Файл: Математическое программирование и производственные задачи..pdf

п

V а и х,-^Ь\ -t- b’Mit

г —1, 2............/я,

j -1

лу> О,

/= 1 , 2 , . .

л,

где су, а,у, Ь'. и Ь'^>0—константы линейной формы

и

огра­

ничений

стохастической

задачи

(2.1) —(2.3),

а >.— вектор-

-столбец.

Отметим, что /(>.) является кусочно-линейной,

вог­

нутой неубывающей функцией.

§3 .

О П РЕДЕЛ ЕН И Е ДОВЕРИТЕЛЬНОГО МНОЖЕСТВА

РАЗРЕШИМОСТИ ЗАДАЧИ

Для

дальнейших рассуждений требуется

введение

сле­

дующих

предположений.

Предположение 3.1. Существует такой

конечный ин ер-

вал,

что для всех k t реализаций статистическая оценка

£/(£;)

принадлежит данному

интервалу с вероятностью не меньше,

чем

заданное

Р/, т. е. существуют такие числа »; и

,

что

для любого ki

имеет место неравенство*

P\bi (k,

)€(<*,, «г ) } >рг ,

где

pi

(

i — 1,

2, . . .,

т )

выбраны

таким

образом,

что

ПР/

я, Р/

, i —1, 2,

т.

/-1

Предположение 3.2. Известны

такие

числа

D t ,

что

А >

D(b, ).

Отметим,

что если

1(a)—1(a) <; 2е,

то

1° =

1(a) + 1(а)

-----------— -----

2

решение стохастической задачи в требуемом смысле**.

Действительно, из предположения 1

следует, что (а,- ,аг )

для любого ki

покрывает M (bi ) с

вероятностью,

не

мень­

вектор столбец).

С другой стороны 1(я)^-1(М(Ь))1

так как

*В частности, это

имеет место, если случайная величина bi

ограничена

нуль-вектору. Это значит,

что не следует получать никаких

реализаций

величины

bt .

Теперь

перейдем

к

определению

множества

М. Пусть

в некоторой правой

окрестности точки

а функция

/(X) по­

рождается тем же базисом, что

и в точке Х = а.

Построим

функцию 1(Х) = 1(к)

(определенную в этой окрестности), ко­

торая в общем случае

имеет вид*

_

т _

Дх) = М - 2

v h •

(3.1)

i-i

Действительно,

пусть в некоторой точке

Х=Х°

функция

/(X) порождается базисом

Б = {Л/,, Ajt,

. . .,

Ajm],

где Л,—

вектор-столбец~с компонентами (а1у-,

а2у, . .

., a mj).

Это

означает,

что

т

2

Лл*лС*°)=ь°.

i- i

Решая эту систему

относительно лгуДХ0)

(в общем

случае),

получим:

ДА=Р.п

2

ъ Л

1,

2.

т.

(3.2)

к- 1

или, обозначив

X j i —

Х ю ,

== ? й>

~[ik>

имеем

* Предполагается, что X- задача

при

Х = а

разрешима, и оптимальный

план невырожденный.

/г — 1

Так как Б = (Л ',.

Ah , . .

., AJn} является

базисом

в точке

л=Х°, то все базисные компоненты

Хщ(к°) неотрицательны.

Это значит (с учетом

предположения

невырожденности в

точке Х°), что множество

D y,= J >./*«,(>.) =Р/о +

2

> 0 ,

г =

1, 2, . .

mj

(3.3)

не пусто.

Оценки z j —cj векторов Aj не зависят

от

вектора —па­

раметра а. Поэтому необходимым и

достаточным

условием

того, что функция 1(Ц в области /Л°

порождается

тем же

базисом, что и в точке к=к°, является условие /.£Dx«.

Для любой точки a£ D xо имеем

(cio= cj0)

__

т

=

т

/

т

Т/*>*

1(1) =

/о(Х) =

V с,0

2 Оо ( Р/о +

^

г « 1

/~1

\

А - 1

/и

т

т

т

=

у р/ооо+ 2

Cio2

W -*= P + 2

т/х- '.

(3.4)

( - 1

/ -1

А=1

/ -1

М =

(3.5)

является (е, а)—доверительным

вектором разрешимости сто­

хастической задачи, где

N i = Y 2D, Ф-НР/ ),

Р*

>

4 " ’

П Р/

> «.

* Доказательство теоремы 3.1

для случая

b t = 0

b t= 1

( /= 1, 2, . • ., т )

дано в [56].

Р{ [bj (ki ),

bi (ki

)]

накроет M (b{ )}

,

(3.6)

где

b i ( k i )

= bi

(ki ) - y = - ,

Ti

(k i ) - b i

(ki ) +

ДЛЯ

i — 1. 2, . .

т

т, П Pf > а.

1=1

= / (61(&1), b2(k2), . . .,bm(km))-- [ ( b j k j ,

............bm(km)) =

i { b ( k ) ) - i ( b j k ) ) < i ( b 1(k1) + .............

bm{km) +

-

Р ( \l-l(b(k))\

I (b(k)) -

l(b(k))^s\ >

я.

(3.8)

Доказательство теоремы

закончено.

Оценки, полученные

по

вышеприведенной

методике,

являются

грубыми.

Чтобы

получить более точные оценки

нужно решить следующую задачу.

Минимизировать

_

т

}± ) 2

{ 3 -9 )

при условии

1(к)— ц \ )= е,

(3.10)

h —

> 0 , h

и h £

[яг

, я,- ],

t —\, 2, . .

.,

т. (3.11)