Файл: Математическое программирование и производственные задачи..pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 30.10.2024

Просмотров: 46

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

где су—известное

действительное число, a /у и bt—случай­

ные величины, а а/—вероятность выполнения

г-го неравен­

ства, где 0<у*гё;1.

 

Полагая, что законы распределения случайных величин

ауу и bi известны,

находят выражения для вероятностей,

стоящих в левой

части ограничений исходной

задачи. При

этом получаются

некоторые функции fi(X ), зависящие толь­

ко от Х —(х 1У х 2, . . х п).

Однако такой подход к решению стохастической задачи имеет существенные недостатки. В частности, определить в аналитической форме функции ft(X ) довольно сложно; это удается только в простейших случаях (см., например, [18]). Кроме того, функции fi(X ) в общем случае для рассматри­ ваемой задачи будут разрывными, поэтому применение извест­ ных методов для решения задач нелинейного программирова­ ния вызывает большие затруднения. И, наконец, в большин­ стве практических случаев определение законов распределе­ ния случайных величин требует значительных усилий.

Отметим, что впервые этот подход был изучен в работах Л. Минца и Б. Финкельштейна [45], А. Чарнса, В. Купера и Д. Данцига (см., например, [59], [60]).

Весьма перспективным является направление, при кото­ ром исходная задача рассматривается при условии, что распре­ деления случайных величин неизвестны, однако имеется воз­ можность наблюдать их отдельные реализации. При таком предположении возникает ряд важных вопросов, а именно:

1) априори определить такое множество М (М ), что при любом векторе k ^ ~м(к £ М ) стохастическая задача разреши*

ма (неразрешима) с требуемой точностью и заданной веро­ ятностью, т. е. ставится задача получения наиболее обос­ нованных оценок;

2) априори определить, какое число реализаций нужно получить, чтобы обеспечить решение стохастической задачи с требуемой точностью и заданной вероятностью с минимальны­ ми затратами на получение реализаций;

10

3) разработать прямые методы решения стохастических задач*.

Отметим, что постановки задач первого и второго пунктов ставились и рассматривались в работе [54], а третьего—в [32], [35], [46], [63].

§ 2. ЗАДАЧА ПОЛУЧЕНИЯ НАИБОЛЕЕ ОБОСНОВАННЫХ ОЦЕНОК

Рассмотрим следующую задачу. Максимизировать линей­ ную форму

/

W = 2 W

 

 

(2.1 >

при условиях

 

/ |

 

 

 

 

 

 

 

 

^ а у х ;<Ь:+ Ь]М {Ь1),

1 = 1,

2, . . .,

т,

(2.2>

х/>0,

У = 1,

2, . .

п,

(2.3)

где dif, b \, Ь\ (6 "> 0)

и Cj — известные действительные числа,,

а М (Ь,)—математическое

ожидание

случайной

величины

bL.

имеется возможность

наблюдать от­

Предполагая, что

дельные реализации величины b-t, задачу можно

было бы

решать следующим образом: определить

по некоторому

числу ki реализаций

(наблюдений) статистическую

оценку

bi(ki) (т. е. среднее арифметическое результатов наблюдений),

далее в стохастической задаче

заменить

математическое

ожидание М(Ь{) величиной £>,(£/)

и решить полученную ста­

тистическую задачу линейного программирования.

Решение

последней будет приближенным решением

исходной задачи

с некоторой

вероятностью.

 

 

 

Однако при таком подходе нельзя определить точность,

решения исходной задачи, следовательно, и

решить задачу

получения

наиболее обоснованных оценок.

 

В связи

с этим возникает следующий

вопрос:

априори

* Под прямыми следует понимать методы, которые решают стохасти­ ческую задачу на основе анализа серин реализаций случайных величин.

11

(т. е. до получения k-t реализаций

величины 6,) определить

такое множество М(М ), что для

любого k £ M ( k £ M ) сто­

хастическая задача будет разрешима (неразрешима) в тре­

буемом

смысле.

 

 

 

 

Это значит, что если:

 

 

 

а)

взять любое

k £ M

(k£M)\

 

 

б) получить k-t реализаций величины

 

в)

вычислить

статистическую

оценку

 

г)

заменить М(Ь{) в исходной

стохастической

задаче

 

оценкой b[(k[);

 

 

 

д)

решить полученную

статистическую задачу

линей­

 

ного

программирования,

 

 

то должно

выполняться неравенство

 

 

P jl/ -7 | £ = s | > a ,

где I—максимальное значение линейной формы стохасти­

ческой задачи, а I — максимальное значение линейной формы следующей статистической задачи.

Максимизировать

 

f ( X ) =

2 CjXj

 

при условиях

 

/-1

 

 

 

 

y^aijX j^b'i +

b\bi{ki),

г= 1, 2,

. . т,

/=1

x j > 0,

j = 1, 2, . . ., п.

 

В дальнейшем

множество М(М)

будем называть (е, о) —

доверительным множеством разрешимости (неразрешимости)

задачи (2.1) —(2.3),

а вектор k £ M ( k £ M ) —(е, а)—довери­

тельным вектором

разрешимости (неразрешимости) задачи

(2.1)—(2.3).

 

Приведем некоторые необходимые сведения из матема­

тической статистики [12]. Известно, что

если а —случайная

величина, и получено г ее реализаций,

то, пользуясь мето-

12

дами математической статистики, можно с вероятностью £ определить случайный доверительный интервал (а(г), а(г))-

для ЛЦа), т. е.

 

Р [ М ( а ) £ ( а ( г ) ,

а ( г ))}> 9 .

Границы

доверительного

интервала

вычисляются по

формулам:

 

 

 

 

 

а (г) = а (г)—Ар (г),

 

 

a (r ) — a(r) -f Д? (г),

(2.4)

где

 

N

 

 

 

Д? ( г )

 

 

 

V 7 '

 

 

 

 

 

 

Здесь N = Y 2D (a) •Ф 1(р),

где

D (a ) —дисперсия величины

а , а Ф-1(Р)—функция, обратная функции Лапласа.

Отметим,

что если D (a) неизвестна,

то обычно поль­

зуются ее статистической

оценкой

 

 

 

/ г

 

(2.5)

 

 

 

 

где

2 (<2г— a(r))2 D (r)= i_-1__________

r

(а,-—i -ая реализация величины а ).

Иногда будем пользоваться векторным обозначением, т.е

Ь(Ь)НЬг(Ьг),ЬМ . .

., bm(km)),

М(Ь) =

(М (Ьг), М (Ь,), . . ., М (ЬЯ)).

В дальнейшем

часто будет

рассматриваться функция

/(X), которая определяется следующим образом (Х-задача):

/(Х) = шах ^ cj xj

при условиях

13

Смотрите также файлы