Файл: Харитонов, В. В. Некоторые нелинейные задачи теплопроводности.pdf

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 30.10.2024

Просмотров: 73

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Тогда, используя условие (1-10), после несложных преобразова­ ний будем иметь

Р сп ,пЛ -тѵК 2спР / Ті

(1-14)

~ - T l T Ly

c‘-TT(7W”, - TF (т

 

Поскольку в этом случае справедливо утверждение (1-3), то из (1-13) с учетом условий (1-3) и (1-9) получим

dx /л*r=n—о V

и окончательно

C ,=

2 А \ Ц - - Т І Г П Сі =

Q2

2cnP

( Tt

2 Ri

X J

( - f - r t T , ) .

X\F

5

Приравнивая (1-14) и (1-16), будем иметь

Q

(1-15)

XxF

 

 

(1-16)

к =

(QlFf - cl (ТІ -

Tt)

F. (1-17)

Tl

ToT.

rpb

2cRP

~ -

TtTL

 

Данное выражение можно использовать для эксперименталь­ ного определения коэффициента теплопроводности Ль если известен коэффициент лучеиспускания сп. Однако наиболее целесообразно таким образом определять коэффициент сп, если Xi определен каким-либо другим методом. При этом вы­ ражение (1-17) следует решить относительно сп« с і (сог^ссц).

Если предположить, что излучение через торец пренебре­ жимо мало по сравнению с потоком через боковую поверх­ ность (7'j,ä ;7'o), то соответственно получим:

X ^ Q V c J P ^ - T t T n )

и

сі = QI2XJFP

Т\Тп).

Приближенный закон распределения температуры вдоль поверхности стержня (вдоль его оси)' можно найти по (1-1) либо (1-2), если, согласно [1], линеаризуем (1-8) и предста­ вим его в виде [3]

dx2

= - а™Р - (х) Т0] ,

XtF L

где апр = сп (Тп + Т0) (ТІ + То).

9


Для нахождения истинного закона распределения темпе­ ратуры воспользуемся методом неопределенных коэффициен­ тов, т. е. будем искать решение уравнения ( 1-8) в виде степен­ ного ряда. Для этого предварительно с помощью замены пере­

менных Q—TjTb,

y = Lх\ y = y/L\ z=yV Ä от ( 1-8) перейдем

к безразмерному виду

— 0 і — Ѳо.

(1-18)

dz2

 

Здесь и далее А = саРТь1-2І \ Р п Ѳ0= Т 0/Т j_.

Граничные усло­

вия будут:

 

при X = L у — 0 и z — О,

 

при г = О Ѳ (0) = 1 и Ѳ' (0) = 0.

Равенство нулю первой производной на конце стержня соот­ ветствует условию отсутствия теплообмена на торце. Последнее может быть при условии TL = T0 или со4 = PL > F, т. е. Г /Р « L, и, следовательно, теплообменом с торца практически мож­ но пренебречь в сравнении с теплообменом с боковой поверхно­

сти.

В соответствии с принятым условием ищем решение (1-18) в виде ряда

Ѳ (z) = а0+ axz + a2z2 4- . . . ,

(1-19)

откуда

 

 

Ѳ' (z) — ах -{- 2ö2z 3a3z- -j- . ..,

(1-20)

Ѳ" (z) — 2аг -]- 6a3z -J- 12a4z2 -j- ...

(1.21)

Из (1-19) и (1-20), используя граничные условия, получаем

ao=l

и ах — 0.

 

 

 

Поскольку согласно [30]

 

(2 O

' " = І v ‘.

(1-22)

ft=0

k=0

 

где с0 = $ и 4 = ~~

(ém — l + k) ahci-k, TO

 

la° iS*

 

 

[Ѳ (г)]4 =

c0 4- CjZ4- c2z2 4- • •.

(1-23)

Подставив (1-21) и (1-23) в (1-18), получим

 

2аг -Ь 6а32 -[- 12a4z2

с0 -|- cxz + c„z2-f- . . . — Ѳо,

(1-24)

ГО


откуда при с0= 1 будем иметь 2a1 =

1 — Ѳ0';

6й3 =

сх; 12й4 = с2

и т. д. или в общем виде

 

 

 

 

 

 

k { k — \) ah = ck_2

 

 

 

 

и,

1 — ©o

cx

ö4

c„

и т- Д-

следовательно, a2 = ------^------! aa =

q !

= -y j-

 

Вычислив коэффициенты ch по приведенной выше рекуррент­

ной формуле, определим, что сх = 4ах =

0, откуда а3 =

0; с2 =

=

4а2 и, следовательно, я4 = 4й2/12 = 8 й2/41; с3 = 4<з3 =

0 и, зна­

чит, аъ= 0.

