Файл: Двухточечные краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений..pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 30.10.2024
Просмотров: 71
Скачиваний: 0
Тогда для любого Î œ {\, |
..., |
m] |
из |
|
|
|
|
|
|||
= 5II/ |
і IIс_Ч - (II/, II с) ^ 0,5 (6 - |
а) |
|
|
|
||||||
следует, что найдется интервал сос / |
длины рі, |
для кото |
|||||||||
рого справедливо неравенство |
|
|
|
|
|
|
|||||
f ^ i ( r , |
Wy'iWc........11//™11с)Л>0,5||уМ|с. |
|
|
|
|||||||
СО |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Доказательство. |
Пусть |
іе{1, |
m} |
такое, |
|
что |
|||||
Р і^ 0 ,5 (6 -а ) и для |
любого интервала сое/ |
длины |
р, |
||||||||
справедливо неравенство |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
/ <Мт, |
Wy'lWc, |
• ••, lly,mllc)dT^0,5||p/i||c. |
|
|
|||||||
(J) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда найдется |
t0Œl, |
такое, |
что \y'i{U) ! = \\у'і\\с |
и |
вы |
||||||
полняется по крайней мере одно из соотношений |
|
|
|||||||||
[/о—(Хі, *<>]<=/ |
или |
[to, |
/о+ Рі] <=/. |
|
|
|
|||||
Рассмотрим |
случай, |
когда |
y'i(t0) =\\у'і\\с |
и |
[f0 — |
||||||
■Pi) to] T
Из справедливости для любого t<s[t0—рп ^о] оценки
*0
y'i(t) =y'i{t0) - f у"і(т)сіт^\\у'і\\с-
|
t |
to |
|
- У Зрі(тг, Wy'lWc, |
Wy'mWc)dx^Q,SWy'iWc |
следует
2ѵг(ІІг/'іІІс) ^2||і/і||с^г/і(^о)- y i {h~\ H) =
= Ju y'i(т) dx5=0,5||l/'i||cp» = 2,5vi (ІІ*ЛІ!с) ,
что невозможно.
Остальные случаи рассматриваются аналогично. ■ Пусть Qj — множество всех интервалов сос=/
длины pj.
Следствием леммы 1 является лемма
Лемма 2.2. Пусть I U œ { 1, 2, ...}, |
/г*е{2, 3, ...} |
и функ |
||
ции Ѵі '.[0, оо) —>-(0, оо), |
>-[0, оо), где |
і=1, ... |
||
..., |
т, удовлетворяют условиям: |
|
|
|
1) |
при фиксированных (Nu ..., |
Nm) ^ R m для любого |
||
|
Î œ {1, ..., m} функции г)3г(^ N u ... , |
Nm) измеримы |
||
|
no t на /; |
что для |
любых |
|
2 ) |
найдется N œ (0, о о ) , такое, |
|||
|
{NI, ..., A/'TO) œ [0, oo)m из maxN { ^ N |
|
||
|
|
ч |
|
|
следует существование /е{1 , ..., m}, для которого Hj = 5Nj-lVj (Nj) ^ 0 ,5 (b —а)
и
SUP |
f "Фі (f. Nu ■■■, Nm)dx^0,5Nj. |
|
|
ßj |
G> |
|
|
Если для любого Î œ {1, ..., |
m} Хі<=ЛСп.-\{І) |
удов |
|
летворяют неравенствам |
|
|
|
к - п<_2)ІІс<Ѵі(||д:/Пі~1)||с) |
V/œ {1, ... , m}, |
(2.4) |
|
|
|
W x ^ W c ) |
|
ViŒ{l, ... ,m} |
p y t Πl , |
(2.5) |
|
то справедлива оценка max[U)”i‘“1)||c <M
І
Доказательство. Пусть для любого іе{1, ..., m} XiŒ еА С„._! (/) таковы, что справедливы неравенства (2.4),
(2.5) и тах |и $ п*-І)||сХѴ.
