Файл: Григоришин, И. Л. Моделирование электроннооптических систем на сетках сопротивлений.pdf

пия. Полное описание потока требует знания во всем за­ нимаемом им пространстве помимо потенциала и плотно­ сти заряда еще и таких функций, как плотность тока j и скорость отдельных частиц v. Таким образом, при задан­ ных граничных условиях (потенциалах на электродах системы) поле в той части пространства, которая свобод­ на от зарядов, описывается уравнением (1.4). В части, занятой потоком, расчет поля связан с необходимостью совместного решения уравнения (1.5), уравнения непре­ рывности потока (при отсутствии источников и стоков зарядов в междуэлектродном пространстве)

где т и е — соответственно масса и заряд частицы. Вели­

Если в математической формулировке задачи о потенциа­ ле без учета пространственного заряда речь идет лишь о граничных условиях для функции ф, хотя сама постанов­ ка задачи может быть различной, то формулировка зада­ чи для электронного вакуумного прибора со значительным пространственным зарядом требует обязательного учета ряда физических эффектов. В первую очередь это относится к условиям эмиссии (инжекции) заряженных частиц.

Практически наиболее часто имеет место условие ограничения эмиссии пространственным зарядом, которое в случае предположения об эмиссии заряженных частиц с нулевыми начальными скоростями характеризуется ра­ венством нулю градиента потенциала на катоде:

дф

= 0.

дп К

10

Допущение об эмиссии электронов с термоэмиттеров с равными нулю начальными скоростями, приводящее к условию (1.10), приемлемо при расчете электроннооптиче­ ских систем с высокими ускоряющими потенциалами. При расчете современных низковольтных микроминиатюрных приборов следует учитывать распределение термо­ электронов по начальным скоростям, которое, как по­ казали экспериментальные исследования [81, 102], с хорошим приближением описывается статистическим за­ коном распределения Максвелла:

где clN — число электронов из общего числа Ns в единице объема, скорости которых лежат в интервале от v до v + dv\ k — постоянная Больцмана; Т — абсолютная тем­ пература.

Непосредственным результатом разброса начальных скоростей является образование вблизи катода потенци­ ального минимума — cpmin, преодолеть который могут лишь электроны с начальной энергией, превышающей |etpmin|. Остальные электроны возвращаются к катоду, чем и обусловливается ограничение тока эмиссии до тех пор, пока плотность тока с катода не достигнет его эмиссион­ ной способности.

В современных вакуумных электронных приборах при­ меняются катоды разнообразных типов, работающие в различных температурных и электрических режимах и имеющие различные механизмы эмиссии. Математиче­ ская формулировка условий на катоде в ряде случаев весьма затруднительна. Поэтому единственными данны­ ми, наиболее полно отражающими условия эмиссии като­ да, могут оказаться результаты его экспериментального исследования. В реальном приборе помимо основного, «рабочего» потока частиц обычно присутствуют вторич­ ные электроны, выбитые с поверхностей электродов, и ионы остаточных газов, образующиеся в локализованных областях междуэлектродного пространства, где энергия электронов превышает потенциал ионизации. В этом слу­ чае уравнение непрерывности потока (1.6) недействитель­

ных» частиц. Однако влияние вторичных электронов и

.11

ионов остаточных газов редко поддается точному описа­ нию. В данной работе рассматриваются системы, в кото­ рых этим влиянием можно пренебречь и учитывать заряд только основного потока частиц.

В конструкциях электронных вакуумных приборов ши­ роко используются диэлектрические детали (стекло, ке­ рамика, слюда), выполняющие роль изоляторов, несущих элементов, оболочек. Их наличие связано с таким неже­ лательным эффектом, как накопление заряда, что приво­ дит к нестабильной работе, прибора. Поэтому диэлектри­ ческие детали либо удаляют на значительное расстояние от рабочего пространства, либо экранируют от него про­ водящими деталями и покрытиями. Однако в интересах жесткости конструкции и уменьшения габаритов прибо­ ра, а также при осуществлении новых конструктивных ре­ шений диэлектрики могут быть размещены в непосред­ ственной близости от рабочего вакуумного промежутка. Поскольку используются материалы с высокой диэлек­ трической проницаемостью е, картина поля существенно искажается. В этом случае в уравнениях (1.1) — (1.3) e^const, и для потенциала получается уравнение

Понятие неоднородной диэлектрической среды в при­ менении к рассматриваемому здесь случаю условно, так как речь идет о совокупности однородных участков с раз­ личными значениями е, хотя, вообще говоря, не исключе­ но применение диэлектрических материалов с непрерывно изменяющейся (возможно, даже по заданному закону) проницаемостью. Внутри однородного диэлектрика рас­ пределение потенциала описывается уравнением Лапла­ са (1.4), но на границе раздела сред имеет место скачок напряженности электрического поля. Это условие легко реализуется на моделях из резистивных сеток (см. далее

§ 2, рис. 1.4).

