Файл: Григоришин, И. Л. Моделирование электроннооптических систем на сетках сопротивлений.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 31.10.2024
Просмотров: 47
Скачиваний: 0
аппроксимации, которые получаются заменой производ ных разностями значений функции в точках с близкими значениями аргумента. Выражения производных могут быть получены из ряда Тейлора
/ (* + Ах) = ^ |
|
/<«> (х). |
(1.13) |
||
|
п=0 |
|
|
|
|
Пусть известны |
значения |
/0, fv . . . . |
[м функции / (х) |
||
в конечном числе дискретных точек х0, xv |
. . . , xN(рис. 1.1). |
||||
Обозначим Axh = xh — xk_1 = hk, Axh+1 = xk+1 — xk = |
hk+1. |
||||
fk:J |
fh |
hfo, |
fh, t |
|
|
x k-i |
Xk |
|
Xbi |
|
|
Рис. 1.1. |
К выводу формул |
(1.14) и |
(1.15) |
|
|
Записывая ряд Тейлора (1.13) для fh_1 и fh+1 и решая
полученные уравнения относительно первой fk и второй Д. производных, получаем следующие выражения:
f' _ (fft+i fh) ' Aft+1 (fh—1 fh) I д (1.14)
fk = 2-h>1^11+1~ ^ + |
2h,l+1 V’1- 1 ~ ^ |
-h A2h, (1.15) |
|||
где |
AA + i A |
+ Afc+i) |
|
|
|
|
CO |
|
|
|
|
|
|
|
|
( n ) |
|
Aift— |
2 |
[ A £ f ? - ( - l ) » A r |
|
ft |
|
|
n! |
||||
Ab + |
h h |
|
|
|
|
|
n= 3 |
|
|
|
|
|
|
oo |
|
|
<") |
Агд — |
|
|
[A*+i‘ + ( - 1)" А Г 1] |
/ft |
|
T A,/i+i |
|
/г! |
|||
|
n—3 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
При достаточно малых шагах h членами |
и Д2к в выра |
||||
жениях (1.14) |
и (1.15) |
можно пренебречь, и тогда первая |
|||
и вторая производные приближенно выражаются через функции в трех соседних точках xft_ b xiit хЛ+ь а значения Ai/i и А2к представляют собой погрешности этих прибли
жений. Если интервалы между дискретными точками по-
16
стоянны, т. е. hx = h2= ... — hh = ...= h x, то выражения про изводных упрощаются:
|
f' = |
fitи |
fft-i |
.I |
д |
|
|
(1.16) |
|
h |
|
2К |
|
i Д,». |
|
|
|
t " |
f l 1+1 |
//l |
I //<-1 |
l2 |
//t |
I |
A |
(1-17) |
>k ~ |
^2 |
"1 |
|
' |
a 2fc> |
|||
|
|
|
|
h i |
|
|
|
|
|
|
\ л |
|
|
|
|
|
(1.18) |
|
^l/l — |
(2m |
|-1)! |
|
|
|||
|
|
m=l |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^2(m—1) Д2ш) |
|
|
|
||
|
А2Л= |
2 У |
(2m)! |
|
|
(1.19) |
||
|
|
|
|
|
|
|||
Аналогично получаются формулы для частных произ водных функции нескольких переменных. Из выражений (1.16) — (1.19) видно, что при постоянном шаге погреш ность первой производной содержит члены только с не четными, а второй — только с четными производными. Отсюда следует, что конечно-разностное выражение вто рой производной (1.17) при постоянном шаге имеет мень шую погрешность, чем выражение (1.15). Поэтому, за редкими исключениями, целесообразно строить конечно разностную схему с постоянным шагом.
