Файл: Канин, Е. С. Тождественные преобразования учеб. пособие.pdf

- I I -

сматривать специально деление многочлѳноь, отнеся его в раздел "рациональные дроби" (туда же отнести преобразования о дробями, числители и знаментали которых есть одночлены); 3) считать тож­ дественно равными два целых рациональных выражения, значения кото­ рых совпадают при одинаковых значениях входящих в них переменных; чО тождественные преобразования строить на основе законов ариф­ метических действий (аксиом полугруппы и кольца).

Сразу надо оговориться, что действия над алгебраическими выражениями в том смысле, который принят в арифметике, выполнить нельзя. Действия можно лишь обозначить. Выполнять обозначенные действия возможно только при каждой конкретном наборе числовых значений, входящих в эти выражения букв. Это будет основная дого­ воренность о тождественных преобразованиях: действия над алгеб­ раическими выражениями только обозначаются. Для обозначения при­

ная черта, а не двоеточие. Принятое в шкояе обозначение деления двоеточием часто приводит к неприятностям. Действительно, в вы­ ражении 4л1е3 •' 7&е2С н е ясно, каков порядок действий. По су­ ществовавшему в арифметике соглашению действия одной ступени (в данном случае, второй) должны выполняться по порядку, т . е . деле­ ние должно бы производиться (после подстановки числовых значений букв) на 7. Во всех же школьных учебниках и задачниках считается, что в рассматриваемом выражении обозначено деление на одночлен ^•С^ЬгС . Это противоречит высказанному выше предложению, принято­ му в арифметике. Чтобы избежать такого противоречия,нужно либо

- 12 -

употреблять скобки для обозначения порядка обозначенных умножений t/u* І*

гебраичеокую дробь - дробно-рациональной функцией. Это значит, что алгебраические выражения определяются в зависимости от операций,

для изучения тождественных преобразований представляет верные ра­

(аксиома тріяея-

тивности).

- 13 -

Последнее свойство имеет существенное значение в тождествен­ ных преобразованиях.

Тождество - частный случай хирного равенства, и поэтому об­ ладает всеми перечисленными свойствами равенства.

Ч. Законы арифметических действий следует считать акоиомайи тождественных преобразований. Доказательств, приведенные в пре­ дыдущем параграфе, в школе мокчо предлагать только в старших клас­ сах (возможно даже лишь на факультативных занятиях).

Законы арифметических действий - основные предложения о тож­ дественных прѳобраэованитс и потому заслуживают тщательного изу­ чения. В теоретической арифметике доказывается выполнимость ком­ мутативности и ассоциативности сложения и умножения, а также дис­ трибутивности умножения относительно сложения во множестве нату­ ральных чисел. Несложно доказать выполнимость эт их законов во множествах целых и рациональных чисел, опираясь на их выполни­ мость во множестве положительных целых чисел и положительных д і э - бѳй. Коммутативность умножения рациональных чисел можно доказать,

- 15 -

аве = cêa*', ciSe - еле ) , По транзитивности равенств умножение • трех множителей коммутативно. Таким же образом можно доказать коммутативность умножения большего чиола множителей, но это по­ требовало бы длительных рассуждений» Поэтому ^.алее без доказа­ тельства принимаются следующие предложения:

1) Операция умножения (сложения) в произведении (сумме) лю­ бого числа множителей (слагаемідх) обладает свойством ^оммутатив-

нооти.

2)Умножение и сложение (любого чиола элементов) ассоциа­

тивны.

3)Свойство диотрибутиві-ооти умножения по отношению к сло­ жению справедливо для любого числа слагаемых.

Надо оговориться, что под суммой подразумеваетоя алгебраи­ ческая сумма, а высказанные предложения справедливы во множест­