Файл: Денисов, С. А. Вопросы достоверности опробования и разведки рудных месторождений.pdf

Оценку математического ожидания (Мм) и моды (М0) на шкале X можно получить, взяв соответственно антилогарифмы из следующих выражений:

БО

Сравнение средних арифметических и логарифмических значе­ ний (рис. lb) позволяет выявить следующие особенности: а) в большин­ стве выборок и Сар, и Cig занижены по сравнению с истинным средним исходной совокупности (в 37 из 50 выборок); б) в выборках, в кото­ рых занижены средние арифметические, занижены и логарифмические, и наоборот; в) при заниженных опенках Сар ближе к истинному, чем Qg, при завышенных точность их примерно одинакова.

Таким образом, лучшей оценкой выборочных средних при логнор­ мальном законе распределения случайных величин в исходной совокуп­ ности можно считать среднюю арифметическую, а разницу между Сар и Cig несущественной.

По такому же принципу были вычислены средние арифметические для следующих моделей: левоасимметричной — гиперболовидной, нор­ мальной и правоасимметричных аналогов (логнормального и гипер­ боловидного) распределений. Результаты вычислений приведены в табл. 16 и рис. 17.

При левоасимметричном гиперболовидном распределении заниже­ ние средних арифметических выражено еще сильнее, чем при логнор-

Т а б л и ц а 16

Сравнение средних арифметических подсчитанных в выборках различного объема, со средними по генеральной совокупности при различных законах распределения случайных независимых величин

Б2

значение содержаний, и если в выборку не попадает одно или два зна­ чения с низким содержанием, то на значении средней это почти не отражается.

Практика эксплуатации месторождений с левоасимметричными распределениями содержаний компонентов показывает, что содержа­ ния, подсчитанные по данным опробования методом среднего ариф­ метического, как правило, являются более высокими, чем в руде, по­ ступившей на фабрику, при этом обычно не выясняется, что же является причиной установленного расхождения — погрешности, возникающие при разведке месторождения (погрешности оконтуривания и подсчета запасов) или при его эксплуатации (потери, разубоживание).

Геологи горнодобывающей промышленности, сравнивая в боль­ шом количестве блоков содержание полезных компонентов, подсчи­ танные по данным опробования, с содержанием в руде, поступившей на фабрику, устанавливают разницу и вводят поправочный коэффи­ циент для остальных блоков данного месторождения или для других однотипных по изменчивости месторождений.

. Известно, что для решения некоторых задач в статистике применяют­ ся, кроме среднего арифметического, еще среднее гармоническое, гео­ метрическое, квадратическое, кубическое и т. д. Выбор вида среднего зависит от цели исследования. Среднее гармоническое применяется тогда, когда суммируемый признак представлен обратной величиной или изучается эффективность работы в единицу времени, среднее гео­ метрическое — для средних темпов роста, среднее квадратическое — для определения точности вычисления какого-либо параметра, среднее кубическое — для определения средней крупности частиц в породе.

Между этими средними существует такое соотношение: Хгарм < < Хгеом. < Хар < Хкв < Хкуб.. Эти величины бывают равны только

тогда, когда равны между собой все X, т. е. чем больше размах из­ менчивости, тем больше разница между этими средними.

Ряд исследователей установили, что на месторождениях с левоасим­ метричным гиперболовидным и логнормальным распределением со­ держаний полезных компонентов в пробах (пересечениях) средние гармонические и геометрические оказываются более близкими к содер­ жанию в руде, поступившей на фабрику, чем среднее арифметическое, поэтому рекомендуют применять эти средние при подсчете запасов.

В. В. Богацкий объясняет это тем, что среднее арифметическое является несмещенной оценкой только для нормально распределен­ ных величин. В качестве доказательства он приводит известную фор­ мулу:

где Сии — максимальное значение величины в совокупности, Cmin — минимальное.

Б4

Для левоасимметрично распределенных величин эта формула дает завышенное значение средних, а для правоасимметричных — занижен­ ное, следовательно, средние арифметические для таких распределений являются тоже соответственно смещенными, но при этом не учитыва­ ется, что для асимметричных распределений вероятность (частность) попадания в выборку у крайних ее членов не одинакова, а для симмет­ ричных одинакова.

Для гиперболоподобного левоасимметричного распределения ве­ роятность попадания в выборку минимального значения величины может в десятки раз превышать вероятность попадания максималь­ ного, для правоасимметричных — наоборот. Поэтому, вычисляя сред­ нюю через крайние члены выборки, нужно взвешивать каждый член на соответствующую ему частоту (или частость), тогда формула при­ мет следующий вид:

пП1Сшах + П 2Стп1п,

~1Д + П2

Таким образом, не только для нормального, но и для всех других распределений лучшей оценкой выборочных средних является среднее арифметическое.

Можно утверждать, что средняя арифметическая является состоя­ тельной, несмещенной оценкой математического ожидания при любом законе распределения. Асимметрия влияет на достоверность средней оценки. При повышении левой асимметрии растет дисперсия средних оценок и величина ошибок, что видно из результатов экспериментов на модели (см. табл. 15— 16). Следовательно, закон распределения дол­ жен учитываться при определении размера представительной выборки.

Корреляционные связи и их использование при оконтуривании рудных тел

--- Достоверность опробования, особенно интерпретация его резуль­ татов, в значительной мере определяется полнотой учета взаимосвя­

Задачей изучения корреляционных связей является выявление и оценка зависимостей между определенными геологическими признака­ ми (содержание элементов, минералов, литологические разности пород и т. д.) с целью выявления критериев, пригодных для оконтуривания рудных тел.

Количественную оценку этих связей дает корреляционный анализ. Корреляционной называется такая зависимость,в которой каждому зна­ чению аргумента (х) соответствует не одно значение (как при функцио­ нальной зависимости), а ряд распределения величины у.

55

Мерой прямолинейной связи между х и у служит коэффициент кор­ реляции г, определяемый по формуле

оу — среднее квадратическое отклонение второго признака.

Надежность коэффициента корреляции при большом числе наблю­ дений проверяется по критерию t.

где n — число наблюдений. В условиях отсутствия корреляции вели­ чина t распределена по закону Стьюдента с К = п — 2 сте­ пенями свободы.

При небольшом объеме выборки (п менее 30—50) можно восполь­ зоваться критерием Романовского

Rr = | г \У п — 1 > 3.

Если это неравенство выполнено, то полученную оценку коэффици­ ента корреляции считают существенной.

Коэффициент корреляции меняет свою величину от + 1 до — 1. При значениях, близких к 0, линейная связь отсутствует, при 1 она функ­ циональная (прямая, если значение 1 положительное, обратная, если оно отрицательное).

Если связь между х и у не прямолинейная, то для характерис­ тики тесноты связи используют показатели, называемые корреляцион­

средней у (группы выделяются по величине х).

Корреляционные отношения, как и коэффициент корреляции, ме­ няются от 0 до 1, только они всегда положительны. При прямолиней­ ной корреляции |г| & %/j, ^ Пх/у, т. е. коэффициент корреляции по абсолютной величине равен корреляционным отношениям.

56