На основе аппроксимаций (1.14), (1.15) или (1.16), (1.17) получаются конечно-разностные формы для урав нений Лапласа (1.4) и Пуассона (1.5), описывающих фи зические процессы в однородных средах. Метод конечно разностных аппроксимаций может быть применен и к бо лее общему уравнению для потенциала (1.11) в неодно родной или кусочно-однородной средах. Представив его, например, в декартовых координатах
d2cp |
d2cp |
t |
д2ф \ , |
дф |
де |
дх2 |
ду2 |
~'Г |
дг2 ) |
дх |
дх |
дф |
|
|
дф |
де |
Р. |
ду |
|
|
дг |
дг |
|
|
|
|
|||
применим аппроксимации |
вида |
(1.14), |
(1.15) к узлам |
||
(/г, т, п) пространственной сетки, |
образованной семейст- |
||||
2. Зак. 596
•ттяшЛф |
|
Гос. п-'З^ичн. ^17 |
)[ |
н а у ч н о -vsначч кая |
1 |
вами секущих |
|
плоскостей: |
x=const, |
// = const, z = |
|||
= const (рис. 1.2, |
а). Тогда для потенциала в неоднород |
||||||
ной среде |
получим конечно-разностное |
уравнение вида |
|||||
Ф / , + 1 ,777,71 “- Ф |
л , m , n |
. Ф / , - 1 ,777,71 "- Ф |
а , 7 п , п |
||||
|
|
|
-------------1-------- |
в„ |
|
||
|
вл+1 |
|
|
||||
Ф /t,771+1,71 |
"— |
Ф/« ,771,71 |
+ |
Ф /t,77 1-1,7 1 |
Ф /1,7П,77 |
||
|
В 771+1 |
|
К , |
||||
|
|
|
|||||
Ф л ,771,71 + 1 "- Ф |
а ,771,71 |
Ф л ,771,71 -1 “- Ф |
/, ,771,71 |
||||
+ |
S n + l |
|
|
|
В г |
|
*7/1,7)1,71' |
|
|
|
|
|
( 1. 20) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
г д е |
|
|
|
|
|
|
|
Я,1 = |
|
|
|
8Аь |
|
|
|
|
|
|
h n + 1) ( |
|
h u+1 |
de |
|
( А ,п |
Ь A m |
+ 1 ) |
( A n + |
2 e - | - |
|
||
В^+1
771+ 1 —
В=
В
n+1
|
|
|
|
dx |
/1,771,71 |
|
|
|
|
|
( 1.21) |
|
|
8h,■Л+1 |
|
|
|
(Лтп + ftm+1) (An + |
|
/ |
Яр |
|
|
fin+1) f2e + hk — |
|
||||
|
|
|
|
|
/1,771,71 |
|
|
8ft„ |
|
|
( 1.22) |
|
|
|
|
|
|
(^7i + ^n+i) (АЛ+ |
Aft+1) ( 2e + |
de |
|
||
Am+1 |
|
||||
|
|
|
|
д у |
1 h . m , n |
|
|
|
|
|
(1.23) |
____________________ 8hm+1 |
de |
|
|||
fin + ^ ti+i ) (K |
+ |
hk+i) |
f 2e + |
|
|
A |
/ h,m,n |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.24) |
|
|
8A„ |
|
|
|
(fyi + ^h+i) (Am + |
hm+i) ( |
2e + |
de |
|
|
hn+1 |
|
||||
|
|
|
|
dz |
/1,771,71 |
|
|
|
|
|
(1.25) |
|
|
8ft„+i |
de |
|
|
(K + hk+1) (hm + |
Am+1) |
/ |
|
||
( 2e + hn - g - |
|
||||
|
|
|
|
|
ft , 771,71 |
|
|
|
|
|
(1.26) |
18
(Г
Рис. 1.2. Узел трехмерной конечно-разностной сетки (а) и трехмерной сетки сопротивле ний (б)
2*
а <7, представляет собой заряд в элементе объема
—— |
(hk -|- hk+1) (hm -р hm+i) (hn -|- An+1), |
|
о |
|
|
связанном с |
рассматриваемой узловой точкой |
(к, т, п). |
При этом |
|
|
P h , m , n |
Ч к , т , п |
|
1 |
|
|
|
у (Ah -I- Aft+i) (hm + /ini+i) (An + |
An+i) |
означает среднюю плотность заряда в данном элементе объема.
Уравнение (1.20), являющееся конечно-разностной аппроксимацией дифференциального уравнения (1.11), может быть также получено путем применения теоремы Гаусса
(J) DrfS = q s
к элементарному объему, окружающему узел (k, т, п) . В этом легко убедиться, если выполнить интегрирование по граням этого элементарного объема, используя ап проксимацию первой производной потенциала для выра жения нормальной составляющей напряженности поля.
Возможность решения уравнения для потенциала в неоднородной среде на сетке омических сопротивлений основано на аналогии конечно-разностных уравнений и уравнений Кирхгофа для баланса токов в узле {к, т, п)
цепочки сопротивлений, |
изображенной на рис. 1.2, б. |
|||
^ h + l , m , n |
^ h , m , n |
, |
^ h - 1 , m , n |
|
Mi+1 |
|
R ,t |
|
|
+ |
, in, n |
|
|
|
^ h , m , n + l |
^ It,77i,71 |
V k , m , n -1 |
— Ik , m , r r |
|
Rn+1 |
|
|
R„ |
|
|
|
(1.27) |
||
|
|
|
|
|
Из сравнения уравнений (1.27) и (1.20) видно, что элек трической моделью уравнения (1.20) является сетка, со
20