Следует подчеркнуть, что учет близко расположенных диэлектриков при расчетах электроннооптических систем приобретает в настоящее время большое значение в связи с разработкой новых конструкций вакуумных электрон­ ных микроприборов для вакуумных интегральных схем,

12

изготовление которых возможно методами «печатной» технологии на подложках из диэлектрического материа­ ла [1, 85]. При этом существенно повышается функцио­ нальная роль диэлектрических элементов конструкции, которые занимают в ней значительную часть объема.

Резюмируя изложенное выше, сформулируем задачу расчета полей и потоков заряженных частиц в электрон­ ных вакуумных приборах в виде следующей системы диф­ ференциальных уравнений:

уравнение электрического потенциала

при граничных условиях на контуре Г

уравнение плотности тока (для односкоростной груп­ пы заряженных частиц)

Решения данной системы в аналитическом виде изве­ стны лишь для некоторых частных случаев при опреде­ ленных упрощающих предложениях. Так, например, в

13

случае простейших диодных систем с прямолинейными траекториями электронов при нулевых начальных скоро­ стях задача сводится к одномерной, и решения имеют вид

[91—95]

г о - / - ^ , сферического — гаа о- Здесь dK.a означает рас­

стояние от катода до анода, га — радиус анода, |Зо и а 0 — табулированные функции Лэнгмюра — Блоджетт [93, 94]. Известны также решения для клиновидного диода [46] и диода с круговыми траекториями [98, 99].С учетом макс­ велловского закона распределения начальных скоростей получено строгое решение для плоского и приближенное для цилиндрического диодов [11, 95].

Данные частные решения используются и при числен­ ном расчете или моделировании более сложных электрон­ нооптических систем как одна из форм выражения усло­ вий эмиссии.

Для интегрирования системы (а) — (з) в общем случае ввиду ее сложности и разнообразия граничных и началь­ ных условий применяются численные методы с использо­ ванием ЭЦВМ [7, 44, 47, 88, 90, 105] и методы моделиро­ вания на аналоговых машинах [2, 9, 18—20, 24, 25, 38, 43, 49, 50, 52, 53, 55, 80, 83, 86, 89]. Перспективно для этой цели использование гибридных систем, включающих в себя аналоговые и цифровые машины. Рациональное рас­ пределение между моделью и ЭЦВМ отдельных этапов позволяет выполнять решение системы (а) — (з) наиболее эффективно. В частности, задачу о потенциале, которую ЭЦВМ решает по универсальному конечно-разностному алгоритму, используя длительный итерационный процесс, целесообразно предоставить модели, а расчет траекторий, пространственного заряда и т. д. выполнять на ЭЦВМ. Требованиям совместной работы с ЭЦВМ наиболее полно удовлетворяет сетка сопротивлений. Как и ЭЦВМ, сетка сопротивлений решает не дифференциальные уравнения поля, а их конечно-разностные аппроксимации, и может, таким образом, служить для ЭЦВМ вспомогательным блоком решения уравнения поля. Распределение потен-

14

ииала, получаемое в дискретных точках области, пред­ ставляется весьма удобным для непосредственной связи сетки с ЭЦВМ [6, 8, 32, 33].

§2. КОНЕЧНО-РАЗНОСТНАЯ АППРОКСИМАЦИЯ УРАВНЕНИЯ ПОЛЯ

ИЕЕ РЕАЛИЗАЦИЯ НА СЕТКЕ СОПРОТИВЛЕНИЙ

Возможность решения дифференциальных уравнений Лапласа и Пуассона на сетках омических сопротивлений была впервые показана С. А. Гершгориным [16, 17]. По­ следующее развитие метода сеток сопротивлений связа­ но с работами Л. И. Гутенмахера [35, 36], Г. Либмана [96], Б. А. Волынского и В. Е. Бухмана [14] и др. Было разра­ ботано несколько типов моделей сеток сопротивлений

[14, 35, 36, 38, 43, 59, 72, 1D4] для решения различных краевых задач математической физики, описываемых дифференциальными уравнениями в частных произ­ водных.

Общий принцип моделирования на электрических моделях основан на аналогии дифференциальных уравне­ ний, описывающих электрическое и магнитное поле, и уравнений поля токов в проводящей среде (табл. 1.1).

Как видно из таблицы, распределение потенциала в диэлектрической среде подобно распределению потенциа­ ла в проводящей среде, если ее проводимость а пропор­ циональна диэлектрической проницаемости е. При этом проводящая среда должна иметь источники тока /, про­ порционального плотности заряда р по всему рассматри­ ваемому объему.

В отличие от моделей со сплошными проводящими средами на сетке сопротивлений решаются не дифферен­ циальные уравнения поля, а их конечно-разностные

15