Файл: Клебанов, Ф. С. Аэродинамическое управление газовым режимом в шахтных вентиляционных сетях.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 30.10.2024

Просмотров: 80

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

1. Обзор известных результатов

Необходимость исследования динамики распространения примесей в трубных потоках текучего возникла давно. Это было связано с вопро­ сами гемодинамики (распределение примеси в потоке крови), с опре­ делением скорости воды в' водопрЬводных магистралях и нефтепрово­ дах большой длины, с разработкой метода экспериментального опреде­ ления коэффициента молекулярной диффузии по изменениям распростра­ нения исследуемой примеси в трубе [ 2], Однако достаточно законченное

решение общих задач,

относящихся

к указанным областям,

было

получено сравнительно

недавно [2, 3 ].

Первоначально был рсследован

случай ламинарного потока текучего

[2].

 

Если в поток жидкости или газа ввести какую-либо примесь,

раст­

воримую или хорошо перемешивающуюся с данным текучим, то примесь постепенно распространяется вниз по потоку. При ламинарном режиме движения текучего распространение примеси в потоке происходит в ре­ зультате совместного действия двух причин: молекулярной диффузий примеси в данной среде и неравномерности скоростей текучего по се­ чению трубы. Молекулярная диффузия обсуловливает распространение примеси как в осевом, так и в поперечном направлениях, неравномер­ ность скоростей - распространение только в осевом направлении.

Сначала рассматривается продольное распространение примеси в ламинарном потоке под влиянием только неравномерности скоростей по сечению трубы в пренебрежении влиянием молекулярной диффузии. Чтобы можно было пренебречь молекулярной диффузией, необходимы условия, которые сводятся к тому, чтобы заметные изменения концен­ трации примеси, обусловленные конвективным переносом вещества при­ меси вдоль трубы, происходили бы за такой малый период времени, чт молекулярная диффузия не вызвала бы еще заметного эффекта.

Вторым предельным случаем является такой, когда время, необхо­ димое для заметного влияния на распределение примеси конвективного переноса, велико по сравнению со временем,- в течение которого про­ исходит заметное поперечное 'размывание" примеси под действием мо пекулярной диффузии. Чтобы установить условия, при которых это име­ ет место, необходимо определить, как быстро неравномерная по сече­ нию концентрация примеси переходит под влиянием молекулярной диф­ фузии в равномерную концентрацию.

Решение данной задачи приведено в работе [2 ] на основе уравне­

ния диффузии в ламинарном потоке

 

 

D( £ с

1

Эс

с)2с

dt

дс

(Ш,1)

Эг2

г

дг

дх*

i - i,2) дх

 

где D - коэффициент молекулярной диффузии, независимый по пред­ положению от концентрации; а - радиус трубы; uQ - скорость на оси трубы.

62

 

Обозначая

z =■г/а

 

 

 

 

 

и учитывая то, что

 

 

 

 

 

 

 

д2с

 

д2с

1

дс

 

 

 

 

 

 

'

 

'

+ ------- .

 

 

 

 

 

 

дх2

 

Эг2

г

дг

 

 

 

 

 

из формулы

(111,1) получаем

 

 

 

 

 

д2с

1 дс

а2 дс

а2и0

о. Эе

 

(Ш,2)

 

дъ2

z

3z

D

iJt

D

Эх

 

 

 

 

 

 

Граничное условие для равенства (111,2)

выражает тот факт,

что

стенка трубы непроницаема

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

при z = 1.

(Ш,3)

 

Решение уравнения (III,2)

дс

дается в виде

 

 

при ------ О

 

 

 

 

 

 

 

 

 

дх

 

 

 

 

 

- a t

 

1/2п-1/2 .

 

 

(Ш ,4)

 

с = е

 

I (aza

L)

),

 

 

где IQ(aza

/

D

)

- функция Бесселя первого рода нулевого поряд­

ка;

a

- постоянная времени.

 

 

 

 

 

Из граничного условия

(III,3) следует

 

 

 

 

 

1

/2

-1 /2

0.

 

 

 

(Ill,5)

 

Ij (аа

^ D

1/*)=

 

 

 

 

Корень уравнения

(III,5),

соответствующий самому нижнему зна­

чению параметра а,

есть

 

 

 

 

 

 

aaj

D

 

= 3,8,

 

 

 

 

 

 

отсюда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а2

 

 

 

 

(Ш,6)

 

 

 

 

3,82D

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если в какой-либо момент времени примесь вводится на длине тру­

бы

L;

то время, необходимое для того, чтобы сделать заметным изме­

нение концентрации в результате конвекции,

имеет порядок L/uq,

и,

следовательно,

в соответствии с формулой (111,6)

определяющим усло-

63

вием для возможности учета в механизме переноса примеси только молекулярной диффузии является неравенство

(Ш.7)

14,4 D

Считая, что изменение концентрации примеси вдоль оси трубы про­ исходит медленнее, чем в радиальном направлении, можно показать, что уравнение, описывающее продольное рассеивание примеси, имеет вид

<Э2с

дс

 

 

К —

 

 

(III,8)

 

=

’

<9xj

dt

 

где К -

 

эффективный коэффициент диффузии, определяемый по формуле

а

2

2

 

 

 

и~.

