Файл: Нейман, Ю. М. Сферические функции и их применение учебное пособие для студентов III курса геодезического факультета.pdf

Пусть P j

есть точка тела

Q

, наиболее удаленная от начала

координат

0 по

сравнению

со

всеми

остальными точками

-Q

, а

? 2 - наиболее близкая к 0 точка

-Q

. Тогда ясно, что

для

всех точек М {

р

, 9

,

Л

)

пространства, внешних по отно­

шению к сфере радиуса OPj

=

L

с центром в

точке

0 , будет вы­

полняться условие

р '

<

р

,

и потому

соответствующий этому

случаю ряд (4 .1 .8 )

сходится и притом равномерно. Аналогично ттдня

сходимость ряда ( 4 . 1 . $ ) ,

соответствующего

условию

р

< р '

,

для всех

внутренних точек

сферы радиуса 0Рг =

L

.

Отмеченные

метрический

центр тела

J>?

, а

область сходимости при этом

установить

тем

проще, чем ближе тело

Q

к шару.

В идеале,

когда

Q

есть шар, область сходимости представляет

все трехмерное

пространство вне этого шара. Таким образом, с точ­

ки зрения сходимости

сферические функции удобнее, конечно, при­

менять для описания потенциала тел,

близких по форме к

шаровым.

В заключение коротко обсудим ту

погрешность

Л

, которая

возникает при

(часто

встречающейся

на практике)

замене

суммы ря-

-

63

то есть

расстояние

0Р2

на р и с.8 ,

стр .57 .

й так ,ш

имеем верхние границы для погрешностей формул (4 .1 .9 )

в ш д е :

( L / 0 )""'

j о

> Lt

л

^

р

-

ь

л

^ ^

м , -

Ь / е Г ”

(4 .1 .1 0 )

£ - Р

Если

- сферическая поверхность

( т .е .

масса

притягиваю­

щего тела распределена по поверхности сферы радиуса R ) ,

а

на­

чало координат поместить в центр

этой сферы, то

L

-

£

-

и потому:

p v f L

( 4 . 1 . I I )

где верхние

знаки

соответствуют внешним точкам М сферы,

а нижние

- внутренним, р

4

Я.

Если же

- Л

-

шар ( т .е . масса распределена по всему

про­

лишь о точках М, для которых

р > R . При этом

(4 .1 . I I ) оста­

ется в силе с верхними знаками. Видим, что при

р

—<► R верхняя

граница погрешностей неограниченно увеличивается. Из этого не

следует, строго говоря, что и сама погрешность

Л

тоже

к - I

л) - z f *-[Z

(4 .2 .1 )

и т с

и « ©

К =

■Га » Co'S

/Z

+

к>

J

где коэффициенты АпК и ВлК определяются по ( 4 .1

.7 ) .

Подчеркнем,

что форма Земли и распределение

масс внутри Земли

( ci t-и. = $

( х

' , у '

,

? ’ ) ■ctfi.

) отражаются только на коэф­

фициентах разложения к „

и В .

Таким образом,

коэффициенты А лК

и В№ являются важнейшими

ответствие.

Рассмотрим подробнее сферические функции Х0 , X j,

Х2

и

соответствующие им стоксовы постоянные. На основании ( 4

.1 .5 ) :

Хр(е. Ю

Y)

rJ~b. = JJJ/- S/xl?!?)■<№“ ^

(4<2<2>)

Здесь

jQ -

тело Земли,

-ЛС - масса Земли.

На

основании

( 4 .1 .6 ) :

— § 5 —

X I

/?J

=

' P, (t&ibi&J ■»

" Pj^to-i Bj - Cx-i Л

-t- &n' P ,'

p/uvAii&J/- 5-£и.

/? .

Но

согласно §4,

raul

Pj

(«И. s>

) =

co-i &

P ,(,J( i ~3 9 )

—

s/' H-

e~3r

s

- f-^и. © .

Поэтому

X i

/? J

= X )e>- ^

& *'X - ^ н 9 - ^ Л

+ S„

/(.. (4 .2 .3 )

Теперь вычислим

постом »

AI0, AIJt Вп

по формулам (4.1.7).

Иглеем

з ■i

fjjp-utie'. $(xlу]t")dQ -jjjz'

/1 /о

г ■/

Координаты xQl yQ,

- «

.Я

вдентра массы тела, определяются, как

известно,

йормулшж:

Ilh'-SUQ

lifts-JS!

Uft'SJQ

X

X ,

Jjj S dQ

■ 7

= —S3^.

J\JScLQ

j j j u a

Поэтому

л

A,. = ?,\l\lJ.Q =

Л.

ЛИ “

лг. - М *

(4.2.4)

Вц =

Ч„ - -X L ■

Рассуждал таким же о ^ р ш ,

можно убедиться,

что

ЛоП° “■

_

^

(4.2.6)

где А„

= -(А + В) : А, В,

С -

моменты инерции Земли относительно

op

g