Файл: Харитонов, В. В. Некоторые нелинейные задачи теплопроводности.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 30.10.2024

Просмотров: 54

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

а вместо (1-27), (1-29) и (І-30) соответственно будем иметь:

Ѳ (*)«1

Л (1 -Ѳ ?)

( l - x f

+

4А2(1 — Ѳо)

(1 - x f

 

 

 

2!

 

 

 

 

4!

 

(1-27')

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ѳ(х)'

 

1 — Ѳп

[ch 2 Ѵ'Ж(1 — x) — 1 ];

(1-29')

 

 

4

Ѳ {x)«s 1

1 — ©S

| 3

7

x f

-^-[ch 41/ Л (1 — х) — 1]},

 

4

— А (1 -

 

 

( 2

 

1

16

 

(1-30')

откуда, например из (1-27') (Ѳ0«

1),

 

 

 

 

 

Ѳ (0) = Т Г = 1

+

А (1 2!

Ѳо)

+ ~

* ( 4Т Ѳо) + • • • ’

(1-31)

TH= T L

(1 -Ѳ о ) £ г і + .

4(1 — Ѳо) В2

ТІ

(1-32)

 

2!

 

 

 

4!

 

 

 

 

 

 

 

 

Здесь и далее B = cnPL2/XiF — комплексный параметр, оце­ нивающий геометрию образца и теплофизические свойства материала и имеющий размерность град~3. При В —0 имеем сверхпроводник, при 5 = о о — сверхизолятор.

В обычных условиях параметр В по порядку величи­ ны равен ІО-5—ІО-8 град~3,

точно

ограничиться

двумя

------------------------------

 

7

7

первыми членами ряда.

 

 

 

 

 

 

 

 

і,5

 

 

 

Рис. "1.

Зависимость Ѳ(0)

от А

 

 

 

 

 

при различных Ѳ0:

 

 

 

 

 

 

 

1 -0 , 2—0,5, 3—0,75

 

,

„

 

:

 

 

 

 

1 п

 

 

 

 

 

-

1-------------——

 

 

 

•о- -

0,5'

ißА

Графическое изображение

зависимостей

(1-31) и (1-32)

представлено на рис.

1

и 2. Примерный

ход

температурной

кривой вдоль образца показан на рис. 3. Порядок расчета мо­ жет выглядеть следующим образом. По известным размерам

и теплофизическим свойствам образца рассчитывается

пара-

( >метр В и по" (1-32) строится зависимость Ta=f (B, Тф).

Зная

13

Тн, найдем TL, а затем по (1-27'), (1-29') или (1-30') рассчиты­ ваем распределение температуры.

Полученный результат позволяет оценить суммарную из­ лучательную способность стержня. Действительно, поскольку по условиям задачи все тепло, поступившее в образец через начальное (х=0) сечение, излучается с боковой поверхности, то

QeOR = Q„ = - KP [ ^ ) x_ = - К Р — &'( W

(1-33)

Pnc. 2. Зависимость Гн от TL при различных В:

і —0 і 2—2 •ІО"* . 3—ІО"7, 4—2 ■ IO’ 7,- 5—2 -ІО- ®град'3 ; сплошная ли­ ния— Ѳ 0=0, штриховая — 0,75

Дифференцируя зависимости (1-27'), (1-29') и (1-30'), получаем

Ѳ' (0) = - ( 1 -@t) (

л

(1-34)

Ѳ' (0) = — О,

— ®о) / Л sh 2 Y J .

(Ь35)

в' (0) = _ (! — Ѳ°) ^

^3 V ^ + - l s h 4 T / ~Xj.

(1-36)

14

Подставляя, например, (1-36) в (1-33) и учитывая, что при А = ВТ\ < 1 sh 4 V ä п о порядку очень мал и близок к нулю,

можем получить sh 4 V А « 4 V А + (4 V А )3/3!

и

Q60K» c nP L ( 7 l - 7 l ) ( l + 4

(1-37)

т;к

 

ш

 

Рис. 3. Распределение температуры j qq

вдоль стержня

при

5 = 2

- ІО-7

град~3 и различных Ѳ0:

 

/ —I, 2-0,9,

3-0,75,

з -о

200

 

 

 

Построив по выражению (1-32) зависимость TB = f(B) (рис.

4), по известным из эксперимента Гн и TL найдем В,

а затем

сп или А-1-

і

Приближенное значение В можно получить и непосредст­ венно из (1-32), если ограничиться первыми двумя членами. Тогда

В ж 2 { Т п - Т ь ) І { Т І - Т І ) ,

(1-38)

_

2\ F

TB- T L

(1.39)

сп Wo

p D •

Т4 _ Т4

15

§ 2. Теплопроводность двухслойного (с покрытием) тонкого излучающего стержня

В инженерной п строительной практике все чаще применя­ ются конструкции со всевозможными изолирующими покры­ тиями, например на основе полимеров и полимерных пленок. В связи с этим актуальной является задача теплопроводно­ сти такого рода систем. Очень важно исследовать тепломассоперенос в процессе нанесения таких покрытий, например, экст­ рузионным методом из расплава, что требует расчета темпе­ ратурных полей в материале конструкции и покрытии, которые оказывают существенное влияние на характер фор­ мирования полимерного покрытия, его свойства и адгезион­ ную способность.

Рассмотрим задачу распространения тепла в системе из тонкого длинного стержня, покрытого слоем материала с ма­ лой теплопроводностью при наличии теплообмена с боковой поверхности и источника постоянной тепловой мощности на ограничивающем торце. Таким образом, от источника в стер­ жень в единицу времени поступает некоторое количество теп­ ла Q, которое передается теплопроводностью вдоль стержня и отводится через боковую поверхность теплообменом.