/
Если обозначить
і/г= * Г і_2) ѵ іе{ 1 , ..., m},
то все условия леммы 1 выполняются. Следовательно, существует интервал гост/ длины p,3- для которого
ftyj(r, Wy'iWc, •••, \\y'm\\c)dx>VMy'i\\c,
CD
что противоречит условию 2. ■
Лемма 2 и неравенство Колмогорова—Горни (Г. Харди, Д. Литльвуд, Г. Полна [1], стр. 393)
у я е { 2 , 3, . . . } , |
vk(={l, ..., |
/г — 1 } , YXŒCn(I) |
|
ll*(fe)llC^ ß (« , |
k, b-a)\\x\\c |
n |
(max{||x(n)|lc, |
|
A |
|
IMIc, n, k, b - a ) (2.6) |
ni {b — a)~n\\x\\c}) n =a(IU (n)||c, |
|||
дают возможность доказать основной результат этого
параграфа. |
2.1. Пусть Л іе (0, |
|
|
|
|
|
|||
Теорема |
оо), |
£ге { 0, |
..., |
щ —2} |
|||||
и функции ф*:/Х ^то->[0, |
оо), |
где і= 1, ..., |
m, удовлет |
||||||
воряют условиям |
|
|
|
|
|
|
|
||
1) |
при фиксированных |
(Nu ..., |
Nm) ^ R m для любого |
||||||
|
Î œ {1, |
..., m} функция фД/, |
N..........Nn) измерима |
||||||
|
по t на I и не убывает по Nj для любого /е{1 , ... |
||||||||
|
.... т} ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
2) |
найдется N œ (0, |
оо), такое, что для любых |
(Nu ... |
||||||
|
..., УѴт )е [0 , oo)m |
из max N^ |
N следует, |
что су |
|||||
|
ществует /е{1, |
..., |
ш), для которого |
|
|
||||
|
р_,= 5Nj-]a(Nh M, |
H j - k j - l , п} |
щ - k j - 2, |
|
|||||
Ь — а) ^0,5(6 —а)
и
sup ГфДт, N ь ..., N m) d x ^ 0 , 5 N j \
ßj и
3) для любых (х\, ... , X |
) ^ R |
из оценки |
справедливой для любых ге{1........ пг} |
||
и /ен(0, ..., ki), следует |
|
|
]fi(t, хи .... |
|
•••- l * » m_1,l) |
почти для всех tŒl и любого іе{1, ..., m). Тогда для любого решения (хі, ..., xm) системы (2.1)
из априорной оценки Нл^Ис^-М, справедливой для лю бых і(={1, ..., m} и /«={0, ..., ki}, следует оценка
Доказательство. Пусть решение |
(хь |
хто) |
системы |
||
(2.1) |
удовлетворяет |
неравенствам |
для любых |
і<={1, ... |
|
..., |
m} и / е { 0......... |
&і}Цх^Нс^М . |
Тогда |
из |
условий |
1 и 3 следует
К (Пі)( 0 Ы Ы * , ^і(<)........
< Ф і ( Ш І " 1_1,ІІс, . . . . ІІх^-'Міс)
Ѵ»е{1, ..., m}, P V ^ / ,
a из неравенства (2.6) —
llx/”<_2)|lc ^ a (l|x (”i_1)|lc, M, t i i - k i - \ , t i i - k i - 2, b - a ) V ie { l, ..., m}.
Таким образом, все условия леммы 2 выполнены, следо
вательно, справедлива оценка шах ||xj"i-I) Hc<W. ■
І
Проверка условия 2 теоремы 1 представляет наиболь шую трудность при применении этой теоремы. Рассмот рим, как это условие может быть преобразовано для слу чая, когда
фг (t, |
Р; |
Nm) . |
..., Nm) = gip(/)фгр (Nî, ..., |
||
|
p=1 |
|
Теорема |
2.2. Пусть М е(0, оо), ki<={0, |
..., цг —2}, |
р,-е{1, 2, . ..} и функции gip<=L([)tyip : [0, oo)m->[0, оо),
где |
і=1, ..., пг, р = 1, ..., р,, удовлетворяют условиям |
||
1) |
функция фг{N\, ..., |
Nm) для любого Î œ {1, |
..., m) |
|
не убывает по Nj для любого / е { 1, ..., m}; |
|
|
2) |
найдется Nœ (0, оо), такое, что для любых |
(Nі, ... |
|
|
..., Afm)e [0 , oo)m |
из m a x N i ^ N следует, |
что су |
|
ществует /е{1, ..., |
ni), для которого |
|
p,j=5Nj~la(Nj, M, Hj — kj—l, nj — kj — 2, b—а) sg
^0 ,5 (ô —a)
и
P i
S GjP(Nj)tyjp(Nu . . . , N m) ^ 0 , b N h
P * = l