Файл: Двухточечные краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений..pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 30.10.2024
Просмотров: 72
Скачиваний: 0
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Gjp {Nj) =sup / gjP{x)dx\ |
|
||
|
|
|
|
(ù |
|
|
3) для любых |
(x\, ..., x {*m~l) ) e ^ r'1+'"+”m из оценки |
|||||
I Xi{i) I |
..., |
справедливой для любых Î œ {1, |
m} |
|||
и / е |
{0, |
ki}, следует |
|
|
||
|
|
|
\Ы>.хі..... |
|
|
|
< |
ï |
|
г«(0>ЫК|”‘'"1..... |
|
|
|
|
P= 1 |
|
|
|
|
|
почти для всех t ^ I и любого Іе{1, .... m}. |
|
|||||
Тогда для любого решения (хі, |
xm) системы (2.1) |
|||||
из априорной оценки Нх^Ис^-М, справедливой для лю
бых г е (1, ..., nî) и / е {О, |
..., kt}, следует оценка |
|
11*{п‘_1)Нс<ЛГ |
yiŒ{\, |
m}. |
Доказательство. Справедливость условия 1 теоремы 1 очевидна. Остается проверить справедливость условия 2 теоремы 1. Для этого достаточно показать, что из усло вия 2 следует условие 2 теоремы 1.
Действительно, неравенство
|
sup |
Г і|зДт, N u ... , Nm)dxs^0,5Nj |
|||
|
|
|
І, |
|
|
следует из |
|
|
|
|
|
|
|
|
sup / 'фДтДь ..., |
Nm)dx = |
|
|
|
|
Oj h |
|
|
= |
Pi |
|
. |
|
Nm) = |
£ |
supJ gjp(x)dx-\pjp(Nu ..., |
||||
|
p=i |
|
а, ш |
|
|
= |
Pi |
GjP (A^j)ofjj-p (A/-,, ..., |
Nm) ^0 ,5 N }. Я |
||
I |
|||||
P =I |
|
|
|
|
|
Теорема |
2.3. |
Пусть М е(0, |
oo), |
0, ..., «і —2}, |
|
9 - 383
Р і ^ { 1, |
2, |
...}, у'ір, y"ipŒ(0, оо), ßipe [ 0 , оо), |
агр;іе [0 , схэ) |
и функции giPŒL(I)tyip : [0, oo)m-^[0, оо), |
|
где і, k =\ , ..., |
от, р —1, ..., pi, удовлетворяют условиям |
|
1) функция tyiP(Nu ... , Nm) для любых Îœ.{ I , . . . , m}, PiŒ{ 1 , 2, ...} и p e { 1 , pi} не убывает no Nj для любых jŒ {1, ..., от};
2) |
для |
любых |
t'<={l, |
от}, |
ре{1, |
... , |
pi) и |
||
|
N<=(О, оо) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sup f g i p ( x ) d t = G i P ( N i ) ^ y ' i p N ' fl^ , |
|
||||||
|
|
öj ш |
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Pi = 5 N r 1a(Mi, M, |
Пі — ki —l, Пі — ki —2, |
b —a); |
||||||
3) |
для любых іе{1, |
..., от}, ре{1, |
..., pi) и |
(Nu ..., |
|||||
|
. . . , N m)f=[0, |
°o)™ |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
■4>ip(W1, •••. Nm)sZy"ip П |
max{l, N |
^ k}\ |
||||||
|
|
|
|
|
fe=l |
|
|
|
|
4) |
для любых (qu ..., qm) e |
{1, |
..., |
pi) X ... |
|
||||
|
... |
X{1, ..., |
Pm} |
система неравенств |
|
|
|||
m
Z «■iqikUk'S£{l + $iqi )Ui И Иі^О,
acte t = l, ..., от, имеет единственное решение, тож дественно равное нулю;
5) для любых |
(хі, |
..., x (™m~l) ) œ R ”і+-+п™ из оценки |
|
\хі^ \ < М , |
справедливой для любых Î œ {1, ..., от} |
||
и /^{0, |
..., |
ki}, |
следует |
|
I hit, |
х и ..., ^ п” _1)) | ^ |
|
p = |
i |
|
|
почти для всех tŒl и любого i-Œ{1, ..., от}.
Тогда существует УѴе(0, оо), такое, что для любого решения (хь ..., хт) системы (2.1) из априорной оценки
|
справедливой для любых іе { 1 ........ni} |
и / е { 0, |
ki), следует \\х(^ ~ 1)\\с<М |
Ѵ»е{1, ..., |
m}. |
Доказательство. Если мы покажем, что условие 2 тео ремы 2 выполняется, то доказываемая теорема будет следовать из теоремы 2.
