Файл: Нейман, Ю. М. Сферические функции и их применение учебное пособие для студентов III курса геодезического факультета.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 31.10.2024

Просмотров: 38

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

- 66 -

координатных осей X, У, ?

соответственно,

Наибольшее влияние на

V

оказывает постоянная A2q из

( 4 . 2 . 6 ) . Функция А20 Р2

(co -i

9 ) зависит от.широты" 9

и характеризует изменение потенциала, вызванное полярной сплюс­ нутостью Земли.

Остальные четыре присоедиенпые функции Лежандра, составляю­

щие Х2 (

9

,

Я ) , зависят

от долготы и существенного влияния

на V

не

оказывают,

т .к .

Земля близка к телу вращения. Коэф­

фициенты А2

1 , В21 и В22

определяют направление главных осей инер­

ции Земли,

проходящих через

выбранное начало координат.

Если коор­

динатные

оси

совместить

с главными осями инерции, то все

эти коэф­

фициенты обратятся в нуль. Константа А22 зависит от различия мо­ ментов инерции Земли относительно осей X и У, лежащих в плоскости

экватора. Стало быть, А22 характеризует экваториальное сжатие Зем­

ли.

 

 

 

 

Подставляя теперь в

( 4 .2 .1 )

результаты ( 4 . 2 . 2 ) , ( 4 .2 .5 ) ,

( 4 .2 .6 )

получаем разложение потенциала в таком виде

_

Ж

£ Z„ ■

& -I- Хс ' -it 1-г- в U> 1 Я + у . - i X - h tt- /?) +

+ - р -

 

 

С&Э г G

^ + 3 Со-3 & •'teh. & *

 

 

 

 

( 4 .2 .8 )

3

- 67 -

Это разложение справедливо при произвольном расположении на­

чала и осей координат в теле Земли.

Если предположить, что начало координат находится именно в

центре массы Земли (xQ= yQ= = 0), а координатные оси колли-

неары главным осям инерции Земли, то коэффициенты А£0, В£1, Ад, %1' ®22 в выражениях (4.2.4) и (4.2.7) оказываются нулевыми и потому ряд (4.2.8) упрощается

В следующем параграфе мы увидим, что разумный выбор системы

координат является стандартным приемом упрощения разложений по­ тенциала притягивающих масс.

Часто целесообразно в разложении (4.2.9) удерживать лишь

члены, характеризующие иарообразность и полярное сжатие Земли.

Для таких случаев имеем

 

 

( 4 .2 .1 0 )

(Заметим, что во всех наших формулах, касающихся Ньютоновского

потенциала, опущен единый множитель пропорциональности в виде

гравитационной постоянной

f

).

В заключение напомним,

что,

если для описания потенциала Зем­

ли используются ряды с конечным числом членов - скажем, сферичес­

кие функции первых

т .

степеней -

то для оценивания верхней

грачицы допускаемой погрешности

2У

удобно пользоваться

простой формулой (4.1.II)

 

 

 

Z\„ < ж - —

 

 

(4.2.II)

- *

 

 

 

?

 

 

- 68 -

Здесь -АС - масса Земли;

(L - радиус Земли;

р- длина радиуса-вектора оттай, для которой про­

изводится оценка.

§3. Некоторые возможности для уиршщшия разложения

потенциала притягивающих тел

*

to уже видели в предыдущем параграфе, что удачный выбор сис­

темы координат позволил несколько упростить разложение потенциала

земного притяжения. Сейчас мы коротко обеудигл те

ситуации,

в кото­

рых предоставляются возможности такого рда-

 

 

Эти ситуации возникают - надо сразу «жаэать -

когда притяги­

вающее тело обладает какой-либо геометрмвший и,

главное,

меха­

нической симметрией, что и позволяет надлежащим образом органи­

зовать систему координат.

Заметим, что если тело обладает только

геометрической симметрией,

а распределение касс в нем произвольно,

то никакого серьезного упрощения подучить ms удается.

 

Начнем с самой благоприятной ситуации, аюгда притягивающее

тело Q

обладает тремя взаимно пе|иевдикулярными плоскостями

геометрической и механической симметрии.

 

Теорема 4,3.1. Пусть притягивающее те.» X?

