |
|
|
(2 O |
' " = І v ‘. |
(1-22) |
ft=0 |
k=0 |
|
где с0 = $ и 4 = ~~ |
(ém — l + k) ahci-k, TO |
|
la° iS* |
|
|
[Ѳ (г)]4 = |
c0 4- CjZ4- c2z2 4- • •. |
(1-23) |
Подставив (1-21) и (1-23) в (1-18), получим |
|
|
2аг -Ь 6а32 -[- 12a4z2 |
с0 -|- cxz + c„z2-f- . . . — Ѳо, |
(1-24) |
ГО
откуда при с0= 1 будем иметь 2a1 = |
1 — Ѳ0'; |
6й3 = |
сх; 12й4 = с2 |
|||
и т. д. или в общем виде |
|
|
|
|
|
|
|
k { k — \) ah = ck_2 |
|
|
|
|
|
и, |
1 — ©o |
cx |
ö4 |
c„ |
и т- Д- |
|
следовательно, a2 = ------^------! aa = |
q ! |
= -y j- |
||||
|
Вычислив коэффициенты ch по приведенной выше рекуррент |
|||||
ной формуле, определим, что сх = 4ах = |
0, откуда а3 = |
0; с2 = |
||||
= |
4а2 и, следовательно, я4 = 4й2/12 = 8 й2/41; с3 = 4<з3 = |
0 и, зна |
||||
чит, аъ= 0.
Последовательное вычисление коэффициентов Си и й;г при
водит к заключению, что все нечетные |
коэффициенты |
ряда |
||||
(1-19) |
равны нулю, а четные образуют следующую последова |
|||||
тельность: |
|
|
|
|
|
|
|
1 - ® о . „ |
4(1 - Ѳ 40) . |
„ ( і _ Ѳ 40) [16+36 (1—©è) ]. |
|||
а 2 — |
2 ’ |
4! |
’ |
ав |
gj |
’ |
|
(1 — Ѳо) [64 + 864 |
(1 — Ѳо) + |
360 (1 — Ѳо)2] |
|
||
|
а&~ |
|
|
gl |
|
|
и т. д. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
решение ис |
Подставляя значения коэффициентов ah в (1-19), |
|||||||||||
ходного уравнения будем иметь в виде |
|
|
|
||||||||
|
|
= 1 + i = ß L * + Ч і - e S ) ^ |
|
|
|||||||
|
0 (z )= 1 + ^ - 2Г ^ г2+ |
|
4, |
|
|
|
|||||
|
|
(1 — Ѳр) [ і6 + |
36 (1 — Ѳр) ] |
„fi |
. |
(1-25) |
|||||
|
+ |
|
|
61 |
|
|
|
|
2® + |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
откуда при Ѳ0 = |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Ѳ (2) = |
|
|
4г4 |
. |
52г6 |
1288г8 |
|
(1-26) |
|||
1-I-----------1---------- 1- |
6! |
|
+ |
8! |
|
||||||
|
w |
|
2! |
4! |
|
|
|
|
|
||
а при 0<Ѳ 0 < |
1 |
приближенно |
|
|
|
|
|
|
|||
- . і |
1 |
ОІ |
Ѳр |
4(1 - Ѳ 40) |
* |
52 (1 ■ |
Ѳр) |
||||
Ѳ (2 ) "—^ |
* |
2 |
"I |
А\ |
|
Г |
0| |
|
|
||
|
|
2! |
|
|
4! |
|
|
|
|
|
(1-27) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Исследуя полученное решение на сходимость, нетрудно за |
|||||||||||
метить, что начиная с третьего члена |
коэффициенты при 2 под |
||||||||||
чиняются вполне определенной закономерности, а именно |
|||||||||||
|
а,, < |
4k~3(k — 3) (1 |
©oh |
(k = 4, |
6, 8, |
.. .)• |
|||||
|
|
|
k\ |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п
Следовательно, поскольку по признаку Даламбера при г ф оо
lim |
*л+1 |
= Пт |
4+2 |
|
и,. |
||
/I «> |
|
It-Усо |
|
лк—1(А — I) (1 — Ѳо) zk+2k\ |
|||
lim ---- ' — —, |
------------------ ,— = 0, |
||
ft- - (к -f 2)! i k~3(k — 3) (1 — Ѳо) zk
то ряд сходится при любом конечном z. При этом надо иметь в
виду, что поскольку |
0 <1 у ф 1 |
и А ф 1 (в практически |
интере |
||||||||
сующих |
случаях), то |
|
|
|
|
1, следовательно, |
сходимость ре |
||||
шения обеспечена. |
|
|
|
является и Ѳ0^г 1, |
когда |
решение |
|||||
Весьма важным случаем |
|||||||||||
(1-25) принимает вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ѳ(г) ^ 1 - Ь - 1 ^ - 2 * + |
4(1 — Ѳо) ^ |
, |
16(1 — Ѳо) |
|
|||||||
|
|
4! |
С р |
|
6! |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
, |
64(1 — Ѳо) |
z |
-■ |
|
, |
4,г—1(1 — Ѳо) |
у2к |
(1-28) |
|||
|
8! |
“ |
1 ' ' ‘ |
” |
|
(2А)! |
|
|
|
||
Последнее выражение можно представить как |
|
|
|||||||||
|
Ѳ ( ^ П - ( |
1 |
- |
Ѳ ^ |
|
22k~2zik |
|
|
|||
|
|
(2А)! |
|
|
|||||||
ИЛИ |
|
|
|
|
|
к^ 1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
■et |
оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2гр |
|
|
|||
|
Ѳ(2) ^ 1 |
|
|
s |
|
|
|||||
|
|
|
|
т |
’ |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
k—\ |
|
|
|
|
откуда получаем, что (при 1 |
- ѳ 04 «5 0) |
|
|
|
|
||||||
|
Ѳ (z) ^ |
|
1 + |
1 |
- |
• Ѳп (ch 2z — 1). |
|
(1-29) |
|||
Аналогичным образом выражение (1-27) можно представить в ви де
Ѳ (z) ^ 1 |
1 |
■et |
Y г2 |
-г |
(ch 4г — 1) |
(1-30) |
|
|
что позволяет использовать для расчетов температурных по лей имеющиеся таблицы значений гиперболических функций.
Переходя от переменной z к естественным координатам, рас пределение температуры вдоль стержня (1-25) получим в виде
Ѳ (х) = 1 -!- |
А (1 — Ѳо) |
( 1 - х ) 2 |
4А2(1 — Ѳо) |
( 1 - * ) 4 + |
||
1 ■ |
4! |
|||||
|
2! |
|
|
|||
Л3(1 — Ѳо) [16 + 3 6 (1 — Ѳ40)] |
( 1 - х ) 3 |
|
||||
|
6! |
|
- |
|
|
|