Для справедливости условия 2 теоремы 2 достаточно, чтобы выполнялось следующее условие:
6) 3 W e (0, оо) |
у ( Ni , |
..., N m ) е |
[0, |
оо)™«з max jV;^ |
|
следует, |
что |
з /е { 1 , |
|
ш}, для |
І |
|
которого |
||||
p,j< 0 ,5 (b -a) |
и ѵре={1....,р-і} |
GjP{N |
ъ ... |
||
.... Wm)*S0,5pr Wi. |
|
|
|
|
|
Покажем, что из неравенства |
|
|
|
||
m |
|
|
|
|
|
П шах{1, N ^ T h j ^ y . pM.l+^ip, |
|
||||
П=\ |
|
|
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
УіР={2ріЧ'іРЧ"зр)-1, |
|
|
||
следует неравенство |
|
|
|
|
|
G j P { N , ) ^ P ( N u |
•••> WTO) ^0,5/т,- W j. |
|
|||
Действительно, |
|
|
|
|
|
G j p ( N j ) ^ j p ( N i , ..., N m) |
і р У ipNj ^lP X |
||||
X f l max{l, W“^ Ä} ^ y ,3-pY"jpYipW“ ßipNj+ß^ = 0,5/>г%. k=1
Таким образом, условие 6 будет выполняться, если выполняется условие
7) Е W e (0, оо) v (W b ..., Wm) е |
[0, оо)™ из шах W*^ |
^ W следует, что 3 /е{1 , |
І |
..., m}p,j^0,5(b —a) |
|
и Ѵ Ре{1, .... pj} |
|
m
P] max{l, W“-'pA} ^YjpWj+ jî’ .
k=l
Если мы покажем, что из отрицания условия 7 следует отрицание условия 4, то это завершит доказательство.
Пусть справедливо отрицание условия 7:
8) у М=(0, оо) |
з |
(іѴь |
Мт )е=[0, oo)m, max N ^ N |
и выполняется |
|
І |
|
по крайней мере одно из условий |
|||
V / œ {1, .... |
т } р ;>0,5(& -0) или З Р ^ { 1 ........ р}), |
||
ЧТО |
|
|
|
т |
|
|
|
П тах{1, N ^ irh}>YjpN '+^ р. |
|||
k=i |
|
|
1 |
Выбирая последовательность N1положительных чисел, стремящихся к оо при 1-+оо, на основании условия 8 найдем последовательность (ЛѴ, ..., Nml), для которой справедливо следующее неравенство:
maxNil^sNl Ѵ ^ { 1 » 2 , ...}
І
и выполняется по крайней мере одно из условий:
р/>0,5(6 —а) у /е={1, •••, гп}
или з ре{1, ..., |
pj), что |
m |
|
П max{l, ЛГ'*'»>*}>Ѵір^!<І+Р,р)- |
|
к= \ |
1 |
Многократно переходя к подпоследовательностям, можно добиться справедливости следующих утвержде ний. (В дальнейшем будем считать, что уже исходная последовательность обладает этими свойствами.)
Множество индексов {1, ..., ш} можно разбить на два подмножества / і и /г, таких, что,
7IU/2={1, m), ЛП/2 = 0 , /2^ 0 ;
|
|
supAV<oo |
у I'œ / J; |
|
\imNil=oo |
|
I |
|
|
ѵ і ^ ^ и М і г>1 |
у (і, 0 |
е / гХ{1, 2, ...}; |
||
/—> оо |
|
|
|
|
3 (<7ь |
. . . , |
. . . , |
р і } Х . . . |
Х { 1 ......... pm} |
|
|
га |
|
|
V (/, / ) е / 2х { 1,2, ...} П т а х { 1 ,М ^ ^ } > у й . M /I+ß 19il
Мз последнего неравенства следует
'П ^ Ѵ > у Л Л / ,1+ІЧ ) V (/ ,/)Œ/2X{1,2, kŒIг
где Y = const>0, конкретный вид которой нас не инте ресует.
Логарифмируя последнее неравенство и деля на
NJ = шах \nNJ, 12
получим |
V i ^ h , |
Ѵ ^ 0 > 2 , |
...} |
|
|
|||
|
|
S |
а jg |
-ту-y + |
( 1+ ßjg ) п/, |
(2.7) |
||
|
|
k<=h |
1 |
JV* |
|
|
J |
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lnNJ |
|
|
||
|
|
|
Ukl= |
N J |
■ |
|
|
|
Учитывая нормировку u j, |
можно считать, что |
|
||||||
|
|
|
lim uJ=Uk |
y |
k ^ I 2. |
|
|
|
|
|
|
t-* o o |
|
|
|
|
|
Для |
uh |
справедливы |
соотношения |
Y ^^72 и |
||||
Z |
uk2>0- Переходя к пределу в (2.7), получим, |
|
||||||
k ^ i2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z etjq kU-h^Z (1 + ßjq.) Uj |
Y / е / 2. |
|
||||
|
|
кі=І2 |
1 |
|
|
1 |
|
|
Полагая Uj= 0 |
v i ^ h , |
получим |
|
|
||||
|
m |
etjq, к U-hï 3 (1 "b ß jq, ) Uj |
|
|
|
|||
|
X |
Y / |
O >• ■■>^0 > |
|
||||
|
fc=l |
J |
|
3 |
|
|
|
|
причем «j^ïO, что противоречит условию 4, так как m
Z «ь2>0. ■
к—1