 

 

К =

 

О

 

(Ш,9)

 

 

 

1920

 

 

Координата

х^

 

 

 

uol

 

 

Это означает, что рассматривается перенос примеси через плоскость которая движется с постоянной скоростью, равной средней скорости

ламинарного потока в трубе.

 

 

коор­

Этим самым в рассмотрение вводится подвижная система

динат.

 

 

 

 

случаев распростра­

Известны решения уравнения (111,2) дця двух

нения примеси:

 

 

 

 

 

1)

примесь массы М в момент времени t = 0

концентрируется в

точке

х = О,

 

 

 

 

 

2) примесь с равномерной концентрацией с0 вводится в трубу с

постоянной скоростью в точке

х = 0 начиная с момента времени

t= О

(в начальный период труба заполнена только чистым текучим, т.е.

с - V ) .

 

 

 

для 1-го случая

 

 

Решение уравнения (Ш,8)

 

 

 

1 м _2 -3/2

К

-1/2

х ,

 

(Ш Л О )

с =—Ма ^тг

ехр ( ------- ).

 

 

2

 

 

4Kt

 

 

64

Для 2-го случая

;r0 '

i l l

~ “

f ( W

) " р" 1,1 >0;

( " U l )

где

 

z

 

о

 

 

 

 

 

 

 

,

2

г

е

-z2 j'

 

 

erf = ------/

 

dz.

 

 

В 1-м случае длина Ц , которая содержит 90% примеси, определя­ ется из выражения

 

1

L, К

-1 /2

—1/2

erf ( —

' t

) = 0,9,

 

4

1

 

 

откуда по таблицам вероятности получаем

ц >

4,65К 1/211/2-

("1.12)

Если

с тах -

максимальная концентрация в точке

то концентрация на концах интервала Ц = 0,3126 стах-

Во 2-м случае длина L2 перемещающейся зоны примеси, в которой

концентрация изменяется от 0,9 сс

до 0,1 cQ, находится из равенства

.гГ

( i

L2K -1/2r ,/2

) = 0,8;

 

 

А

А.

 

 

откуда

 

 

 

 

ч

= 3,62K1/2t1/2

 

(III,13)

Результаты теоретического и экспериментального исследования про­ цесса распределения примеси в турбулентном потоке в трубах описаны в работе [ 3 ] и коротко сводятся к следующему.

1. Распределение примеси в турбулентном потоке текучего, движу­ щегося в прямой трубе, определяется эффективным коэффициентом рас­ сеивания

. К = 10,1 av*,

(111,14)

ИЛИ

 

К = 7,14avyl/2,

(ШД5)

5 820.

65

где u - радиус трубы; v - средняя скорость текучего в трубе; v* - динамическая скорость; у - коэффициент Шези-Дарси

Г 'Т

V ,/ ~ •

Формулы (Ш,14) и (111,15) применимы как для гладких, так и для шероховатых труб.

2.Распределение концентрации примеси, первоначально сконцентри

ванной в точке х = О (при t = 0),

описывается кривой Гаусса распре­

деления вероятностей

 

с - A t" 1/ 2 exp [ -(x -vt)2

(111,16)

4Kt J

 

где A - постоянная, зависящая от общего количества диффундирующей примеси.

Выражение (111,16) является решением дифференциального уравнения

в форме (111,8) для начальных условий, соответствующих импульсу при­ меси.

3. Максимальная концентрация импульса примеси переносится со средней скоростью потока, т.е. центр распределения примеси в каждый данный момент находится в точке

х= vt.

Отклонение от симметрии выражения (III,16) незначительно при уоловии

х40v*

— » ----- . a v

4. Время прохождения импульсом примеси данного пункта, располо­ женного на некотором расстоянии от источника примеси, определяемое как период, в течение которого концентрация превышает половину мак­ симальной величины, обратно пропорционально средней скорости потока.

Следовательно, произведение времени прохождения имульсом данно­ го пункта на среднюю скорость потока не зависит от скорости потока. Это произведение имеет размерность длины и называется длиной им­ пульса; ее величина прямо пропорциональна корню квадратному из рас­ стояния данного пункта наблюдения от источника примеси.

5. Числовое значение эффективного коэффициента диффузии может быть определено из эксперимента по формуле

2

Х 1/2

= In 2,

(111,17)

4Кт1/2

 

 

66

Смотрите также файлы