Файл: Двухточечные краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений..pdf

г'(6) = (и(6), и'(Ь)) = -(Ви'(Ь), и'(Ь))<0. ■

ОБЩАЯ СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ

Вэтой главе разбираются общие вопросы, связанные

ссистемами обыкновенных дифференциальных уравне­ ний.

В§ 1 доказывается теорема существования решения

для краевой задачи

где А( і ) — матрица порядка п с суммируемыми коэф­ фициентами; Ak, k= l, ..., т, — вещественные матрицы порядка п;

gŒCarn(I X R n), cpŒCn {Rnm)

и

a s^ti< t2< .. .< tm^ b .

Подобные результаты имеются в работах Р. Конти [1], А. Я. Лепина [2], А. Я. Лепина и А. Д. Мышкиса [2], Дж. Сансоне [1]. Отметим, что наиболее общая краевая задача рассмотрена в работе А. Я. Лепина [2]. Подроб­ ное освещение результатов в этом направлении имеется

вобзоре Р. Конти [2].

В§ 2 для системы дифференциальных уравнений

П

где mŒ{ 1, 2, ...}, щ е{2, 3, ..

fiŒ.Cav( І Х Я Пі+'"+п,п ) при наличии априорных оценок

B § 3 для краевых задач

x' = f0{t, x), Фо(х) =0;

x' = f(t, x), Ф(х) =0,

где /о, fŒCarn( I X R n) ; Фо, Ф :А С га(/)-к/?и, приводятся условия, обеспечивающие близость их решения.

§1. КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ

Вэтом параграфе доказывается теорема существова­ ния решения краевой задачи

где A(t) — матрица порядка п с суммируемыми коэф­ фициентами, Au, k = \, ..., m, — вещественные матрицы порядка п

gŒCarn ( I X R n), 'феСп (Rnm)

и

имеет единственное решение, тождественно равное нулю, и найдутся функция у e L ( / ) и k<=(0, оо), такие, что

§ 2. ОБОБЩЕННЫЕ УСЛОВИЯ БЕРНШТЕЙНА ДЛЯ СИСТЕМЫ

Доказательства теорем существования решения крае­ вых задач в предыдущих главах сводились к установ­ лению априорных оценок решения и его производных. В этом параграфе более подробно рассматривается вопрос об априорных оценках производных решения для систем дифференциальных уравнений. Как видно из § 5 главы I, наличие априорной оценки на первую производ­ ную решения тесно связано с ростом правой части урав­ нения по первой производной. Впервые на это обратил внимание С. Н. Бернштейн в 1904 г. [1], а затем более подробно рассмотрел этот вопрос в 1912 г. [2] в связи с изучением задач вариационного исчисления. Он пока­ зал (см. [3], стр. 192), что если х является ограничен­ ным аналитическим решением уравнения x" = j(i, х, х'),

для рассматриваемых значений t, х, то производная х' также является ограниченной.

Следовательно, условие (*), аналоги которого мы на­ зываем обобщенными условиями Бернштейна, дает априорную оценку производной решения при наличии априорной оценки самого решения. Следует отметить, что условие (*) является точным по показателю степени х'. Существенное обобщение приведенного выше резуль­ тата С. Н. Бернштейна получил в 1937 г. М. Нагумо в работе [1]. Дальнейшие результаты в этом направле­

ном [1], 3. Опялем [1]. Ф. Хартманом [1]. Заметим, что результаты работ Л. М. Васермана, А. Я. Лепина [1] и А. Я. Лепина [3] отличаются от соответствующих результатов других работ тем, что учитывают «зацепленность» уравнений, входящих в систему.

В этом параграфе, изложение которого основывается на работах Л. М. Васермана и Л. Я. Лепина [1], А. Я. Лепина [3] для системы дифференциальных урав­ нений

(2.1), Л1е(0, оо), получены достаточные условия для априорной оценки

\\XiO)\\c s^N у іе { 1 , .... m}, Ѵ /е{0, ... , Mt-1}. (2.3)

Леммы 2.1 и 2.2 дают возможность доказать теорему 2.1, в которой для системы (2.1) при наличии априорных оценок (2.2) и обобщенных условий Бернштейна дока­ зана априорная оценка (2.3).

Теорема 2.2 является детализацией теоремы 2.1 для случая, когда

В теореме 2.3 рассматривается еще более специальный случай, когда для giP и фг-р справедливы степенные оценки.

Отметим, что в отличие от теорем 2.1 и 2.2 проверка условий теоремы 2.3 существенно упрощается.