Файл: Применение ЦВМ и средств вычислительной техники в геологии и геофизике [сборник]..pdf

Е. А. КАРЕВ

ПРИМЕНЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В МЕТОДЕ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

При использовании метода наименьших квадратов для определения приближенной функциональной зависимости функции z = f(x, у) по значениям, известным в конечном числе точек {xh у,, z t}, функция z обычно представляется алгеб­ раическим полиномом:

му уравнений относительно неизвестных параметров линейной.

146

еся в том, что для некоторых частных случаев линейная интер­ поляция дает лучший результат, чем аппроксимирующий поли­ ном более высокой степени.

При расположении функции в ряд полагаем, что свободный член полинома (3) не равен нулю. Это позволяет вычислить коэффициенты полинома а,- / . j n с точностью до произвольно­

го множителя.

Такое предположение означает, что искомая гиперповерх­

(/ = 1, 2, . . . т)

которая решается методом наименьших квадратов.

В системе (4) т — количество точек, которые выбираются

Уравнение (3) является алгебраическим уравнением, где ah h ■■■in — действительные числа.

Из основной теоремы алгебры следует, что алгебраическое уравнение степени п имеет ровно п корней. Выбор нужного корня определяется, исходя из физического смысла задачи.

Поясним изложенное примерами:

Пример 1.

Для построения структурных карт удобно использовать ме­ тод дифференциальной геометрии изучения поверхностей, рас­ сматривающий поверхность в достаточно малой окрестности некоторой точки М.

Достаточно малая окрестность точки аппроксимируется произвольно ориентированной поверхностью второго порядка.

147

При перемещении точки М искомая поверхность локально» аппроксимируется кусками поверхностей второго порядка. Следует заметить, что целесообразность использования в гео­ логии произвольных поверхностей второго порядка в качестве аппроксимирующих отмечал Р. И. Фан-Юнг.

Общее уравнение второго порядка имеет вид:

х=Х\ ; у= х2; z= x3,

причем функция х3задана неявно.

Полагая, что начало системы координат не лежит на иско­ мой поверхности, заданной совокупностью точек {х1г, x 2i, xS(-} (г= 1,2 ... п), а этого всегда можно добиться переносом систе­

в которой число уравнений т должно быть не менее числа не­ известных, т. е. т>9.

а= (Т” 1— неизвестные акі можно рассматривать как коор-

для случая т > 9 не равен нулю, то систему можно решать лю­ бым из известных методов. ■

148

Равенство нулю определителя означает линейную зависи­ мость координат выбранных точек, что 'соответствует случаям расположения точек либо на одной прямой, либо в одной пло­

скости.

Таким образом, необходимо проводить анализы на взаим­ ное расположение выбранных точек:

1) анализ на принадлежность точек одной прямой. Через любые две выбранные точки Рь Рч проводится прямая, нор­ мальное уравнение прямой запишется в виде [2]

Расстояние от оставшихся точек Pj{Xj, у j) до прямой опре­ деляется соотношением:

Если все I dj|^ е , где е — величина, зависящая от точности за­ дания координат выбранных точек, то все точки лежат на од­ ной прямой, в этом случае следует или увеличивать количество точек, или менять их;

2) если хоть одно значение \dj\ >е, то следует вести ана­ лиз на принадлежность точек одной плоскости. Через прежние точки Рь Р2 и точку, не лежащую на прямой, проводится пло­ скость, нормальное уравнение которой имеет вид:

Расстояние от оставшихся точек до плоскости определяет­ ся соотношением

в этом случае следует или увеличивать количество точек, или менять их. Если точки не лежат в одной плоскости, то решает­ ся система (6) или (7) в зависимости от т.

Решая систему уравнений, находим значения коэффициен­

алгебраический многочлен, в котором сохраняется равнопредставительность и функции z и аргументов х н у .

В уравнение (5) функция z входит во второй степени, по­ этому при решении этого уравнения получаем два корня, но для построения структурной карты нужен один корень.

149