таково, что

обладает тремя взаимно перпендикуляршпли ©ежи геометрической и механической симметрии. Тогда, если поместить начало координат в точку пересечения плоскостей симметрии, а за «оси координат вы­ брать линии пересечения этих плоскостей, от» сферические функции

(4.1.5) нечетных степеней обращаются в тшь л формулы (4.I.H),

- 69 -

дающие разложение потенциала произвольного тела, принимают вид

v „ (?, в, 2 )

= 2 L

 

р 1"-*'

х гп (в , я )

 

р

> l

 

 

 

н»о

*

 

 

 

 

.

,

.

«о

 

 

Улп[9, я)

 

 

(4 .3 .1 )

 

 

 

 

 

 

‘•у*"' р <£-у

где

L

ж

В

 

- соответственно

верхняя и нижняя границы пере­

менных р ' ,

т .е .

L

= (ОР^) и

<? =

(0Р2 )

на ри с.8 , стр .5 "7 .

 

Мы не

будем доказывать эту теорему,

а дадим лишь некоторые

пояснения. Точка пересечения плоскостей симметрии есть , очевидно,

центр симметрии. В данном случае этот центр симметрии служит и

центром инерции тела

/ 2

,

а линии пересечения плоскостей сим­

метрии являются также главными центральными осями инерции тела.

Таким образом, систему

координат мы выбираем с

началом в

центре

м асс,

а оси координат

суть главные оси инерции.

 

 

 

 

 

При этом плотность масс

&

(х',

у',

г '

) будет

четной функ­

цией в том смысле, что

 

S ( - х\

 

 

 

= 3 (х ',

у',

? ' ) .

 

Заметим еще, что хотя 1рп( О

,

Я

) и 72п(

9

,

Я

)

отличны

от нуля, но их структура (4 .1 .6 )

в условиях теоремы 4 .3 .1

 

также

существенно упрощается.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом, притягивающие однородные кубы, шары, эллипсо­

ида,

эллиптические цилиндры и т .п . характеризуется' притягивающим

потенциалом типа ( 4 .3 .1 ) .

Теперь рассмотрим осесимметричное тело,

т .е .

ситуацию, когда притягивающее тело

£ 2

обладает

 

геомет­

рической и механической симметрией относительно некоторой оси.

Теорема 4 . 3 . 2 . Пусть притягивающее тело

 

 

таково, что

обладает геометрической и механической симметрией относительно

некоторой оси. Тогда,

если выбрать эту

ось

за ось

аппликат

систе­

- 70

мы координат, а начало координат поместить б произвольную точку

этой оси, то формулы принимают вид

 

ос

 

 

 

 

 

••=*Z_

Р * 0)

F > L

 

 

«,

 

 

(4.3.2)

 

^ ( р , в )

~

 

j°

'

 

 

•у - о

 

 

 

 

Доказательство проводится аналогично выводу формул (3.8.1)

и

(3.8.2).

Вспомним,

что мы предвидели смысл теоремы 4.3.2 еще

в конце §5 гл.П. Полученные там формулы (2.5.9)

и (2.5.10)

явля­

ются частным случаем формул (4.3.2).

В последних коэффициенты

Апо и с,ю являйтся некоторых® постоянных.®, характерными для тела

Таким образом, однородные пространственные тела, ограничен­

ные поверхностью вращения вокруг какой-либо оси, имеют разложение потенциала типа (4.3.2).

Следствие. Если начало системы координат, упоминавшейся в условиях теоремы 4.3.2, поместить не в произвольную точку, а имен­

но в центр масс, то в формулах (4.3.2)

полиномы Лежандра первой

степени будут тождественно равны нулю,

т.е. Pj(co& & ) = 0,

что и вносит дополнительное упрощение.

Этот факт мы обосновывали уже в предыдущем параграфе.

Заметим, что наличие оси симметрии тела можно интерпретировать

и как наличие бесчисленного множества пар взаимно перпендикуляр­ ных плоскостей симметрии, общая линия пересечения которых и есть ось симметрии. Поэтому, если у тела, клеющего ось симметрии, суще­ ствует еще и плоскость симметрии, перпендикулярная оси симметрии,

Смотрите также файлы