Последовательное вычисление коэффициентов Си и й;г при­

водит к заключению, что все нечетные

коэффициенты

ряда

(1-19)

равны нулю, а четные образуют следующую последова­

тельность:

 

 

 

 

 

 

1 - ® о . „

4(1 - Ѳ 40) .

„ ( і _ Ѳ 40) [16+36 (1—©è) ].

а 2

2 ’

4!

ав

gj

 

(1 — Ѳо) [64 + 864

(1 — Ѳо) +

360 (1 — Ѳо)2]

 

 

а&~

 

 

gl

 

 

и т. д.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

решение ис­

Подставляя значения коэффициентов ah в (1-19),

ходного уравнения будем иметь в виде

 

 

 

 

 

= 1 + i = ß L * + Ч і - e S ) ^

 

 

 

0 (z )= 1 + ^ - 2Г ^ г2+

 

4,

 

 

 

 

 

(1 — Ѳр) [ і6 +

36 (1 — Ѳр) ]

„fi

.

(1-25)

 

+

 

 

61

 

 

 

 

2® +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

откуда при Ѳ0 =

0

 

 

 

 

 

 

 

 

Ѳ (2) =

 

 

4г4

.

52г6

1288г8

 

(1-26)

1-I-----------1---------- 1-

6!

 

+

8!

 

 

w

 

2!

4!

 

 

 

 

 

а при 0<Ѳ 0 <

1

приближенно

 

 

 

 

 

 

- . і

1

ОІ

Ѳр

4(1 - Ѳ 40)

*

52 (1 ■

Ѳр)

Ѳ (2 ) "—^

*

2

"I

А\

 

Г

0|

 

 

 

 

2!

 

 

4!

 

 

 

 

 

(1-27)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Исследуя полученное решение на сходимость, нетрудно за­

метить, что начиная с третьего члена

коэффициенты при 2 под­

чиняются вполне определенной закономерности, а именно

 

а,, <

4k~3(k — 3) (1

©oh

(k = 4,

6, 8,

.. .)•

 

 

 

k\

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

п


Следовательно, поскольку по признаку Даламбера при г ф оо

lim

*л+1

= Пт

4+2

 

и,.

/I «>

 

It-Усо

лк—1(А — I) (1 — Ѳо) zk+2k\

lim ---- ' — —,

------------------ ,— = 0,

ft- - -f 2)! i k~3(k 3) (1 — Ѳо) zk

то ряд сходится при любом конечном z. При этом надо иметь в

виду, что поскольку

0 <1 у ф 1

и А ф 1 (в практически

интере­

сующих

случаях), то

 

 

 

 

1, следовательно,

сходимость ре­

шения обеспечена.

 

 

 

является и Ѳ0^г 1,

когда

решение

Весьма важным случаем

(1-25) принимает вид

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ѳ(г) ^ 1 - Ь - 1 ^ - 2 * +

4(1 — Ѳо) ^

,

16(1 — Ѳо)

 

 

 

4!

С р

 

6!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

64(1 — Ѳо)

z

-■

 

,

4,г—1(1 — Ѳо)

у2к

(1-28)

 

8!

1 ' ' ‘

 

(2А)!

 

 

 

Последнее выражение можно представить как

 

 

 

Ѳ ( ^ П - (

1

-

Ѳ ^

 

22k~2zik

 

 

 

 

(2А)!

 

 

ИЛИ

 

 

 

 

 

к^ 1

 

 

 

 

 

 

 

■et

оо

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2гр

 

 

 

Ѳ(2) ^ 1

 

 

s

 

 

 

 

 

 

т

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k—\

 

 

 

 

откуда получаем, что (при 1

- ѳ 04 «5 0)

 

 

 

 

 

Ѳ (z) ^

 

1 +

1

-

• Ѳп (ch 2z — 1).

 

(1-29)

Аналогичным образом выражение (1-27) можно представить в ви­ де

Ѳ (z) ^ 1

1

■et

Y г2

(ch 4г — 1)

(1-30)

 

 

что позволяет использовать для расчетов температурных по­ лей имеющиеся таблицы значений гиперболических функций.

Переходя от переменной z к естественным координатам, рас­ пределение температуры вдоль стержня (1-25) получим в виде

Ѳ (х) = 1 -!-

А (1 — Ѳо)

( 1 - х ) 2

4А2(1 — Ѳо)

( 1 - * ) 4 +

1

4!

 

2!

 

 

Л3(1 — Ѳо) [16 + 3 6 (1 — Ѳ40)]

( 1 - х ) 3

 

 

6!

 

-