Как и в § 1. рассматриваем стационарный режим. При этом считаем, что покрытие имеет достаточно малую толщину и весьма низкую (по сравнению с материалом стержня) тепло­ проводность. Это позволяет в первом приближении не учиты­ вать теплопроводность вдоль поверхности стержня по мате­ риалу покрытия и рассматривать его как распределенное тепловое сопротивление. Таким образом, тепло в рассматри­ ваемой системе передается теплопроводностью вдоль материа­ ла стержня, теплопроводностью по радиусу покрытия и отдает­ ся в окружающую среду теплообменом с боковой поверхности.

Итак, рассмотрим систему (рис. 5), состоящую из тонкого длинного стержня радиусом г\ и длиной L, соединенного од­ ним концом с источником тепла мощностью Q, и покрытия

Рис. 5, Схема двухслойного стержня:

У—полимерное покрытие, 2—металлический стержень

Гб

толщиной ‘6. Система помещена в среду с температурой Т0 (в частном случае температура стенок вакуумной камеры).

Аналогично предыдущему (см. (1-6)) уравнение распро­ странения тепла через поперечное сечение стержня F на рас­ стоянии X от источника имеет вид

— XxF

сІТг (x)

dx.

(1-40)

 

dx

Поскольку теплопроводностью вдоль покрытия мы по условию пренебрегаем, то изменение количества тепла d Q по длине элемента d x осуществляется теплопроводностью слоя по радиусу и излучением с боковой поверхности d a = P d x .

Следовательно, в случае двухслойного стержня вместо уравнения (1-7) условие на границе будет

d Q =

c aP [ T t ( x ) - T i ] d x ,

 

(1-41)

которое совместно с уравнением теплопроводности слоя

 

d Q =

А

р [т г (X) -

Т 2 (X)] d x

 

( 1 -42)

 

6

 

 

 

 

(считаем, что б < г х)

дает связь Т г (х) и Т 2 (х)

в виде

 

Т г (X)

= Т 2 (X) +

\ Т \ (X) -

То) .

(1-43)

Тогда уравнение (1-40) подстановкой (1-43) приводим к уравне­ нию

1 + 4-

Т\{х)

d*T2 (X)

+ 1 2 - ■Tl(x)

dT2 {x)

dx2

dx

 

 

 

 

 

cnP

[ T i ( x ) - T t ] ,

(1-44)

 

 

KXF

 

 

решение которого ищем при следующих граничных условиях:

 

Т, (0) =

Тв »

Т0;

 

(1-45)

Q

 

ч

dT1 (х)

 

 

 

= const.

 

F

 

dx

 

 

 

 

х=0

 

 

Обозначив Ѳ — Т2(х)/Тв,‘ z = x/L,

запишем (1-44) как

 

Ѳ"

ЬѲа

 

 

 

â — сѲ^

0,

(1-46)

 

. (Ѳ')2------2---—— =

1 + а Ѳ 3

 

 

 

1 + аѲ3

 

 

2. Зак. 1208

 

I

•нлуч '■ о-ѵс.хнН'Г’ е.-

I

17

 

 

/

 

 

 

’s

 

 

ОС

 

где, согласно

(1-44),

 

 

 

 

 

 

 

 

а =

4бсп Тн/Я2;

b — За;

 

 

 

 

с = cnPL2Tfy\F;

d = cQt.

 

Введя обозначения f(y) = ЬѲ2/(1 -j- а©3);

h (у) = (d — сѲ4)/(1 +

-г аѲ3);

у = ©

и используя подстановку у' = р(у),

уравнение

(1-46) сводим

к

уравнению

типа

Абеля

[23] pp' -|- f (у) р2+

-f h (у) =

0 или

p' + f {у) р + h (у)/р = 0,

которое дальнейшей

подстановкой и (у) = р1 приводим к виду

 

 

 

 

 

«' + 2 f(y)u = g(y),

 

(1-47)

где 8 (У) = 2 (св4 — d)/(l

-f аѲ3).

 

 

 

Решение, согласно [23], ищем в виде

 

 

 

и =

ехр [— F (г/)]

[Сх + J g (у) exp F (у) dy],

(1 -48)

где F (у) = J

2/ (у) dy = 2 ln (1 + ay3). Откуда получим

 

 

и (У) =

( Сх +

-§- сг/5 — 2dy + - j- дсг/8—

 

 

 

 

V

5

 

4

 

 

 

 

 

 

ady* ) / ( 1

+ <и/3)2

(1-49)

или с учетом обратных подстановок

(1-50)

Следовательно, распределение температуры в поверхностном слое получим в виде, аналогичном (1-12):

(1 + a©3)d©

— * + С2.

С .+ ^ с Ѳ * - ■2d® + 1

асѲ8----2"

(1-51)

Как видим, и в этом случае закон распределения темпера­ туры в явном виде найти не удается (следует заметить, что при 6->-0 формула (1-51) асимптотически переходит в (1-12)). Однако, поступая подобно предыдущему, так же оказывается

возможным обойти операцию интегрирования (1-51)

и после­

дующего обращения ряда.

 

 

дошедшее до конечного

Действительно, поскольку все тепло,

сечения (х = L; z = 1),

излучается,

то,

допуская

dT1(L)ldx —

— dT2(L)/dx, получим

 

 

 

 

 

 

dQ = - KF

f

)

= cnT* F (ѲІ -

©о).

(1-52)

L

\ dz

/г=1

 

 

 

 

18

Смотрите также файлы